陸艷霞

[摘 要]平均分是在學(xué)生已經(jīng)理解并掌握乘法的意義以及表內(nèi)乘法口訣的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是建構(gòu)除法意義的主要基石。從教學(xué)實際出發(fā)，教師應(yīng)把握好除法的起始教學(xué)課程，讓學(xué)生充分參與平均分的活動，并適時建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，以組建和完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能輕松找到解決問題的策略，使學(xué)生具備發(fā)展性學(xué)習(xí)的能力。

[關(guān)鍵詞]平均分；數(shù)學(xué)模型；概括化認(rèn)識；符號表征

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0028-03

一、緣起

人教版二年級下冊第二單元的內(nèi)容是“表內(nèi)除法”，在帶領(lǐng)學(xué)生初步認(rèn)識除法后，我在任教的兩個班級中布置了一道作業(yè)題（如下圖）。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩題全部做對的學(xué)生不到50%，讓我感到非常意外。原本以為再簡單不過的平均分問題，卻成了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，于是我對兩個班的答題情況進行了統(tǒng)計：

翻看學(xué)生之前的作業(yè)，我驚奇地發(fā)現(xiàn)他們解答這類問題的錯誤率一直以來都居高不下，沒有幾個學(xué)生能清楚地表述除法算式所表示的意思，圖與文往往不能匹配。如：

在后續(xù)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生遇到諸如此類的平均分問題時經(jīng)常會犯錯（如下圖），更多的學(xué)生是束手無策，很多時候解題只能靠蒙和猜。

二、思考

“除法的初步認(rèn)識”是學(xué)習(xí)除法的起始課，是學(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法的基礎(chǔ)，也是學(xué)生運用除法知識解決問題的關(guān)鍵知識點。對于學(xué)生解題出現(xiàn)的錯誤，經(jīng)過分析，我認(rèn)為有兩方面原因。

1.對平均分的概念理不清

二年級的學(xué)生對“平均分”的認(rèn)識是感性的，他們知道什么是公平，教師要做的是使學(xué)生的感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識。

平均分是在學(xué)生已經(jīng)理解并掌握乘法的意義以及表內(nèi)乘法口訣的基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是建構(gòu)除法認(rèn)知體系的主要基石。教材對平均分的定義是：每份分得同樣多，叫作平均分。所有的教學(xué)活動都應(yīng)該圍繞“如何有效幫助學(xué)生建立起對平均分本質(zhì)意義的理解與認(rèn)識”而展開，后面的除法算式也是對平均分的形式化表達，每個數(shù)的含義都對應(yīng)于操作活動中的一部分。教學(xué)后，我沒有及時對平均分的兩種情況進行歸納和總結(jié)，沒有把“不管哪一種，其本質(zhì)都是平均分”講透、講實，沒有幫助學(xué)生深刻理解“每份”“幾份”等概念，沒有梳理總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生在解答時思維結(jié)構(gòu)松散，部分學(xué)生只能亂寫一通。

2.對平均分的過程理解不深刻

教材中的例2呈現(xiàn)的情境比較簡單，直接提出了“把18個橘子平均分成6份”的操作要求。教材中的例3通過呈現(xiàn)有聯(lián)系的兩幅情境圖，直觀地展示了分的過程和分的方法，并配備了文字說明，通過圖、文兩方面的表征，強調(diào)操作與語言表達的統(tǒng)一。由于有乘法口訣的基礎(chǔ)，學(xué)生在分時更關(guān)注分的結(jié)果，他們覺得很簡單，因此對平均分的方法不感興趣。在操作過程中，我也未能組織學(xué)生進行交流反饋，帶領(lǐng)學(xué)生體會平均分方法的多樣性。

每個活動都是孤立的，教師沒有及時交流和比較平均分的不同方法，總結(jié)平均分的共同特征，以致學(xué)生對平均分的認(rèn)識沒有形成框架或體系，不能獨立解決作業(yè)中的題目，學(xué)習(xí)效果大打折扣。學(xué)生的操作流于形式，語言描述不到位，加之沒有比較兩種不同情況的平均分，因此學(xué)生體會不到“平均分的方法雖然不同，用圖表示的過程也不同，但其本質(zhì)都是平均分”這一深刻內(nèi)涵。

三、踐行

對于如何完善平均分的教學(xué)，使學(xué)生能有效理解平均分，理解除法的意義，我認(rèn)為可從以下三個方面進行嘗試。

1.理清平均分的要領(lǐng)，明晰除法的含義

除法的含義建立在平均分的基礎(chǔ)上，但在教學(xué)平均分時，教師往往只把目光停留在“什么叫平均分？”“怎樣平均分？”上，忽略了對學(xué)生理清平均分要領(lǐng)的引導(dǎo)：一是確定平均分成多少份，然后再分（等分）；二是確定每份應(yīng)分得多少再分（包含）。由于平均分的方法不同，除法算式所表示的含義也就不同。因此讓學(xué)生掌握平均分的兩種方法，是學(xué)生理解除法必備的拐杖。

2.重視平均分的過程，滲透模型思想

教師應(yīng)及時進行必要的梳理和整合，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生能充分理解和掌握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生溝通知識點之間的聯(lián)系，以達到舉一反三、一通百通的效果，提高學(xué)生解決問題的能力。

（1）充分操作，幫助理解平均分

二年級學(xué)生喜歡動手，這是他們的天性，具體形象思維是他們認(rèn)知的特點。學(xué)生對于平均分的公平性早已明確，卻不會有序地“分”，因此教師組織學(xué)生開展動手操作活動顯得尤為重要，這對幫助學(xué)生體驗、理解平均分的意義效果明顯。

操作A：探究平均分的方法

師：我想請小朋友做老師的小助手，將18個橘子平均分成6份，可以怎么分？

① 學(xué)生動手分（用“○”代替橘子）。

② 交流成果（生上臺演示）。

生1：1個1個地分。

生2：先2個2個地分，有剩余的話再各放1個。

生3：3個3個地分。

生4：任意拿幾個來分，再把多的拿到少的盤里進行調(diào)整。

師：這幾種分法有什么共同點？

生：每份分得同樣多，是平均分。

（教師板書：把18個橘子平均分成6份，每份是3個）

師：你更喜歡哪種分法？為什么？

操作B：感受平均分的另一種方法

師：10個果凍，每2個一份，可以分成幾份？請同學(xué)們借助小棒分一分。

（交流、展示、評價）

（板書：每2根一份，10根小棒可以分成5份）

操作C：深化對平均分的認(rèn)知

師：剛才我們分了橘子，分了果凍，接下來請同學(xué)們將12根小棒分一分。

①自由分一分。

②在組內(nèi)交流你的分法。

③派代表展示。

教師根據(jù)學(xué)生的交流成果進行分類。

充分的動手操作，讓學(xué)生體會到平均分可以有不同的分法，并在“不同”中體會“相同”之處，對平均分的兩種情況形成全面認(rèn)識，同時使學(xué)生感受解決問題策略的多樣性。

（2）語言描述，幫助深化平均分

語言是思維的外殼，語言的發(fā)展和思維的發(fā)展密切相關(guān)。有的學(xué)生能夠想到、做到，但不能用語言表達出來，語言表達滯后于思維，特別是用數(shù)學(xué)語言表達時更顯得吃力，學(xué)生不想說，也不喜歡說。

在教學(xué)平均分時，教師要讓學(xué)生充分操作，使學(xué)生敢說、愛說、能說。如學(xué)生對平均分的第二種情況掌握不好，教師應(yīng)為學(xué)生多設(shè)置圈一圈、說一說、填一填的習(xí)題，可以讓學(xué)生先數(shù)一數(shù)總數(shù)，弄清幾個為一份，然后以這個數(shù)量為一份，邊圈邊數(shù)，按照1個幾，2個幾……數(shù)下去，最后再說一說每幾個一份，可以分成多少份。在練習(xí)的過程中不要過分強調(diào)平均分的結(jié)果而弱化了說清平均分的過程。

學(xué)生是不同的個體，由于生活背景不同，他們對同樣的事物有著不同的經(jīng)驗與體會，思考一個問題也會有不同的思維習(xí)慣及見解，教師要為他們提供充分的表達機會，尊重學(xué)生之間的差異。對于描述有困難的學(xué)生，教師不必要求他們的語言規(guī)范，只要讓他們將平均分的兩種情況用直觀圖的方式呈現(xiàn)出來，幫助分析數(shù)量關(guān)系，同時為今后運用畫圖策略來解決問題做準(zhǔn)備。

例如，我讓學(xué)生說一說下面兩幅圖還能表示什么，學(xué)生，各抒己見。

學(xué)生的“說”貫穿教學(xué)始終，他們對平均分自然印象深刻，在充分發(fā)揮主動性和創(chuàng)造性的同時真正成為學(xué)習(xí)的主人。

（3）建立模型，幫助提煉平均分

“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與運用，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”

如學(xué)習(xí)“平均分”后，學(xué)生已經(jīng)對平均分的兩種分法有了初步的認(rèn)識，在教學(xué)除法時，對于練習(xí)題“10÷2=5”，讓學(xué)生先用小棒擺一擺，表示這個除法算式，再根據(jù)擺出的結(jié)果說一說這個除法算式所表示的含義（兩種情況都用10÷2=5表示，它們的意義一樣嗎？算式中的10、2、5分別表示什么？）。很多教師到這里就會結(jié)束教學(xué)，此時若能追問“還有什么事情也能用‘10÷2=5表示呢？”，學(xué)生的思維火花就會被點燃。讓學(xué)生在生活中找一些有關(guān)“平均分”的事例，學(xué)生都能完成得很好，在學(xué)生找的過程中，教師應(yīng)有效抓住課堂上課堂上的動態(tài)生成。

從學(xué)生熟悉的操作入手，讓學(xué)生通過分一分、圈一圈，獲得平均分的直觀經(jīng)驗；通過說一說、填一填，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言描述平均分的過程；最后用除法算式表示，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的建模過程。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了從動作表征到語言表征，再到符號表征的完整探究過程，就能對平均分有更充分的認(rèn)識，從而真正理解除法的意義。

3.關(guān)注平均分的結(jié)果，形成反思對比意識

教師在教學(xué)中時常強調(diào)檢查，卻冷落解題完結(jié)后的“回味”“反思”，這對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、能力培養(yǎng)、智力發(fā)展和完善個性都極為不利。當(dāng)問題解決或解決失敗后，反思才是學(xué)生深入認(rèn)知的開始。

如果學(xué)生有反思意識，懂得對比同一道算式下的左右兩邊，對比每一邊的文字和圈圖，就能發(fā)現(xiàn)解答中存在的問題，及時調(diào)整方法。大部分學(xué)生滿足于聽懂了、題目會做了的現(xiàn)狀，很少對自己的學(xué)習(xí)過程進行回顧和總結(jié)，這樣日復(fù)一日，年復(fù)一年，只會依葫蘆畫瓢，稍有變化就無從著手。教師要提倡學(xué)生對每一次學(xué)習(xí)進行反思：一道題目做完后要想一想“這樣對嗎？”；一節(jié)課結(jié)束后靜心沉思“我學(xué)到了什么？”“老師這樣講對嗎？”“我有沒有別的方法？”“我還有哪里不會的？”；拿到作業(yè)本后想一想“我為什么錯？”“我錯在哪兒？”“我現(xiàn)在會了嗎？”“以后碰到這樣的問題還會不會錯？”當(dāng)然，最好準(zhǔn)備一本易錯題集，方便隨時翻看。

總之，教學(xué)“平均分”時，教師要全面把握教材的體系，準(zhǔn)確把握教材編寫的意圖，把握好除法的起始教學(xué)，讓學(xué)生充分參與平均分的活動，既要為學(xué)生認(rèn)識除法積累豐富的感性知識，又要促使學(xué)生對除法產(chǎn)生親切感，使學(xué)生能輕松找到解決問題的策略，為后繼除法的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 吳美玲）