劉玉琴 宋善炎
(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410081)
物理競(jìng)賽中使用積分法求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)一二
劉玉琴 宋善炎
(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410081)
為提升物理競(jìng)賽中學(xué)生運(yùn)用積分法解決物理問題的能力,以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的求解為例,提出了用積分法解題的一般思路.對(duì)于動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),先尋找動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)微元,再通過對(duì)微元積分求解;對(duì)于感生電動(dòng)勢(shì),在已知感生電場(chǎng)表達(dá)式時(shí),先求出感生電動(dòng)勢(shì)微元,再對(duì)微元積分求解,也可先利用積分求出通過回路的磁通量,再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解.
積分法 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 感生電動(dòng)勢(shì)
根據(jù)引起磁通量變化的原因,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)之分.當(dāng)磁場(chǎng)B不隨時(shí)間變化而閉合電路的整體或局部在運(yùn)動(dòng)時(shí),回路中存在動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),其在數(shù)值上等于非靜電力洛倫茲力移動(dòng)單位正電荷所做的功;當(dāng)磁場(chǎng)B隨時(shí)間變化而閉合電路任一部分都不動(dòng)時(shí),回路中存在感生電動(dòng)勢(shì),其在數(shù)值上等于非靜電力感生電場(chǎng)力移動(dòng)單位正電荷沿回路一周所做的功.若磁場(chǎng)B隨時(shí)間變化的同時(shí)閉合電路的整體或局部也在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),此時(shí)回路中的電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)的疊加.
對(duì)于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算,高中教材介紹了通過法拉第電磁感應(yīng)定律進(jìn)行求解的方法,求解工具為簡(jiǎn)單的初等數(shù)學(xué)知識(shí).而在物理競(jìng)賽的一些情景中,難以通過初等數(shù)學(xué)工具求解,需要借助高等數(shù)學(xué)中的積分法進(jìn)行求解,下面通過一些例題來說明積分方法的應(yīng)用.
在高中階段,動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的常用計(jì)算公式E=Blvsinθ,當(dāng)導(dǎo)體上各點(diǎn)的速度不一樣時(shí),若各點(diǎn)的線速度是均勻變化的,我們可以利用平均速度來求解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),如例1.但對(duì)于非均勻變化的情況,用初等數(shù)學(xué)知識(shí)難以解決,需利用
進(jìn)行求解,如例2和例3.
【例1】如圖1所示的金屬桿AB在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)以角速度ω繞O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),求A,B間的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)[1].
圖1 例1題圖
dε=(v×B)·dl=Bωldl
則
則
圖2 例2題圖
解答:取金屬線圈上一微元dl,其產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
dε=(v×B)·dl=Bωrdlsinα
其中
r=Rsinαdl=Rdα
則
dε=Bω(Rsinα)sinαRdα=BωR2sin2αdα
故AM上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
AC上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
此外,在有些問題中桿的運(yùn)動(dòng)方向、桿的軸線方向都和B不垂直,而且桿上各點(diǎn)的速度又不同,此時(shí)用積分的方法求解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)會(huì)更簡(jiǎn)單,以例3為例進(jìn)行說明.
【例3】如圖3所示的直角坐標(biāo)系中,有一絕緣圓錐體,半錐角為θ,軸線沿z軸方向,頂點(diǎn)在原點(diǎn)處.有一條長(zhǎng)為l的細(xì)金屬絲OP固定在圓錐體的側(cè)面上,與圓錐體的同一條母線重合.空間存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B.試討論當(dāng)圓錐體沿如圖所示方向做角速度為ω的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),OP上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的情況[1].
圖3 例3題圖
解答:由右手螺旋定則,容易判斷O點(diǎn)和P點(diǎn)電勢(shì)的高低.由于桿上各點(diǎn)的速度各不相同,桿的運(yùn)動(dòng)方向并不總是與B垂直,桿的軸線方向與B不垂直,因此考慮利用積分方法進(jìn)行求解.
當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)x為正時(shí),P點(diǎn)的電勢(shì)都高于O點(diǎn)的電勢(shì);當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)x為負(fù)時(shí),P點(diǎn)的電勢(shì)都低于O點(diǎn)的電勢(shì).
(1)當(dāng)P點(diǎn)的y坐標(biāo)為零,即OP在xOz平面時(shí),此時(shí)OP上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大.
在OP上取一微元dl,其上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為
dε=(v×B)·dl=ωlsinθBcosθdl
則OP上動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小為
(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置(圖4),P點(diǎn)的x和y坐標(biāo)都大于零,QP與x軸的夾角為α?xí)r,在OP上取一微元dl,其上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為
圖4 情況(2)分析圖
即OP上動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小為
總之,在使用積分法求解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí),只要選取導(dǎo)體微元dl,將其對(duì)應(yīng)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)
dε=(v×B)·dl=vBsinθcosαdl
其中eφ為E感方向的單位矢量,與r垂直.
圖5 無限長(zhǎng)載流螺線管分析
圖6 例4題圖
在ab上距離O點(diǎn)為r(0≤r≤R)處取一長(zhǎng)度微元dl,其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為dε,則
代入相關(guān)數(shù)據(jù)
進(jìn)行積分運(yùn)算,有
【例5】若在例4的基礎(chǔ)上,將導(dǎo)體棒ab延伸到螺線管外,并使得ab=bc=R,如圖7所示,求此時(shí)導(dǎo)體棒ac的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)εac[1].
圖7 例5題圖
解答:導(dǎo)體棒ac的ab段處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi),bc段處于磁場(chǎng)區(qū)域外,其對(duì)應(yīng)的感生電場(chǎng)的表達(dá)式不同,仍可利用積分的方法分別求出兩段的感生電動(dòng)勢(shì)再進(jìn)行求和.由例4知,對(duì)ab段
同理對(duì)bc段,有
其中ds=dlcosα,ds=rdα,則
故
順便提一下,由于E感與r垂直,Oa,Ob,Oc段感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,我們常常利用法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路Oab和回路Obc的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)從而來求ab和bc段的感生電動(dòng)勢(shì),但養(yǎng)成利用積分思維來解決物理問題的習(xí)慣對(duì)物理競(jìng)賽學(xué)生順利學(xué)習(xí)力學(xué)電磁學(xué)部分的其他競(jìng)賽內(nèi)容來講非常重要,而且有利于提升學(xué)生的思維層次及問題解決能力.
【例6】如圖8所示,無線長(zhǎng)直導(dǎo)線載有交變電流I=I0sinωt,并與矩形線圈共面,設(shè)t=0時(shí)電流方向向上,試計(jì)算矩形線圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)[3].
圖8 例6題圖
解答:由于矩形線圈不同位置的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小不一樣,因此,在計(jì)算矩形線圈的磁通量時(shí)應(yīng)采用積分的方法,再利用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).
在距離導(dǎo)線x處取一面積微元,則磁通量
dΦ=B·dS=Bldx
其中
故矩形線圈的磁通量
由法拉第電磁感應(yīng)定律有
1 張大同.物理競(jìng)賽教程(高三年級(jí))(第4版).上海:華東師范大學(xué)出版社,2012.49~52
2 賈啟民,鄭永令,陳暨耀.電磁學(xué)(第3版).北京:高等教育出版社,2010.279
3 宋善炎.競(jìng)賽物理.長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué)出版社,2013.272
劉玉琴(1992- ),女,在讀碩士研究生,研究方向?yàn)檎n程與教學(xué)論專業(yè).
指導(dǎo)教師:宋善炎(1964- ),男,博士,教授,研究方向?yàn)槲锢碚n程與教學(xué)論.
2016-10-02)