關(guān)于偏微分線性算子教學(xué)的若干探討

禹曉紅

【摘要】 偏微分線性算子是高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的內(nèi)容，本文主要對偏微分線性算子及其數(shù)學(xué)表達方式的教學(xué)進行了詳細(xì)的介紹與闡述，尤其是對其在相關(guān)領(lǐng)域（如工程技術(shù)及物理學(xué)）中的實際應(yīng)用的教法進行了探討.

【關(guān)鍵詞】 線性算子；偏微分；教學(xué)；應(yīng)用

偏微分線性算子作為偏微分領(lǐng)域更為深入的算法，在諸多領(lǐng)域均可被應(yīng)用，如，工程技術(shù)以及物理學(xué)之中的拉普拉斯（Laplace）算子中就有關(guān)于偏微分線性算子的應(yīng)用.本文主要采用推理、演算的方法對偏微分線性算子教學(xué)進行著重闡述與研究.

一、線性算子的定義

線性空間V到自身的映射通常稱為V上的一個變換.同時，具有以下定義：線性空間V上的一個變換A稱為線性變換，如果對于V中任意的元素α，β和數(shù)域P中任意k，都有

A（α+β）=A（α）+A（β），

A（kα）=kA（α）.

線性代數(shù)研究的一個對象，即向量空間到自身的保運算的映射.例如，對任意線性空間V，位似是V上的線性變換，平移則不是V上的線性變換.對線性變換的討論可借助矩陣實現(xiàn).σ關(guān)于不同基的矩陣是相似的.Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）稱為σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}稱為σ的象，是刻畫σ的兩個重要概念.

對于歐幾里得空間， 若σ關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是正交（對稱）矩陣，則稱σ為正交（對稱）變換.正交變換具有保內(nèi)積、保長、保角等性質(zhì)，對稱變換具有性質(zhì)：〈σ（a），β〉= 〈a，σ（β）〉.

在數(shù)學(xué)中，線性映射（也叫作線性變換或線性算子）是在兩個向量空間之間的函數(shù)，它保持向量加法和標(biāo)量乘法的運算.術(shù)語“線性變換”特別常用，尤其是對從向量空間到自身的線性映射（自同態(tài)）.在抽象代數(shù)中，線性映射是向量空間的同態(tài)，或在給定的域上的向量空間所構(gòu)成的范疇中的態(tài)射.

線性變換（算子）示意圖

二、向量及其運算法則

在數(shù)學(xué)中，將向量做如下定義，即：不僅有大小，而且還有方向的量，若僅有大小而無方向，在數(shù)學(xué)中則稱為“標(biāo)量”.根據(jù)向量及標(biāo)量兩個定義，可將其推廣至函數(shù)運算之中，于是演變成為“標(biāo)量函數(shù)”與“向量函數(shù)”，前者主要指的是純函數(shù)值，后者則為取向量值的函數(shù).對于一個3D直角坐標(biāo)系而言，習(xí)慣上采用 i，j，k 分別表示x軸、y軸以及z軸正方向上的單位向量.于是對于任意一個3D向量 a 而言，則可采取如下形式進行表示：

a = ia 1+ ja 2+ ka 3.

上式中，一般將 a 1， a 2及 a 3稱為分向量，一般將分量均為常純量的向量稱之為“常向量”，而分量均為函數(shù)的向量稱之為“向量函數(shù)”.純量主要包括常純量及純量函數(shù)，向量主要包括常向量與向量函數(shù).

對于向量以及向量函數(shù)而言，一般具有數(shù)乘、加法、點乘、叉乘、長度、偏導(dǎo)數(shù)以及積分7個方面的運算法則.具體而言，算法如下所示：

（1）數(shù)乘：α（ ia 1+ ja 2+ ka 3）= i （α a 1）+ j （α a 2）+ k （α a 3）；

上式中，α屬于純量，即標(biāo)量.

（2） 加法：（ ia 1+ ja 2+ ka 3）+（ ia 1+ jb 2+ kb 3）= i（a1 + b1） + j（a 2+ b 2）+ k （ a 3+ b 3）；

（3） 點乘： （ia 1+ ja 2+ ka 3）·（ ib 1+ jb 2+ kb 3）= a 1 b 1 + a2b2 + a3b 3；

（4）叉乘： （ia1 + ja 2+ ka 3）×（ ib 1+ jb 2+ kb 3）= i a1 b1j a2 b2k a3 b3 = i（a2b3 - a3b2） + j（a3b1 - a1b3） + k（a1b2 - a2b1） ；

（5）長度： |ia1 + ja 2+ ka 3|= a 21+ a 22+ a 23 ；

（6）偏導(dǎo)數(shù)： x （ia1 + ja 2+ ka 3）=i a 1 x + j a 2 x + k a 3 x ；

（7）積分：∫ （ia1+ja2+ka3） dx= i ∫ a 1dx= j ∫ a 2dx+ k ∫ a 3dx.

向量函數(shù)的微分以及關(guān)于其他自變量的偏導(dǎo)數(shù)或積分等運算，具體的計算方法均可進行全面推廣.對于向量函數(shù)而言，它的微分或者偏導(dǎo)數(shù)存在如下幾個方面的運算性質(zhì)：

（1）d（α a +β b ）=αd a +βd b ；

（2） d（ a · b ）=（d a ）· b + a ·（d b ），d（ a × b ）=（d a ）× b + a ×（d b ）；

（3） a · b x =（ a · b ） x ， a × b x =（ a × b ） x .

三、拉普拉斯（Laplace）算子

在高等數(shù)學(xué)中，一般將此類型算子記為“

四、結(jié) 論

對于偏微分線性算子而言，主要綜合了偏微分與向量兩大部分的內(nèi)容，在實際教學(xué)過程中，應(yīng)該注意運算法則的演算，并注意在實際教學(xué)過程中將其應(yīng)用于實際之中.

【參考文獻】

[1]郭時光.偏微分線性算子的教學(xué)[J].科學(xué)與致富，2011（10）：20-21.

[2]郭時光.關(guān)于譜半徑的一個不等式及其應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊，2010（2）：53-55.