文︳申娜

概念活用思路寬廣

文︳申娜

李邦河院士在《數(shù)的概念的發(fā)展》報告中指出：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”細細體會這話，運用到數(shù)學學習中，還真是那么回事。

例如，推導一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）根與系數(shù)的關(guān)系時，我們通常是求出方程的兩個根，再算兩根之和與之積。如果用方程根的概念，則另有一番風光。

設(shè)x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的兩根，則

ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0。

兩方程相減并分解因式，得（x1-x2）[a（x1+x2）+b] =0。

若x1=x2，則b2-4ac=0，b2=4ac，方程有兩個相等的實根

若x1≠x2，則a（x1+x2）+b=0，

將兩方程相加并配方，得[a（x1+x2）2-2x1x2]+ b（x1+x2）+c=0，將代入并化簡，得x1x2=

雖然上述過程并不比用求根公式計算簡便，但也打開了思維的另一扇窗，使我們思考問題的路子更寬廣。

許多數(shù)學概念中就有數(shù)學表達式，如橢圓、雙曲線的定義，本身就是用數(shù)學式子敘述的。在思考問題時，很多題目就可靈活運用定義求解。

如，設(shè)點F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任一點，又有一定點M（6，4），求|PM|+|PF1|的最大值。

很容易想到設(shè)點P（x1，y1），或者設(shè)P（5cosθ， 4sinθ）代入橢圓方程，得到一個等式，然后又代入|PM|+|PF1|中，求函數(shù)的最大值。這樣做思路易得，求解卻難。如果利用橢圓定義的表達式，則會顯得簡便。

易求得F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），依據(jù)橢圓定義，有|PF1|+|PF2|=10，則|PF1|=10-|PF2|。

于是，|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=

當|PM|-|PF2|=|MF2|時，取得最大值15。那么，取得最大值時，點P的坐標是什么？從圖形上發(fā)現(xiàn)，當點P是線段MF2的延長線與橢圓的交點時，才能滿足|PM|-|PF2|=|MF2|。直線MF2的方程是與橢圓方程聯(lián)立，解得P（0，-4）或顯然，點P（0，-4）滿足條件。

橢圓、雙曲線定義中，動點到兩定點的距離和或差是定值。那么，動點到兩定點的距離商如果是定值，動點的軌跡是什么呢？

設(shè)動點是P（x，y），兩定點分別是F1（-a，0），F(xiàn)2（a，0），a＞0，且，λ＞0，且λ≠1。那么，，化簡，得

（1-λ2）x2+（2a+2aλ2）x+（1-λ2）y2+（a2-a2λ2）=0。

由于λ≠1，則1-λ2≠0，那么上式表示的是圓的方程，動點P（x，y）的軌跡是圓。這個圓叫阿波尼斯圓。運用阿波尼斯圓可以簡解下面兩道高考數(shù)學題。1.（2008年江蘇）滿足條件的△ABC面積的最大值是_________。

2.（2014年湖北）已知圓x2+y2=1和點A（-2，0），若定點B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則b=_______，λ=________。

第1題中，設(shè)A（-1，0），B（1，0），C（x，y），則λ=。由上面的阿波尼斯圓的方程，得點C的軌跡是：（x-3）2+y2=8（除去點（，0））。由于|AB|=2是定值，要使△ABC的面積最大，只要點C到AB的距離最大即可。顯然，最大距離是圓的半徑，因此，最大面積是

第2題中，設(shè)M（x0，y0），由|MB|=λ|MA|，得

（作者單位：邵東縣第一中學）