李玲玲

“喝牛奶的數(shù)學(xué)問題”這一內(nèi)容涉及的分?jǐn)?shù)比較抽象，常作為數(shù)學(xué)愛好者研究的智力問題。人教版教材在五年級下冊的“分?jǐn)?shù)的加減法”單元中，增加了此內(nèi)容作為解決問題的例題，具體題目為“一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？”教材的編排意圖是“不僅緊密聯(lián)系生活實(shí)際，更重要的是滲透用幾何直觀解決問題的策略”。從單元的整體編排來看，本課是“分?jǐn)?shù)的加減法”單元中第三小節(jié)“分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算”的例3，按常理來說，應(yīng)該是運(yùn)用分?jǐn)?shù)加減的方法來解決問題。然而，這道題要求“一共喝多少杯純牛奶”，表面看是用分?jǐn)?shù)加減法來解決，但關(guān)鍵的一步“第二次喝了多少杯純牛奶”卻需要用到分?jǐn)?shù)的意義，這也是本課的教學(xué)難點(diǎn)。在該階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)時只認(rèn)識了完整的單位“1”，比如“年有（ ）個月”，對于本題所需解決的“杯的是多少”，單位“1”已發(fā)生轉(zhuǎn)換，學(xué)生理解存在困難。由于學(xué)生還沒學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法，無法用乘法計(jì)算來解決“杯純牛奶的一半是多少”的問題，只能運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義推理出結(jié)論。基于以上思考，本課確定了借助幾何直觀助力推理生成的教學(xué)思路。

一、借助幾何直觀，加強(qiáng)畫圖指導(dǎo)

“幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。”（史寧中）從中可以看出，幾何直觀與“圖形”是密不可分的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形直觀發(fā)揮著重要的作用，圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。圖形教給學(xué)生用直觀圖示描述問題的方法，是發(fā)展學(xué)生直觀感受力的重要途徑。在本課教學(xué)中，圖形應(yīng)成為解決問題的重要工具。

為了更好地了解學(xué)生關(guān)于畫圖策略的基礎(chǔ)，筆者對五年級學(xué)生進(jìn)行前測。題目如“一杯果汁，小明喝了一半，覺得有些甜，就兌滿水。他又喝了半杯，就沒再喝了。小明一共喝了多少杯果汁？多少杯水？”全班43人，按學(xué)生座位分成兩組并完成問卷題目。A組要求“先畫圖，再解答”，B組“按自己喜歡的方法解決問題”。大概用時10分鐘，學(xué)生獨(dú)立完成，當(dāng)場收取，結(jié)果不做反饋。

前測結(jié)果表明，學(xué)生的自覺運(yùn)用畫圖策略解決問題的意識比較淡薄。但在根據(jù)要求用畫圖策略解決問題的答題過程中，只有少數(shù)幾位同學(xué)能比較準(zhǔn)確地用圖表達(dá)出題目意思，部分學(xué)生只是為畫圖而畫圖，達(dá)不到輔助理解題意解決問題的目的，甚至正確率還低于不畫圖的B組。從前測可以看出，無論是學(xué)生的畫圖意識，還是畫圖能力，都有待提高。

基于調(diào)研的情況，在教學(xué)時，教師可在畫圖環(huán)節(jié)留足時間，不走過場。教師引導(dǎo)學(xué)生通過“閱讀與理解”明白題目意思，然后出示要求：1. 請畫圖表示題目意思。（搭配簡單文字可使思路明晰）2. 請列式解決問題。3. 結(jié)合圖與你的同桌講講你的思路。

學(xué)生自主畫圖時，教師巡視及時發(fā)現(xiàn)不同想法的學(xué)生作品，收集用作集體評析（圖1）。展評學(xué)生作品時，應(yīng)請學(xué)生清晰地表達(dá)出自己的思維過程，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行追問，作為進(jìn)一步開展教學(xué)的資源。

此題的情境較為生活化，畫圖是一個“去情境化”的過程，能夠直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，有助于推理的順利開展。而當(dāng)學(xué)生還不善于畫圖解決問題時，教師應(yīng)重視指導(dǎo)，幫助學(xué)生認(rèn)識到借助畫圖可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，從而積累相關(guān)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

二、重視語言轉(zhuǎn)換，理解推理過程

這里的語言轉(zhuǎn)換，指生活語言與數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，以及數(shù)學(xué)語言內(nèi)部的轉(zhuǎn)換。本題以生活情境出示，充滿濃濃的生活味，教師在“閱讀與理解”環(huán)節(jié)可以引導(dǎo)學(xué)生理解“兌”“一半”等字詞在數(shù)學(xué)方面的含義。比如“兌”是為了讓加水后的牛奶更均勻，避免引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題時產(chǎn)生的無謂爭議，而一半剛好可以用分?jǐn)?shù)“”來表示。雖然話語不多，但可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)生活語言與數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)。

然而，解決本問題更重要的是要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的內(nèi)部轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)語言不僅是數(shù)學(xué)思維的工具和載體，它還可以促進(jìn)、深化數(shù)學(xué)思維。從某種意義上說，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就是“數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”。數(shù)學(xué)語言，可分為文字語言、符號語言、圖表語言。文字語言源于自然語言，是用來描述其他幾種語言的表述形式，直接但信息分散，適于學(xué)生在各種語言情境中展開聯(lián)想；符號語言源于文字語言，具有形式化但抽象的特點(diǎn)；圖形語言是指利用圖形圖表進(jìn)行描述的語言方式，直觀、形象且有助于學(xué)生拓寬思維。在本課的教學(xué)中，圖形直觀發(fā)揮了關(guān)鍵的作用，但引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)三種語言的轉(zhuǎn)換也是教學(xué)的一大著力點(diǎn)。

從以上過程可以看出，引導(dǎo)學(xué)生建立不同數(shù)學(xué)語言的對應(yīng)關(guān)系，是進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的重要條件。教學(xué)中既要引導(dǎo)學(xué)生對相同數(shù)學(xué)內(nèi)容善于用不同數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表示，又要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)的文字語言、圖表語言、符號語言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，以幫助學(xué)生理解不同語言內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和語言自身的數(shù)學(xué)意義，在語言的轉(zhuǎn)換過程中培養(yǎng)推理能力。

三、落實(shí)回顧反思，實(shí)現(xiàn)推理發(fā)展

人教版新教材倡導(dǎo)的“解題三步驟”，在高年級為“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”，這對培養(yǎng)學(xué)生的解決問題策略意識有很大的促進(jìn)作用。但在實(shí)際教學(xué)中，前兩個環(huán)節(jié)相對得到重視，而第三個環(huán)節(jié)“回顧與反思”，往往成了機(jī)動環(huán)節(jié)隨意處理。這顯然不利于學(xué)生形成較為穩(wěn)定的策略意識，屬于教學(xué)的短視行為。在本課的教學(xué)中，教師要重視“回顧與反思”環(huán)節(jié)，通過引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問題的過程。

【教學(xué)片段】

師：結(jié)論到底對不對？可以怎樣檢驗(yàn)？（學(xué)生小組交流后匯報(bào)）

生：可以從剩下的半杯兌過水的牛奶考慮，剩下的杯中有一半的純牛奶和一半的水，所以剩下的純牛奶是杯，所以喝了杯純牛奶是正確的。

生：可以把兩次喝的純牛奶和最后剩下的純牛奶加起來，剛好是一杯純牛奶。所以我們的結(jié)論是正確的。

生：每次喝的半杯中都是剩下純牛奶的一半，第一次喝的是整杯純牛奶的一半，第二次喝的是剩下半杯純牛奶的一半。

師：如果重復(fù)進(jìn)行“兌滿熱水再喝一半”的動作，那么會是什么情況呢？比如第三次、第四次……分別喝多少牛奶，剩下多少牛奶？

出示前兩次的結(jié)果整理，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面探究的數(shù)據(jù)進(jìn)行思考（表1）。

師：假設(shè)不斷地重復(fù)這樣的過程，會是什么結(jié)果？

生：牛奶永遠(yuǎn)喝不完，這太奇怪了。

師：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”《莊子·天下篇》中有類似這種現(xiàn)象的記載，我們的老祖宗早就有相關(guān)的研究。

這個片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過“回顧與反思”，有意識地培養(yǎng)學(xué)生逐步完善解決問題的思維過程，能使學(xué)生進(jìn)一步體會借助幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的優(yōu)勢，找出解決問題的思路和方法，同時也為后面理解分?jǐn)?shù)乘法的意義、解決問題積累一定的方法和經(jīng)驗(yàn)。整理表格屬于拓展練習(xí)，有了這個表格作支架，借助圖形直觀支撐的思維就可以逐步過渡到推理層次的思維，從而實(shí)現(xiàn)推理能力的發(fā)展。從培養(yǎng)推理能力的角度來看，在“分析與解答”環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換推理出結(jié)果，屬于合情推理；而“回顧與反思”，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度證明結(jié)論的正確性，雖然推理過程仍不夠嚴(yán)密，但已初步體驗(yàn)演繹推理的運(yùn)用了。

（作者單位：福建省廈門實(shí)驗(yàn)小學(xué)）