吳文靜+黃秦安

[摘 要] 有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要也最基礎(chǔ)的內(nèi)容. 筆者從有理數(shù)概念角度出發(fā)，分三個(gè)方面調(diào)查了學(xué)生有理數(shù)理解的現(xiàn)狀，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)有理數(shù)的符號(hào)“+”“-”以及絕對(duì)值、倒數(shù)、相反數(shù)和度量結(jié)構(gòu)的掌握均不理想，而對(duì)有理數(shù)稠密性的理解卻超越了一般期望值. 并且男女生在有理數(shù)概念的學(xué)習(xí)上，沒(méi)有顯著的性別差異.

[關(guān)鍵詞] 有理數(shù)概念；數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)教學(xué)

問(wèn)題的提出

學(xué)生在小學(xué)高年級(jí)已經(jīng)接觸了分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)有理數(shù)的開始，而有理數(shù)又是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 從課程標(biāo)準(zhǔn)中也不難發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)在初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著非常重要的地位. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)要理解有理數(shù)的意義，借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，掌握有理數(shù)運(yùn)算的法則. 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，由于考試的導(dǎo)向作用和教師的教學(xué)習(xí)慣，教師往往把有理數(shù)的運(yùn)算放在最為顯著的地方，而相關(guān)概念和基本認(rèn)識(shí)卻被認(rèn)為是“無(wú)所謂”的東西. 搜集有關(guān)有理數(shù)的研究發(fā)現(xiàn)，它們多為有理數(shù)運(yùn)算方面的研究，并且這些研究一致認(rèn)為，學(xué)生在有理數(shù)運(yùn)算方面存在較多問(wèn)題，究其原因，是學(xué)生對(duì)符號(hào)“+”“-”的兩種屬性、絕對(duì)值等概念理解得不夠透徹、清晰.

在國(guó)外，關(guān)于有理數(shù)教學(xué)和理論研究的關(guān)注點(diǎn)恰與我國(guó)相反，他們更強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》就指出：在初中，學(xué)生應(yīng)擴(kuò)展對(duì)有理數(shù)的意義、表征形式及使用的理解，應(yīng)該認(rèn)識(shí)并能運(yùn)用分?jǐn)?shù)，不能只是像在低年級(jí)所學(xué)到的那種意義——一種度量、數(shù)量、整體的一部分、數(shù)軸上的一點(diǎn)以及表示除法，而要擴(kuò)充數(shù)的意義去包括新的內(nèi)容. 如應(yīng)接觸涉及比的問(wèn)題、比率的問(wèn)題和算子的問(wèn)題（例如乘的意思是得到原數(shù)的八分之三）等.

在數(shù)學(xué)體系中，數(shù)學(xué)概念是最基本的構(gòu)成元素，它是反映事物在空間形式與數(shù)量關(guān)系方面的關(guān)鍵屬性或本質(zhì)屬性的基本單位，掌握了一個(gè)數(shù)學(xué)概念，也就意味著掌握了一類事物的本質(zhì). 因此，對(duì)于數(shù)來(lái)說(shuō)，運(yùn)算應(yīng)該是基于概念理解的.

綜上，調(diào)查學(xué)生對(duì)有理數(shù)相關(guān)概念的理解非常有必要，這不僅是新課改和素質(zhì)教育的要求，而且通過(guò)調(diào)查結(jié)果可以更加清晰地看到學(xué)生的理解障礙是什么，從而幫助教師在這部分教學(xué)過(guò)程中調(diào)整教學(xué)策略，著重對(duì)學(xué)生困惑的地方進(jìn)行有針對(duì)性的講解與訓(xùn)練，提高學(xué)生對(duì)有理數(shù)的理解. 獲得概念的理解性掌握，不僅能減輕有理數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，而且能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

研究方法

本次調(diào)查選取的對(duì)象是深圳市沙井中學(xué)初一（1）、（2）班的學(xué)生，問(wèn)卷共收回74份，有效問(wèn)卷63份. 調(diào)查在2016年1月初一上學(xué)期即將結(jié)束的時(shí)候進(jìn)行. 測(cè)試時(shí)間為45分鐘.

結(jié)合前面對(duì)《課標(biāo)》的分析，將問(wèn)卷內(nèi)容分為三部分（共6道大題）.

1. 有關(guān)有理數(shù)的符號(hào)及相關(guān)概念：“+”“-”、絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù). 《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于有理數(shù)的部分指出，學(xué)生要理解有理數(shù)的意義，理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義. 這是從整體上理解有理數(shù)的基礎(chǔ).

2. 有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)：西方學(xué)者認(rèn)為有理數(shù)不是一個(gè)單獨(dú)的結(jié)構(gòu)，他們普遍認(rèn)為有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)包括部分—整體子結(jié)構(gòu)、度量子結(jié)構(gòu)、商子結(jié)構(gòu)、比子結(jié)構(gòu)和算子結(jié)構(gòu). 但是綜合我國(guó)的有理數(shù)教學(xué)實(shí)際，只選取其中的度量和商兩種與四則運(yùn)算相關(guān)性較大的子結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，包括3～4題.

3. 有理數(shù)的稠密性. 有理數(shù)集是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸到的第一個(gè)對(duì)加、減、乘、除四則運(yùn)算均封閉的稠密集，雖然我們不可能通過(guò)嚴(yán)格的證明來(lái)幫助初一學(xué)生掌握，但是理解這樣一個(gè)基本事實(shí)卻是非常有必要的，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展及無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)有重要意義. 并且學(xué)生對(duì)有理數(shù)稠密性的理解可能會(huì)受自然數(shù)集離散性的影響. 包括5～6題.

測(cè)試完成后，對(duì)前三個(gè)題目進(jìn)行賦分，未回答或者答錯(cuò)記為0分；回答不全面記為1分；回答完全正確記為2分. 特別地，第四題為選擇題，A、B、C三個(gè)選項(xiàng)對(duì)有理數(shù)商子結(jié)構(gòu)的理解是逐漸深入的，因此分別賦1、2、3分. 第5、6題不予賦分，單獨(dú)進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 數(shù)據(jù)用spss22.0進(jìn)行處理、分析.

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

1. 各題簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析

為了了解學(xué)生在各題上的得分情況，首先對(duì)前四題數(shù)據(jù)進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，如表1.

從表1我們可以看出學(xué)生對(duì)Q4（有理數(shù)商子結(jié)構(gòu)）掌握最好，平均得分率達(dá)到94.33%，標(biāo)準(zhǔn)差也是最低的，只有0.4593，說(shuō)明學(xué)生對(duì)有理數(shù)商子結(jié)構(gòu)的掌握普遍偏好. 有理數(shù)的商子結(jié)構(gòu)主要測(cè)試的是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)以及百分?jǐn)?shù)等的認(rèn)識(shí)及其之間的轉(zhuǎn)化，《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：靈活處理有理數(shù)的關(guān)鍵在于對(duì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的不同表征有堅(jiān)實(shí)的理解. 學(xué)生應(yīng)該理解，0.4，40%代表的是同一個(gè)數(shù)，同時(shí)在不同的情境中，學(xué)生應(yīng)該能夠區(qū)分各種表示的優(yōu)缺點(diǎn)，選擇合適的表征表示相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象.

其次，學(xué)生在Q1（有理數(shù)的兩個(gè)重要符號(hào)“+”“-”）上的得分率為77.77%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.6164，說(shuō)明學(xué)生的掌握程度是比較一致的，但是這一掌握程度比我們預(yù)期的要差，“+”“-”作為有理數(shù)兩個(gè)最重要也最基本的符號(hào)，應(yīng)該每個(gè)學(xué)生都熟悉，特別是它們作為運(yùn)算符號(hào)是從學(xué)生一接觸數(shù)學(xué)就開始認(rèn)識(shí)的，而“+”“-”作為性質(zhì)符號(hào)，雖然從學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)才開始認(rèn)識(shí)，經(jīng)過(guò)初一一學(xué)期的學(xué)習(xí)與練習(xí)，學(xué)生也應(yīng)該熟練掌握. 此外，對(duì)于“-”，還有另外一種意義，表示相反數(shù). 比如，對(duì)于a，-a表示a的相反數(shù)；對(duì)于-a，-（-a）表示-a的相反數(shù). 但是，在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有學(xué)生想到“-”的這一層含義. 因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師不應(yīng)該只強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)于一些重要符號(hào)的本質(zhì)也應(yīng)該向?qū)W生解釋清楚，幫助學(xué)生深層次地理解有理數(shù).

相比之下，學(xué)生對(duì)Q2（學(xué)生對(duì)絕對(duì)值、倒數(shù)、相反數(shù)的認(rèn)識(shí)）、Q3（度量子結(jié)構(gòu)）的掌握則非常差，平均得分率分別只有51.59%和41.67%，得分的離散程度也非常大，分別為2.1903和1.0160，這從每題的最高分和最低分也可以很容易看出（Q2的最高分為6，最低分為0；Q3的最高分為4，最低分為0）.

在Q2中，大部分學(xué)生對(duì)a=-a的理解僅停留在絕對(duì)值的符號(hào)化表示的形式（a=-a表示a的絕對(duì)值為-a）上. 當(dāng)然我們知道，這不應(yīng)該是學(xué)生理解的終點(diǎn)，北師大版七年級(jí)上冊(cè)教科書中對(duì)絕對(duì)值性質(zhì)的描述為：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零. 在這63位學(xué)生中，只有10人（占比15.87%）能夠推出a為負(fù)數(shù)或0. 而對(duì)相反數(shù)和倒數(shù)的測(cè)試（ab=1，a+b=0），有不少學(xué)生直接解釋為a乘b的積等于1， a加b的和等于0. 從這個(gè)答案我們可以看出，學(xué)生并沒(méi)有深入地理解這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，對(duì)倒數(shù)和相反數(shù)的符號(hào)化表示比較陌生，只看到了這兩個(gè)式子的外部形式.

Q3是該問(wèn)卷中正確率最低的一道題，通過(guò)分析學(xué)生的答案可以看到，學(xué)生對(duì)有理數(shù)的度量結(jié)構(gòu)理解得很不到位. 比如，在兩個(gè)小題中，分別有31人（49.2%）和32人（50.8%）得到的答案分別為6和10. 原因是學(xué)生選取一小格為一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么Y到O點(diǎn)的距離是6個(gè)單位長(zhǎng)度，所以是6，同理得到第二問(wèn)為10. 我們可以很明顯地看到學(xué)生的一個(gè)思維定式是，當(dāng)取一小格為單位長(zhǎng)度時(shí)，學(xué)生默認(rèn)這個(gè)長(zhǎng)度為1，而忽視了數(shù)軸上已經(jīng)給出的兩個(gè)端點(diǎn)的值；還有部分學(xué)生只給出了距離的一般表示Y-0和X+Y. 另外，有個(gè)別學(xué)生直接通過(guò)直尺測(cè)量的方式，得到兩個(gè)距離分別為4 cm和7 cm，也就是說(shuō)，還有學(xué)生對(duì)距離的理解只停留在物理測(cè)量上.

通過(guò)上面的分析我們可以看出，學(xué)生對(duì)有理數(shù)概念理解的總體水平不盡如人意，并且學(xué)生之間的理解水平差距也比較大. 學(xué)生升入初中后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度比小學(xué)數(shù)學(xué)的難度大很多，有些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上已經(jīng)有了力不從心的表現(xiàn). 因此，教師在教學(xué)之余，應(yīng)該格外關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，幫助學(xué)生從小學(xué)數(shù)學(xué)成功過(guò)渡到中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

2. 性別因素對(duì)有理數(shù)概念理解的影響分析

（1）性別因素在Q1～Q4上的差異性分析

為了測(cè)試性別對(duì)各題得分的影響，我們可以考慮對(duì)性別因素進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn). 因此，首先要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的正態(tài)性. 我們發(fā)現(xiàn)四個(gè)題目的男、女生成績(jī)均不服從正態(tài)分布（顯著性均小于0.05），因此，我們改用非參數(shù)檢驗(yàn)方法：曼—惠特尼U檢驗(yàn)，結(jié)果如表3.

從表3中我們可以看出，四個(gè)題目的曼—惠特尼U系數(shù)分別為U=427.500，U=421.000，U=477.000，U=456.000，并且四道題的顯著性概率分別為P=0.296>0.05，P=0.296>0.05，P=0.763>0.05，P=0.377>0.05. 因此，四道題中，男、女生的成績(jī)均沒(méi)有顯著性差異.

（2）性別因素在總成績(jī)上的差異性分析

首先對(duì)總成績(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，得到男、女生總成績(jī)分別服從正態(tài)分布（P（男）=0.120>0.05，P（女）=0.117>0.05），因此，可以對(duì)總成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果如表4.

由表4可知，雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果是P=0.465>0.05. 因此，總成績(jī)的性別差異不顯著，即男、女生的平均成績(jī)?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)意義上是相等的. 且通過(guò)計(jì)算得到性別因素對(duì)總成績(jī)的實(shí)際影響效應(yīng)η2=0.009<0.01，也就是說(shuō)，成績(jī)差異中今有0.9%的變異是由性別差異引起的，從而性別差異對(duì)學(xué)生總成績(jī)幾乎沒(méi)有什么影響.

3. Q5與Q6的關(guān)聯(lián)度分析

Q5與Q6均是關(guān)于有理數(shù)稠密性的測(cè)試，Q5側(cè)重于數(shù)字角度，Q6側(cè)重于字母角度. 學(xué)生在初一上學(xué)期正式開始代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，部分學(xué)生對(duì)于字母表示數(shù)感到難以理解，從這一角度來(lái)看，兩個(gè)題目的難度是逐漸遞進(jìn)的. 但兩道題又具有很大的相似性，學(xué)生的回答應(yīng)該也具有相關(guān)性.

由于兩個(gè)題目各四個(gè)選項(xiàng)，有四個(gè)單元格（50%）的期望計(jì)數(shù)少于5，這一比例超過(guò)了20%的臨界值. 因此，我們使用費(fèi)希爾精確檢驗(yàn)（Fishers exact test），結(jié)果如表5.

通過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在兩個(gè)題目的回答上相互獨(dú)立，即沒(méi)有顯著性差異（P=0.259>0.05）. 結(jié)合前面的選項(xiàng)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，無(wú)論是基于數(shù)字的還是基于字母的，學(xué)生對(duì)有理數(shù)稠密性的理解都已經(jīng)達(dá)到了一定的高度.

通過(guò)前面的分析，男、女生在各種得分上均無(wú)顯著性差異. 也就是說(shuō)，男、女生對(duì)這部分內(nèi)容的掌握程度是相當(dāng)?shù)模@也比較符合義務(wù)教育階段課程的性質(zhì)和設(shè)置目的. 《標(biāo)準(zhǔn)》指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性. 因此，無(wú)論是男生還是女生，學(xué)習(xí)效果應(yīng)該是相當(dāng)?shù)? 另一方面，既然課程具有基礎(chǔ)性的特點(diǎn)，特別是初一數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性更強(qiáng)一點(diǎn)，那么從整體答題情況來(lái)看，學(xué)生顯然沒(méi)有達(dá)到這一要求，這應(yīng)該引起學(xué)校教師的重視.

結(jié)論及建議

有理數(shù)可以說(shuō)是初中數(shù)學(xué)最重要、最基礎(chǔ)的內(nèi)容，但它的掌握卻不那么容易. 通過(guò)研究，我們得到如下結(jié)論：

學(xué)生對(duì)“+”“-”作為運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào)的兩種意義只有一半左右的學(xué)生能夠完全掌握；對(duì)絕對(duì)值、倒數(shù)和相反數(shù)的掌握不好.

學(xué)生對(duì)有理數(shù)度量子結(jié)構(gòu)掌握得非常不好，較難把握度量單位與已給定值的關(guān)系；但對(duì)有理數(shù)的商子結(jié)構(gòu)掌握較好，對(duì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)以及百分?jǐn)?shù)等的關(guān)系理解較完整.

從學(xué)生對(duì)Q5和Q6的回答來(lái)看，無(wú)論是基于數(shù)字的還是基于字母的，學(xué)生對(duì)有理數(shù)稠密性的理解都不錯(cuò)，給出的解釋也比較新穎，有一定的深度，并且學(xué)生對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的回答是相互獨(dú)立的.

對(duì)于前四個(gè)題目及其總分來(lái)說(shuō)，性別因素在得分貢獻(xiàn)率上均處于不顯著水平，即男、女生的回答沒(méi)有顯著性差異.

本次調(diào)查時(shí)間處于初一上學(xué)期期末考試前夕，學(xué)生復(fù)習(xí)任務(wù)繁重，不乏有學(xué)生對(duì)問(wèn)卷應(yīng)付了事. 因此，學(xué)生對(duì)有理數(shù)概念的真實(shí)掌握情況應(yīng)該比問(wèn)卷反映的結(jié)果要稍好一些，但也不容樂(lè)觀. 針對(duì)上面反映出來(lái)的情況，我們給出如下建議.

1. 明確新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

有理數(shù)的學(xué)習(xí)擴(kuò)展了學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí). 學(xué)習(xí)有理數(shù)，最重要的就是把負(fù)有理數(shù)同化到正有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去. 這一過(guò)程的難點(diǎn)就是要讓學(xué)生理解“+”與“-”作為運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào)，擁有兩種不同角色. 因此，對(duì)于不同狀態(tài)下的兩種符號(hào)，教師要幫助學(xué)生理解它們的性質(zhì)與特點(diǎn)，耐心地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分.

其次，對(duì)于任何一個(gè)有理數(shù)，我們都可以在數(shù)軸上找到它的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn). 在數(shù)軸上，負(fù)有理數(shù)是0左邊的數(shù)，在數(shù)軸0的右側(cè)有一正有理數(shù)，那必然在0的左側(cè)有一負(fù)有理數(shù)，該負(fù)有理數(shù)的性質(zhì)和正有理數(shù)的性質(zhì)正好相反. 因此，教師可以利用這種關(guān)系，對(duì)負(fù)有理數(shù)進(jìn)行加工、改造，幫助學(xué)生建立起正有理數(shù)與負(fù)有理數(shù)之間的聯(lián)系.

2. 提供足夠的直觀材料，豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中，12歲左右的學(xué)生正處于從具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段的過(guò)渡時(shí)期，處于這一階段的學(xué)生的抽象思維還沒(méi)有正式形成，他們只能聯(lián)系具體事物進(jìn)行思考，思維的內(nèi)容與形式尚未分離. 因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)盡可能提供一些直觀的學(xué)習(xí)資料，讓學(xué)生能夠從具體的事物和材料出發(fā)進(jìn)行思維，通過(guò)對(duì)直觀材料不斷地重新建構(gòu)，逐漸在學(xué)生頭腦中形成對(duì)知識(shí)的抽象表征，完成對(duì)新知識(shí)的心理建構(gòu). 比如，可以通過(guò)溫度計(jì)引入數(shù)軸的概念等. 同時(shí)，以實(shí)物為支撐的抽象化過(guò)程，又能促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展.