基于MATLAB編程求解船舶最佳航速

魏 鵬, 朱新河, 劉澤澤

(1.渤海大學(xué) 航運(yùn)學(xué)院, 遼寧 錦州 121013；2.大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院， 遼寧 大連 116026)

以上研究主要從理論層面開展，不能為船舶航次規(guī)劃提供足夠的數(shù)據(jù)支持。唐磊等[9]將船舶到港時(shí)間窗作為約束條件，以航次全程營運(yùn)收益最大為目標(biāo)，建立非線性規(guī)劃模型，但該模型未考慮多種船舶營運(yùn)支出和拋錨等實(shí)際問題。對此,本文充分考慮船舶航次的所有實(shí)際支出，在滿足到港時(shí)間要求的前提下，以航次總支出最少為目標(biāo)，建立更符合實(shí)際的船舶最佳航速優(yōu)化模型，得到更有利于航次規(guī)劃的參考數(shù)據(jù)。

1 建立優(yōu)化模型

1.1 模型概述

船舶在制訂航次規(guī)劃時(shí)，整個(gè)航次的裝卸港、港口間距離、壓載航行速度限制、載貨航行速度限制和掛靠各港的時(shí)間窗均已知。在滿足各種限制并完成航次任務(wù)的前提下，詳盡考慮影響船舶最佳航速的實(shí)際因素，以航次總支出最少為目標(biāo)，建立每段航程的航速優(yōu)化模型，得到各航程的最佳航速、到達(dá)各港口的時(shí)間及航次最少總支出，為航次規(guī)劃提供參考。

1.2 模型假設(shè)

為使模型更加接近實(shí)際情況，同時(shí)合理簡化模型計(jì)算，在建模前作以下假設(shè)：

1) 船舶在起始港出港，以引航員離開船舶為該航次的開始，經(jīng)過航行、裝卸貨，直至最后一個(gè)卸貨港，以船舶出港時(shí)引航員離開船舶為該航次結(jié)束。

2) 依次掛靠的港口、裝卸貨物的質(zhì)量和貨物的種類已知，且不存在貨物之間忌裝及迭放次序的問題。

3) 抵港時(shí)間是指船舶駛?cè)氩次坏臅r(shí)間，由錨地進(jìn)出港時(shí)間及燃油費(fèi)用忽略不計(jì)。

4) 船舶離港之后，定速航行，駛向下一目的港，不存在抵達(dá)下一目的港錨地之前拋錨的情形。

1.3 模型建立及討論

1.3.1模型建立

由此可得航次總支出原目標(biāo)函數(shù)為

(1)

限制條件為

Vlmin≤Vk(k+1)≤Vlmax

(2)

Vbmin≤Vk(k+1)≤Vbmax

(3)

tkmin≤tk≤tkmax

(4)

wk≥0

(5)

sk>0

(6)

式(1)～式(6)中:Z為船舶航次總支出；k為船舶掛靠港口標(biāo)號，k=1，2，3，…，m；αk1和αk2為駛?cè)?、駛出港口k時(shí)繳納的引航費(fèi)用；N為船舶登記凈噸位；βk為向港口k繳納的以登記凈噸位為計(jì)費(fèi)基數(shù)的港口使費(fèi)系數(shù)；sk為在港口k裝卸貨時(shí)間；γk為向k港口繳納的以停泊時(shí)間為計(jì)費(fèi)基數(shù)的港口使費(fèi)系數(shù)；a為固定成本系數(shù)；Wk為港口k的錨泊時(shí)間；Lk(k+1)為由港口k至港口k+1的航程；Vk(k+1)為船舶由港口k航行至港口k+1的航速；Cf為燃油價(jià)格；[Vlmin，Vlmax]為載貨航行時(shí)的航速限制范圍；[Vbmin，Vbmax]為船舶壓載航行時(shí)的航速限制范圍；tk為到達(dá)港口k的時(shí)間；tk(k+1)為由港口k航行至港口k+1的時(shí)間；Fk(k+1)為由港口k航行至港口k+1的燃油消耗量；tkmin和tkmax為抵達(dá)港口k的最早、最晚時(shí)間。以上列出船舶整個(gè)航次的全部支出及限制條件。

1.3.2模型討論

在制訂船舶航次計(jì)劃時(shí)，式(4)是滿足貨主要求、完成航次任務(wù)必須滿足的條件，但滿足式(4)可能會出現(xiàn)式(2)和式(3)無法滿足的情況，造成模型無解，無法為航次計(jì)劃提供數(shù)據(jù)參考。根據(jù)不同的壓載量和裝貨量，式(2)和式(3)的限制值也會發(fā)生變化，無疑使模型更加復(fù)雜。有約束非線性優(yōu)化問題的解常在可行域邊界位置[10]，若優(yōu)化出的最佳航速為式(2)和式(3)的邊界限制速度，由于船舶不可能長期在極限速度下工作，因此優(yōu)化出的最佳航速并無實(shí)際操作意義。為此,將式(2)和式(3)作為參考條件，即計(jì)算時(shí)不作為約束，計(jì)算出結(jié)果后將最佳航速與之對比。若最佳航速滿足式(2)和式(3)的要求，說明船舶可按照該航速運(yùn)營，總支出最少；若最佳航速不滿足式(2)和式(3)的要求，可根據(jù)最佳航速偏離式(2)和式(3)的大小情況，選擇增大支出調(diào)整航速、更改船舶航次掛靠港及與貨主協(xié)商船舶到港時(shí)間等。

若將式(5)和式(6)中的拋錨等待時(shí)間wk及裝卸貨時(shí)間sk作為未知參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，則從式(1)中可看出，wk和sk的值越小，總支出越小。但是,該時(shí)間不是由船舶運(yùn)營公司決定的，而是由港口方?jīng)Q定，因此得到的優(yōu)化結(jié)果并無實(shí)際參考價(jià)值。當(dāng)船舶抵達(dá)錨地時(shí)，向港口方提出進(jìn)港需求，排隊(duì)等待進(jìn)港，基于經(jīng)驗(yàn)及船舶代理公司提供的信息，可估算出拋錨等待時(shí)間wk。船舶進(jìn)港后裝卸貨物，每個(gè)港口裝卸某貨物的效率是一定的，因此同樣可基于以往經(jīng)驗(yàn)，估算出裝卸貨時(shí)間sk。本文基于實(shí)際情況，賦予wk和sk定值，計(jì)算最佳航速。

(7)

至此，式(1)中的未知量只有Vk(k+1)，約束條件只有式(7)，如此處理，便可簡化計(jì)算量，使模型更加符合實(shí)際情況。

2 MATLAB編程求解

2.1 構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

為對式(1)和式(7)進(jìn)行求解，選擇外點(diǎn)懲罰函數(shù)法[10]，將限制條件組成懲罰項(xiàng)融入到原目標(biāo)函數(shù)中，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)為

(8)

通過迭代，r(n+1)=krn，不斷增大懲罰因子r(n)，增大非可行域懲罰項(xiàng)函數(shù)值，使運(yùn)算結(jié)果向可行域靠近，原目標(biāo)函數(shù)Z與目標(biāo)函數(shù)φ(x,r(n))的極小值點(diǎn)具有一致性。在每次迭代的懲罰系數(shù)r(n)確定之后，采用鮑威爾算法求解多元目標(biāo)函數(shù)φ(x,r(n))的極值。

2.2 外點(diǎn)懲罰函數(shù)程序

采用MATLAB編程，定義一個(gè)外點(diǎn)懲罰函數(shù)，輸入為各段航速初始值x0，未知參數(shù)個(gè)數(shù)n，懲罰因子增大系數(shù)k，懲罰因子初始值q，計(jì)算精度r1,r2,r3，初始搜索步長h0；輸出為各航程航速V，抵港時(shí)間T，航次最小總支出Z。程序代碼如下：

function

[V,T,Z]=FHS(x0,n,k,q,r1,r2,r3,h0)

while(1)

%調(diào)用鮑威爾算法計(jì)算，返回各航速優(yōu)化結(jié)果

x=powell(x0,n,q,r2,r3,h0)

%判斷結(jié)果是否滿足限制要求，滿足則輸出結(jié)果

if ((g1(k)>=r1)&&(g1(k)>=r1))

%x為航速數(shù)組

V=x

%tm為抵達(dá)各港口時(shí)間函數(shù)

T=[t2(x(1)),t3(x(1),x(2)),t4(x(1),x(2),x(3)),……,tm(x(1),x(2),x(3),……,x(m-1))]

%ff1為航次總支出函數(shù)

Z=ff1(x)

break;

%不滿足限制要求，則將本次尋優(yōu)值作為下次迭代的初始值，增大懲罰系數(shù)，繼續(xù)尋優(yōu)

else

x0=x;

q=k×q;

end

end

2.3 鮑威爾算法程序

采用計(jì)算機(jī)易于編程的鮑威爾算法來計(jì)算多元函數(shù)的極值點(diǎn)，程序如下：

function powell=powell(x0,n,q,r2,r3,h0)

%生成n×n的單位陣作為初始搜索方向

d=eye(n);

k=1;

%xx數(shù)組用來存放可能的最終結(jié)果

xx(1,1:n)=x0;

while (1)

%y用來存放中間結(jié)果

y(1,1:n)=xx(k,1:n)

% 循環(huán)調(diào)用黃金分割函數(shù)，以y(j,1:n)為初始點(diǎn)，沿d(j,1:n)方向?qū)?yōu)，返回方向系數(shù)大小s(j)，將尋優(yōu)點(diǎn)存于y(j+1,1:n)中

for (j=1:1:n)

s(j)=HJ(y(j,1:n),d(j,1:n),h0,q,r3);

y(j+1,1:n)=y(j,1:n)+s(j).×d(j,1:n);

end

%將產(chǎn)生最新尋優(yōu)方向存于d(n+1,1:n)中，產(chǎn)生的可能最終結(jié)果存于xx(k+1,1:n)中

d(n+1,1:n)=y(n+1,1:n)-y(1,1:n);

s(n+1)=HJ(y(n+1,1:n),d(n+1,1:n),h0,q,r3);xx(k+1,1:n)=y(n+1,1:n)+s(n+1).×d(n+1,1:n);

%判斷最新尋優(yōu)方向d(n+1,1:n)的二范數(shù)是否達(dá)到計(jì)算精度，滿足則計(jì)算結(jié)束

if (norm(d(n+1,1:n),2)

break;

else

%沒有達(dá)到計(jì)算精度，計(jì)算出下列值，其中ff為目標(biāo)函數(shù)

y(n+2,1:n)=2.×y(n+1,1:n)-y(1,1:n);

F0=ff(y(1,1:n),q);

F2=ff(y(n+1,1:n),q);

F3=ff(y(n+2,1:n),q);

fori=1:1:n

gg(i)=ff(y(i,1:n),q)-ff(y(i+1,1:n),q);

end

%找到最差的尋優(yōu)方向

m=find(gg==max(gg));

%如果滿足判斷式，則用最新的尋優(yōu)方向d(n+1,1:n)替換掉最差的尋優(yōu)方向d(m,1:n)

if (F0>F3)&&((F0-2×F2+F3)×(F0-F2-F)2<0.5×F×(F0-F3)2)

d(m,1:n)=d(n+1,1:n);

end

k=k+1;

end

end

%把存于xx(k+1,1:n)中的可能最終結(jié)果作為函數(shù)返回值

powell=xx(k+1,1:n);

end

3 算例分析

3.1 模型和程序的實(shí)用性分析

為檢驗(yàn)所提模型和程序的實(shí)用性，以某船某航次實(shí)際規(guī)劃航線為例加以說明。該船凈噸位N=11 367 MT，固定費(fèi)用a=3 500美元/d，設(shè)計(jì)航速為

10～15 kn，主機(jī)燃油價(jià)格Cf=180美元/t。航次規(guī)劃為：由布倫斯比特爾(港口節(jié)點(diǎn)1)壓載航行至哈爾姆斯塔德(港口節(jié)點(diǎn)2)和馬爾默(港口節(jié)點(diǎn)3)2個(gè)裝貨港，再載貨航行至內(nèi)姆魯特山(港口節(jié)點(diǎn)4)和尼古拉耶夫(港口節(jié)點(diǎn)5)2個(gè)卸貨港，V0=12 kn時(shí)的F0及其他航次參數(shù)見表1。

表1 船舶航次參數(shù)

通過MATLAB軟件優(yōu)化計(jì)算，結(jié)果見表2。從表2中可看出每段航程的最佳航速，抵達(dá)各節(jié)點(diǎn)的時(shí)間均滿足抵港時(shí)間窗口的限定，同時(shí)得到航次最小支出。因此，該模型計(jì)算結(jié)果可為該類航行規(guī)劃提供數(shù)據(jù)參考，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。

表2 優(yōu)化結(jié)果

3.2 燃油價(jià)格變化對經(jīng)濟(jì)航速的影響

國際燃油價(jià)格變化對航運(yùn)市場的影響巨大。[11]對此，根據(jù)本文模型、程序和船舶數(shù)據(jù)，以燃油價(jià)格Cf為變量，分析討論Cf變化對各節(jié)點(diǎn)間經(jīng)濟(jì)航速的影響(見圖1)。從圖1中可看出:隨著Cf由180美元/t上升至330美元/t，各節(jié)點(diǎn)間的經(jīng)濟(jì)航速不斷發(fā)生調(diào)整；隨著Cf的提高，船舶經(jīng)濟(jì)航速整體呈下降趨勢。因此，Cf提高導(dǎo)致船舶運(yùn)營平均經(jīng)濟(jì)航速降低，航次航行時(shí)間增加。

Cf變化，船舶采用經(jīng)濟(jì)航速運(yùn)行，得到航次最小總支出Zmin(見圖2)。由圖2可知，Cf為330美元/t時(shí)的Zmin較180美元/t時(shí)的Zmin增長1/5左右，Zmin隨著Cf增加呈直線上升趨勢。因此，Cf上漲導(dǎo)致船舶航次最小總支出急劇增加。

4 結(jié)束語

本文以航次支出最少為目標(biāo)，在滿足貨主對船舶到港時(shí)間要求的前提下，充分考慮船舶航次的所有實(shí)際支出，建立實(shí)用性更強(qiáng)的船舶最佳航速優(yōu)化模型。同時(shí),討論優(yōu)化模型中的設(shè)計(jì)航速限制、裝貨時(shí)間和拋錨時(shí)間，基于實(shí)際情況，合理簡化模型計(jì)算，將航速限制作為參考條件，不融入到目標(biāo)函數(shù)中；賦予裝貨時(shí)間和拋錨時(shí)間定值，使模型更加符合實(shí)際，更具參考價(jià)值。采用更易計(jì)算機(jī)編程的外點(diǎn)懲罰函數(shù)和鮑威爾算法對模型中的有約束非線性問題進(jìn)行求解，給出相關(guān)函數(shù)和算法的主要程序。根據(jù)某船實(shí)例計(jì)算出各航程的最佳航速、船舶到港時(shí)間和航次最小總支出，驗(yàn)證該模型和程序的有效性及實(shí)用性，為解決船舶航次規(guī)劃的實(shí)際問題提供可靠方法。最后，討論燃油價(jià)格對經(jīng)濟(jì)航速的影響，研究結(jié)果表明，燃油價(jià)格上漲，船舶運(yùn)營平均經(jīng)濟(jì)航速降低，航次航行時(shí)間增長，航次最小總支出急劇增加。

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