葛敏輝+馬均豐+姜榮富

[摘 要]生長(zhǎng)教學(xué)是突出學(xué)生主體意識(shí)和自我建構(gòu)的課堂活動(dòng)。要使學(xué)生在獨(dú)立思考和互動(dòng)對(duì)話中完成所學(xué)知識(shí)與已有經(jīng)驗(yàn)的有效對(duì)接，需要從暴露已有經(jīng)驗(yàn)開始，尤其要關(guān)注學(xué)生的“相異構(gòu)想”，讓學(xué)生在反思和重構(gòu)中生長(zhǎng)知識(shí)和智慧，從而形成自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

[關(guān)鍵詞]生長(zhǎng)教學(xué)；相異構(gòu)想；面積

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）08-0005-03

杜威認(rèn)為：“教育就是不斷生長(zhǎng)?！苯逃鹬貎和淖匀惶煨裕龑?dǎo)兒童獨(dú)立自主地實(shí)現(xiàn)自我。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分暴露學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，尤其是“相異構(gòu)想”——學(xué)生偏離概念本質(zhì)的理解和想法，只有這樣才有可能使學(xué)生在反思中轉(zhuǎn)變自己的“相異構(gòu)想”，有效完成所學(xué)知識(shí)與已有經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)和智慧的生長(zhǎng)！

筆者在“千課萬(wàn)人第二屆全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)‘學(xué)本課堂研討會(huì)”上執(zhí)教的“什么是面積”一課，就緊緊圍繞了學(xué)生“相異構(gòu)想”的轉(zhuǎn)變來演繹生長(zhǎng)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生借助自身的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)。

【片段一】自主嘗試，激活經(jīng)驗(yàn)——建立面積表象

師：今天我們一起來研究一個(gè)問題（板書：什么是面積），有沒有人能夠說一說？（部分學(xué)生舉手）

師：下面請(qǐng)已經(jīng)知道的同學(xué)告訴不知道的同學(xué)“什么是面積”，可以通過舉例子來說明。

生1（邊說邊指桌面）：桌子的這塊面就是它的面積。

生2（邊說邊指封面）：數(shù)學(xué)書周長(zhǎng)包圍著的里面的這個(gè)部分叫作面積。

師：你們說的意思差不多，都認(rèn)為這些看得見、摸得著的桌面、封面，就叫面積。你們是怎么知道的？

生1：媽媽告訴我的。

生2：從大人那里聽來的。

師：這兩位同學(xué)說的到底對(duì)不對(duì)呢？到底什么是面積？我們先翻開書本自學(xué)。（學(xué)生自學(xué)課本相關(guān)內(nèi)容）

生3（拿起一紙張，邊比劃邊說）：這張紙的面積就是這部分的大小。

師：生3有兩個(gè)字加了重音，誰(shuí)聽出來了？

生4：她的意思是面積是指面的大小。

師：這個(gè)說法和我們剛開始表達(dá)的一樣嗎？

生5：不一樣。一開始我們以為桌面就是面積，封面也是面積，現(xiàn)在知道是桌面的大小才叫作它的面積。

師：你能再舉例子來介紹面積嗎？（學(xué)生舉例）

【思考】此環(huán)節(jié)中開門見山地請(qǐng)學(xué)生說一說什么是面積，意在快速激活學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，暴露學(xué)生頭腦中的相異構(gòu)想。要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“生長(zhǎng)”的過程，就要讓學(xué)生自己找到生長(zhǎng)點(diǎn)，打破相異構(gòu)想，建立起新的認(rèn)識(shí)。教師不應(yīng)該把學(xué)生當(dāng)成一張白紙，有時(shí)學(xué)生產(chǎn)生“誤解”恰恰是深入理解的開始。在教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通過嘗試描述、自學(xué)課本、交流分享、對(duì)比反思等活動(dòng)，經(jīng)歷了由“線”到“面”的過渡，修正了“面即是面積”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，初步建立了面積的空間表象。

【片段二】觀察比較，感悟意義——理解面積本質(zhì)

（1）體會(huì)面積與周長(zhǎng)的區(qū)別。

師：請(qǐng)你帶著對(duì)面積的理解，比一比下面圖形的面積哪個(gè)大。

生1：①號(hào)圖形的面積大。

生2：②號(hào)圖形的面積大一點(diǎn)。

師：現(xiàn)在有兩種不同的意見，你認(rèn)為誰(shuí)的對(duì)？請(qǐng)說說你的理由。

生3：①號(hào)大，因?yàn)棰谔?hào)少了一塊。

師：為什么剛才有人說②號(hào)大呢？

生4：他們可能比的是周長(zhǎng)。因?yàn)棰谔?hào)的周長(zhǎng)長(zhǎng)一點(diǎn)。

師：面積和周長(zhǎng)一樣嗎？

生5：不一樣，周長(zhǎng)是指一周的長(zhǎng)度。

生6：我們以前學(xué)過周長(zhǎng)，周長(zhǎng)是指圖形四周邊線的長(zhǎng)度。

師：說得真好。那周長(zhǎng)是研究什么的？

生6：線的長(zhǎng)短。

師：周長(zhǎng)是研究線的長(zhǎng)短，那面積呢？

生7：面積是研究面的大小。

師：通過剛才的活動(dòng)，你有什么想說的？

生8：周長(zhǎng)大的圖形，面積不一定大。

生9：面積是研究面的大??；周長(zhǎng)是研究線的長(zhǎng)短。

生10：面積不是周長(zhǎng)。面積是看大小，周長(zhǎng)是比長(zhǎng)短?！舅伎肌课覀?cè)谇皽y(cè)中發(fā)現(xiàn)，約53.1%的學(xué)生會(huì)把面積當(dāng)成周長(zhǎng)。在一個(gè)平面圖形里，“邊”屬于強(qiáng)刺激源，“面”屬于弱刺激源，加上長(zhǎng)度的學(xué)習(xí)在先，學(xué)生掌握的周長(zhǎng)概念對(duì)認(rèn)識(shí)面積具有較強(qiáng)的負(fù)遷移。本環(huán)節(jié)通過比較兩個(gè)圖形的面積，引導(dǎo)學(xué)生展開思考和辯論，意在幫助學(xué)生厘清周長(zhǎng)和面積的本質(zhì)區(qū)別，轉(zhuǎn)變把周長(zhǎng)當(dāng)作面積的錯(cuò)誤觀念。

（2） 體會(huì)面積的度量屬性。

師（出示課件）：比較①和②的面積大小。

生1：①號(hào)圖形的面積大一些。

生2：一樣大。

師：誰(shuí)能說清楚道理？

生3：用磚塊把它們鋪滿的話，都需要5塊小方磚。（課件演示）

師：你們聽懂他的意思了嗎？

生4：用小方塊來鋪一鋪這兩個(gè)圖形，鋪滿后數(shù)一數(shù)誰(shuí)需要的塊數(shù)多誰(shuí)的面積就大。因?yàn)樗鼈冃枰男》綁K數(shù)量一樣多，所以它們的面積一樣大。

【思考】學(xué)生對(duì)面積的認(rèn)識(shí)是一個(gè)漸進(jìn)的過程，是一個(gè)不斷完善與豐富的過程。面積學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不應(yīng)在定義上，而應(yīng)在比較大小中。因?yàn)橥ㄟ^比較大小才能更好地幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解面積的本質(zhì)屬性——面積是有大小，可以進(jìn)行度量的。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“可以通過用統(tǒng)一的磚塊鋪滿兩個(gè)形狀不同的圖形進(jìn)行大小比較”，不僅轉(zhuǎn)變了學(xué)生的相異構(gòu)想，讓學(xué)生明白形狀不同的圖形面積可以相等，學(xué)生在自我否定和自我創(chuàng)造中也體會(huì)到了比較面積大小的多種方法，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)與創(chuàng)造奠定了基礎(chǔ)。

【片段三】應(yīng)用提升，拓展理解——深化面積意義

師（出示課件）：你能比出這兩個(gè)圖形的面積大小嗎？

生1：兩個(gè)一樣大。

生2：②號(hào)圖形的面積大。

師：你同意誰(shuí)的觀點(diǎn)？請(qǐng)說說你的理由。

生3：我認(rèn)為②號(hào)圖形的面積大。（很多學(xué)生都點(diǎn)頭認(rèn)可）

師：你們都是支持②號(hào)的親友團(tuán)？請(qǐng)說出道理來，讓大家心服口服才行。

生4：因?yàn)檫@里每4個(gè)點(diǎn)可以組成一個(gè)方格，②號(hào)圖形有11個(gè)方格，①號(hào)圖形只有9個(gè)方格，所以②號(hào)圖形的面積大。

師：還有誰(shuí)也是這樣想的？

生5：將每4個(gè)點(diǎn)想象成一個(gè)正方形，數(shù)出正方形的個(gè)數(shù)就行了。②號(hào)圖形面積有11個(gè)正方形那么大，①號(hào)圖形的面積有9個(gè)正方形那么大。11比9大。

師：大家都同意嗎？這個(gè)辦法好不好？好在哪？

生6：把面積大小的比較轉(zhuǎn)化為了數(shù)的大小的比較，我們比較容易理解。

師：通過剛才的活動(dòng)，你對(duì)面積有了什么新的認(rèn)識(shí)？

生7：我知道了什么是面積。面積就是表面的大小。

生8：面積可以用圖形鋪滿后再把它數(shù)出來。

生9：比較面積的大小可以通過鋪圖形轉(zhuǎn)化為比較數(shù)的大小。

【思考】學(xué)習(xí)面積的難點(diǎn)是理解定量刻畫“面的大小”，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)面積概念的理解往往是物化的、表面的?；诖?，教師呈現(xiàn)了點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生想到用四個(gè)點(diǎn)圍成的正方形來度量圖形的面積大小，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象性思維。學(xué)生在這個(gè)活動(dòng)中不僅深刻體會(huì)到“一塊區(qū)域的大小”就是它的面積，而且感悟到用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的圖形可以度量和比較面積的大小，更重要的是還經(jīng)歷了用“數(shù)”刻畫“形”的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)了面積的本質(zhì)意義。

根據(jù)過程與結(jié)果的關(guān)系論，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“生長(zhǎng)”的過程，能很好地保證學(xué)生最終的學(xué)習(xí)質(zhì)量：對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的深刻理解。因此，教師只有真正關(guān)注學(xué)生相異構(gòu)想的轉(zhuǎn)變，才能走進(jìn)學(xué)生、讀懂學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生的自我生長(zhǎng)！

【評(píng)析】

一、立足學(xué)生，緊扣本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般把面積定義為“物體表面或平面圖形的大小”。面積是平面圖形的度量屬性，由于物體表面可以抽象成幾何圖形，因此，數(shù)學(xué)其實(shí)更多的是研究平面圖形的大小，而求物體表面的大小，可以視作求平面圖形大小的具體應(yīng)用。這樣，我們就可以把面積概念統(tǒng)一為“多邊形或平面封閉圖形所圍的平面部分的大小，叫作這個(gè)圖形的面積?！?/p>

學(xué)生對(duì)面積概念的初步認(rèn)識(shí)可能更多的來自于物體表面。因此，在學(xué)習(xí)“什么是面積”這一課之前，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為面積就是物體的表面。事實(shí)上，面積的概念蘊(yùn)含了積分的思想，重點(diǎn)是“積”而不是“面”。學(xué)生原有的理解中，往往忽視了面積概念的本質(zhì)屬性，即它的“大小”。葛老師的教學(xué)，以學(xué)生普遍存在的模糊認(rèn)知作為教學(xué)起點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念從模糊到清晰的學(xué)習(xí)過程。

從數(shù)學(xué)科學(xué)的角度來定義面積的概念是重要的，因?yàn)橛辛饲逦亩x才能對(duì)它進(jìn)行研究。但是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度，比定義概念更重要的是度量面積的方法。數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)了面積單位，并用這些面積單位把圖形的大小用數(shù)量來刻畫。葛老師通過引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法比較圖形的面積，讓學(xué)生經(jīng)歷從直覺判斷到數(shù)量刻畫的過程，從而積累比較圖形大小的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握的比較方法也從粗漏逐步走向精致。

二、由淺入深，循序漸進(jìn)

從模糊到清晰。在上課之前，有的學(xué)生知道了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，有的學(xué)生說桌面是它的面積，但他們對(duì)面積的認(rèn)識(shí)是模糊的，甚至可以說是錯(cuò)誤的。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，物體的表面就是它的面積，這樣的認(rèn)識(shí)忽視了面積的本質(zhì)——它是有大小的。如果說學(xué)生的描述中還有其合理性的話，那么他們所說的其實(shí)是面積的物體屬性，而不是面積的數(shù)學(xué)屬性。葛老師的教學(xué)，充分尊重并暴露學(xué)生已有的認(rèn)知，在學(xué)生解釋了自己對(duì)面積的理解之后，他并不是馬上否定或糾正，而是讓學(xué)生閱讀課本，并通過舉例，進(jìn)一步幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)面積的本質(zhì)是大小。

在教學(xué)中，葛老師通過比較一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)“凹”字形的大小，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分圖形的周長(zhǎng)與面積，并學(xué)習(xí)淺顯的比較方法——直覺判斷，又引導(dǎo)學(xué)生辨析并及時(shí)反思：“通過剛才的活動(dòng)，你有什么想說的？”通過比較圖形的周長(zhǎng)與面積，學(xué)生的認(rèn)知由模糊轉(zhuǎn)為清晰，真正地建立起對(duì)面積概念的真實(shí)理解。其中，舉出具體的例子與周長(zhǎng)的概念進(jìn)行比較，是推動(dòng)學(xué)生深入理解的有效手段。

三、巧設(shè)活動(dòng)，自主建構(gòu)

從粗漏到精致。為了進(jìn)一步理解意義，葛老師巧設(shè)了幾個(gè)活動(dòng)。先是讓學(xué)生比較兩塊墻洞的大小，它們的形狀完全不相同，但大小卻是一樣的，都是5塊磚的大小。這時(shí)，磚塊成了臨時(shí)的度量單位，比較面積大小的方法庫(kù)又得到了擴(kuò)充——用相同形狀與大小的實(shí)物（圖形）來計(jì)數(shù)（度量）。

真正體現(xiàn)精致的是葛老師設(shè)計(jì)的第三個(gè)圖—— 一個(gè)長(zhǎng)方形，從相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)以折線分成兩部分，讓學(xué)生比較這兩部分面積的大小。學(xué)生很自覺地引用了圖形中隱含的正方形（其實(shí)是格點(diǎn)圖），借用這個(gè)度量單位，把圖形面積的大小比較轉(zhuǎn)化為數(shù)量的大小比較，再次“感受面積是可以通過標(biāo)準(zhǔn)圖形來進(jìn)行測(cè)量的”。這時(shí)，學(xué)生對(duì)面積的度量意義已經(jīng)邁向了精致，與進(jìn)一步學(xué)習(xí)面積單位只有一步之遙了。

為了度量一個(gè)圖形的面積，首先要選定一個(gè)面積單位，通常選取邊長(zhǎng)為一個(gè)長(zhǎng)度單位（如1厘米）的正方形作為面積的度量單位，這個(gè)正方形叫作單位正方形，它的面積叫作面積單位。但是，人們往往并不直接用單位正方形去度量圖形含有多少個(gè)面積單位，而是采用間接的方法，先量出圖形中某些線段的長(zhǎng)度，再由這些線段的長(zhǎng)度計(jì)算出圖形的面積，這其實(shí)就是一種間接測(cè)量的方法。

最后，筆者認(rèn)為，相對(duì)于面積的定義來說，教師更應(yīng)當(dāng)關(guān)注比較面積大小的方法。數(shù)學(xué)概念的定義是人為的，一個(gè)數(shù)學(xué)概念的定義要符合數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯，而這種邏輯往往十分隱秘，難以被小學(xué)生所理解。筆者建議，像面積這樣的概念教學(xué)可以淡化一些，或許學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形等其他平面幾何圖形的面積計(jì)算之后，學(xué)生對(duì)面積的認(rèn)識(shí)可能會(huì)慢慢地清晰起來。換句話說，對(duì)于面積的教學(xué)來說，重要的是度量而不是定義。進(jìn)一步的教學(xué)，建議要重視讓學(xué)生經(jīng)歷面積單位再創(chuàng)造的思考過程，其中對(duì)兩個(gè)問題的思考十分關(guān)鍵：一是為什么選擇正方形，二是為什么所選的正方形邊長(zhǎng)是1。要讓學(xué)生體會(huì)到“以邊長(zhǎng)為1的正方形作為面積單位”是人類長(zhǎng)期探索的結(jié)果，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶。

（責(zé)編 童 夏）