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      例析四面體中關(guān)于“棱”的問題

      2017-03-30 09:20:00李匯宇
      中學(xué)生理科應(yīng)試 2017年3期
      關(guān)鍵詞:棱長成角四面體

      李匯宇

      中學(xué)立體幾何主要任務(wù)是研究空間點(diǎn)、線、面、體的位置關(guān)系和度量.“棱”是屬于線的范疇,又是多面體的重要構(gòu)成元素,在一些試題中,命題教師比較看重“棱”的功能,在四面體中不惜重墨宣染,將有關(guān)棱的問題演繹得淋漓盡致,使這些試題富于探究性、挑戰(zhàn)性,能考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力,所以在高考、自主招生和數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn),筆者在老師指導(dǎo)下,收集高考復(fù)習(xí)時(shí)資料中出現(xiàn)的題目,剖析如下,與同伴們分享.

      一、由棱長求四面體個(gè)數(shù)問題

      例1 (2007年浙江省數(shù)學(xué)競賽題)以1,1,1,2,2,2為六條棱長的四面體個(gè)數(shù)為( )

      A.2 B.3 C.4 D.6

      解析 以這些邊為三角形僅有四種:(1,1,1),(1,1,2),(1,2,2),(2,2,2).

      固定四面體的一面作為底面:當(dāng)?shù)酌娴娜厼椋?,1,1)時(shí),另外三邊的取法只有一種情況,即(2,2,2);當(dāng)?shù)酌娴娜厼椋?,1,2)時(shí),另外三邊的取法有兩種情形,即(1,2,2),(2,1,2).其余情形得到的四面體均在上述情形中.由此可知,四面體個(gè)數(shù)有3個(gè),應(yīng)選B.

      二、關(guān)于棱所成的角

      例2 (2008年吉林省數(shù)學(xué)競賽題)有六根細(xì)木棒,其中較長的兩根木棒長分別為3a,2a,其余四根均為a,請你用它們搭成三棱錐,則其中的兩條較長的棱所在的直線所成角的余弦值為( ).

      A.63 B.0

      C. 0或63

      D.以上答案皆不對

      解析 由于6根木棒中有兩根與眾不同,對它們所在位置要合理分類討論,做到不重不漏:(1)當(dāng)長分別為3a,2a的兩根木棒在同一個(gè)面內(nèi)時(shí),如圖1,不妨設(shè)AB=AC=AD=BC=a,CD=2a,BD=3a,可得BD、CD所成角的余弦值為63;(2)當(dāng)長分別為3a,2a的兩根木棒為四面體對棱時(shí),如圖2,不妨設(shè)AB=AD=BC=CD=a,AC=2a,BD=3a,取AC的中點(diǎn)E,連BE,DE,則AC⊥BE,AC⊥DE,所以AC⊥面BDE,進(jìn)而AC⊥BD,從而它們所成角的余弦值為0,但由于此時(shí)BE+DE

      三、關(guān)于棱長的取值范圍

      例3 (2012年重慶理9)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,2和a,且長為a的棱與長為2的棱異面,則a的取值范圍是( ).

      A.(0,2) B.(0,3)

      C.(1,2) D.(1,3)

      圖3

      解析 如圖3,將長為a的棱看作橡皮筋一樣可以伸縮,也即兩個(gè)三角形△BCD、△ACD可繞CD邊轉(zhuǎn)動,從兩個(gè)極端看,當(dāng)A、B快重合時(shí),a接近0,當(dāng)兩三角形平面成以CD為棱的1800平面角時(shí),a就是邊長為1的正方形對角線長,此時(shí)a為2,故選A.

      例4 (2010遼寧理數(shù)12)有四根長都為2的直鐵條,若再選兩根長都為a的直鐵條,使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架,則a的取值范圍是( ).

      A.(0,6+2) B.(1,22)

      C. (6-2,6+2)D. (0,22)

      解析 根據(jù)條件,四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐的鐵架,有以下兩種情況:(1)底面是邊長為2的正三角形,三條側(cè)棱長為2,a,a,如圖4,取BC中點(diǎn)D,連結(jié)SD、AD可知AD=3,SD=a2-1,在△SAD中,則有2-3

      所以(6-2)2=8-43

      即有6-2

      (2)構(gòu)成三棱錐的兩條對棱長為a,其他各棱長為2,如圖5,取AB中點(diǎn)D,此時(shí)CD=SD=4-a24,在△SDC中,由三角形三邊關(guān)系知,24-a24>a,得0

      在實(shí)際考試中,學(xué)生往往看到四個(gè)表面三角形,只能粗略求得0

      很難深入內(nèi)部構(gòu)建三角形,再利用三邊關(guān)系建立不等式組,若用極端原理,就很容易知道:

      由圖4變成如圖6,當(dāng)AS、AD成平角時(shí),此時(shí)a=SB=SC=SD2+BD2=1+(2+3)2=8+43=6+2.

      由圖4變成如圖7,當(dāng)AS、AD成零角時(shí),

      此時(shí)a=SB=SC=SD2+BD2=1+(2-3)2=8-43=6-2,

      所以6-2

      對圖5,當(dāng)S、C,A、B接近重合時(shí),a趨近0;當(dāng)二面角S-AB-C為180°

      時(shí),由SC=AB=a,SA=AC=CB=SB,可知四邊形SACB為正方形,此時(shí)a=22 ,所以0

      四、由棱長求體積或其最值

      例5 (1999年上海高考理科試題第12題)若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體,則其體積的值是(寫出所有可能的值).圖8

      解析 要構(gòu)造出滿足條件的四面體,關(guān)鍵是根據(jù)三角形知識確定每個(gè)面上的3條棱,排除(1,1,2),可得(1,1,1)、(1,2,2)、(2,2,2),用這3類面(三角形)在空間中構(gòu)造出滿足條件的一個(gè)四面體,這就要進(jìn)行分類討論了.另外一個(gè)難度體現(xiàn)求三棱錐的高,這要利用圖形對稱性及三角形中的面積關(guān)系,如圖8.

      其體積可能值是:1112,1412,116 .

      例6 三棱錐S-ABC中,一條棱長為a,其余棱長均為1,求a為何值時(shí),三棱錐S-ABC體積最大,并求最大值.圖9

      解析 如圖9,由于圖形的對稱性,容易求出高,所以很多學(xué)生會將體積表示為a 的函數(shù),也能求出答案;但還有更妙的方法:這個(gè)三棱錐可以理解成兩個(gè)邊長為1的正三角形以棱BC為軸可以互相“開合”,兩個(gè)頂點(diǎn)A、S之間的連線就是a(想像成橡皮筋),要使體積最大,當(dāng)?shù)酌鍭BC一定時(shí),只要棱錐的高最大即可,所以平面SBC垂直于底面ABC時(shí),高最大,即為△SBC的高h(yuǎn)=32,所以Vmax=13×34×32=18 ,此時(shí),a=32×2=62.

      例7 (2010武漢大學(xué)自主招生題)有4條長為2的線段和2條長為a的線段,用這6條線段作為棱,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.問a為何值時(shí),可構(gòu)成一個(gè)體積最大的三棱錐,最大值為多少?圖10 圖11

      解析 和例6有相似之處,只是變化的線段多一條,若方法不當(dāng),覺得無從下手且復(fù)雜,方法選好照樣簡單.由例2知構(gòu)成三棱錐有兩種擺放方式:

      (1)當(dāng)2條長為a的線段放在同一三角形中,如圖10,不妨設(shè)底面BCD是一個(gè)邊長為2的正三角形,要使體積達(dá)到最大,必有BA⊥底面BCD,此時(shí)由BA=2求得AC=AD=a=22,所以

      Vmax=13×34×22×2=233;

      (2)當(dāng)2條長為a的線段不在同一三角形中,那只能是對棱的位置,如圖11,不妨設(shè)AD=BC=a,BD=CD=AB=AC=2.取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE、DE,則AE⊥BC,DE⊥BC,從而BC⊥面AED.

      所以V=13S△AED·BC.在△AED中,AE=DE=4-a24,AD=a,

      S△AED=12a4-a24-a24=12a4-a22 ,所以

      V=16a24-a22=1614a2·a2·(16-2a2),由三元均值不等式a2·a2(16-2a2)≤(163)3.

      當(dāng)且僅當(dāng)a2=163時(shí)等號成立,即a=433時(shí),Vmax=16273<18273=233.

      綜上,當(dāng)a=22時(shí),可構(gòu)成一個(gè)最大體積的三棱錐,最大值為233.五、棱長和向量的完美結(jié)合圖12

      如圖12,在四面體ABCD中,不妨設(shè)AD=a,BC=b,CD=c,AB=d,則有如下一個(gè)優(yōu)美結(jié)論:

      2BD·AC=(a2+b2)-(c2+d2)

      證明:因?yàn)锽C=BD+DA+AC,

      所以BC2=(BD+DA+AC)2=BD2+a2+AC2+2BD·DA+2BD·AC+2DA·AC,

      b2=(BD2-2BD·ADcos∠ADB)+(AC2-2AD·ACcos∠DAC)+a2+2BD·AC,

      又由余弦定理,得d2=a2+BD2-2BD·ADcos∠ADB,c2=a2+AC2-2AD·ACcos∠DAC,

      從而b2=(c2-a2)+(d2-a2)+a2+2BD·AC,

      即2BD·AC=(a2+b2)-(c2+d2).

      由上述結(jié)論可得:①已知四面體任意兩組對棱的長,可求第三組對棱的數(shù)量積,但要注意兩向量的方向,從圖12中看出,兩向量方向相當(dāng)于平面直角坐標(biāo)系中x軸和y軸的正方向;②如果將結(jié)論左邊BD·AC看作一個(gè)量,可以“知四求一”;③若再知道BD和AC的長,則能求得異面直線AC和BD所成角的余弦值.設(shè)異面直線AC和BD所成角為θ,BD=e,AC=f,則2efcosθ=(a2+b2)-(c2+d2),謂之推論,也即知道四面體的所有棱長,能分別求得三組對棱所成角的余弦值.

      例8 (2016屆名校新高考研究聯(lián)盟理科15題)空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足|AB|=2,|BC|=3,

      |CD|=4,|DA|=7,則

      AC·BD=.

      解析 由結(jié)論知:

      2AC·BD=-[(AB2+CD2)-(BC2+AD2)]=38,

      所以AC·BD=19.

      例9 (金麗衢十二校一模理科15題)如圖13,在三棱錐D-ABC中,已知AB=2, AC·BD=-3,設(shè)AD=a,BC=b,CD=c,則c2ab+1的最小值為.

      解析 由2BD·AC=(a2+b2)-(c2+d2),

      得-6=(a2+b2)-(c2+4),即c2=a2+b2+2,

      所以c2ab+1=a2+b2+2ab+1≥2ab+2ab+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立,此時(shí)c2ab+1的最小值為2.

      例10 如圖14,將一副三角板拼接后,再使三角板BCD沿BC豎起來,使兩塊三角板所在的平面互相垂直,求異面直線AD和BC所成角的余弦值.

      解析 不妨假設(shè)△BCD是一個(gè)角為300,另一個(gè)角為600的直角三角形.令CD=a,則BC=3a,BD=2a,AB=AC=62a,

      因?yàn)槊鍮CD⊥面ABC,CD⊥BC,所以CD⊥面ABC,從而CD⊥AC,求得AD=102a.

      由推論知,2AD·BCcosθ=|(BD2+AC2)-(AB2+CD2)|,所以30a2cosθ=3a2,

      cosθ=3010,即異面直線AD和BC所成角的余弦值為3010.

      綜觀上述例題,組成四面體的6條棱長短不一,就存在答案多重性,要抓準(zhǔn)分類討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏;極端原理巧妙運(yùn)用能減少運(yùn)算量,做到小題巧做.還有必須清楚線線、線面位置關(guān)系,且找到合理的算法、最佳求線段長的途徑.特別是和向量巧妙地揉合在一起,讓人耳目一新,很能反映一個(gè)學(xué)生的解題能力.

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