江蘇省南京市金陵中學(xué)(210005) 祁云

源于課本題的一道高考題的多種解法

江蘇省南京市金陵中學(xué)(210005) 祁云

三角變換是歷年高考的必考考點(diǎn)之一,也是要求學(xué)生熟練掌握和運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn).以2016年江蘇高考數(shù)學(xué)填空題的第14題為例,題目將三角變換和不等式結(jié)合,有一定的難度:

14.在銳角三角形ABC中,sinA=2sinB sinC,則tanAtanB tanC的最小值是____.

【答案】8.

【解析】注意到題中條件兩邊的次數(shù)不齊,考慮將sinA改寫為sin(B+C),得sinB cosC+cosB sinC= 2sinB sinC.銳角△ABC中,cosB＞0,cosC＞0.在上式的兩側(cè)同時(shí)除以cosB cosC,得tanB+tanC=2tanB tanC.此時(shí),條件中僅剩下B與C的關(guān)系,于是將所求式也化為僅和B、C相關(guān).因?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng):這兩種方法都采用了“消元”的思想.先利用A+B+C=π將三個(gè)變量轉(zhuǎn)化為兩個(gè)變量B、C,然后方法二是令t=tanB tanC再轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量,方法三是令t=tanB+tanC再轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量.難點(diǎn)在于第二步,即如何實(shí)現(xiàn)變量形式的統(tǒng)一化.

點(diǎn)評(píng):多元問(wèn)題除了一元化之外,還可以直接運(yùn)用基本不等式求得最值.

數(shù)學(xué)必修2第103頁(yè)習(xí)題10“已知M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為那么點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系?”

數(shù)學(xué)選修2-1第51頁(yè)例2“求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡軌跡方程.”的綜合改編.

(1)求tan(α+β)的值;

圖1

(2)求α+2β的值.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)f(x)= x2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn).記過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓為圓C.

(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(2)求圓C的方程;

(3)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(與b的取值無(wú)關(guān))?證明你的結(jié)論.

數(shù)學(xué)必修2第101頁(yè)例3“已知△ABC的頂點(diǎn)A(4,3),B(5,2),C(1,0),求△ABC外接圓的方程.”數(shù)學(xué)必修2第80頁(yè)第8題“設(shè)直線y?3=k(x+2).當(dāng)k取任意的實(shí)數(shù)時(shí),這樣的直線應(yīng)具有什么共同特點(diǎn)?”的綜合改編.

所以我們?cè)诟呷@一年的綜合復(fù)習(xí)中,不能僅僅局限于大量的題海中,而是要著眼于課本,回歸教材,將例題習(xí)題真正理解透徹,才能以不變應(yīng)萬(wàn)變,掌控高考的變化.