佛山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528061) 謝偉帆

一道立體幾何題的思考

佛山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528061) 謝偉帆

1 試題呈現(xiàn)

2 試題分析

圖1

3 漸入誤區(qū)

由于割補(bǔ)法可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,學(xué)生在思考的時(shí)候第一個(gè)想法是將四面體補(bǔ)成四棱柱,球的直徑為四棱柱的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng),如圖2所示.

圖2

4 錯(cuò)因分析

總結(jié):外接球問(wèn)題可以補(bǔ)成棱柱必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件:(1)底面對(duì)角互補(bǔ)(2)側(cè)棱垂直底面.結(jié)合本題,若∠BDC=120°,則可補(bǔ)成四棱柱.

5 正解發(fā)現(xiàn)

此題的正確解法是怎樣呢?經(jīng)過(guò)思考,學(xué)生提出了自己的想法.

法一:學(xué)生A提出用向量的方法解決,因?yàn)锳D⊥面BCD,這樣給建立空間直角坐標(biāo)系提供了方便,這種方法固然可行,但運(yùn)算量較大.

法二:學(xué)生B是這樣考慮的,∠ADC=90°,取AC中點(diǎn)為F,則點(diǎn)F到點(diǎn)A,D,C的距離相等.如圖3,作面ADC的垂線(xiàn)FG,由勾股定理知點(diǎn)G到點(diǎn)A,D,C的距離相等,只需使BG=AG,則G為外接球球心.

圖3

總結(jié):法二利用直角三角形找出到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)F,通過(guò)面的垂線(xiàn),使得到第四個(gè)點(diǎn)的距離與之前的距離相等,從而確定球心和半徑.此方法要求有較強(qiáng)的空間想象能力及運(yùn)算能力.

圖4

結(jié)合學(xué)生B的想法,O是球心,K∈α,OK⊥α,所以K到B,D,C的距離相等.因?yàn)锽D=CD=1,∠BDC=120°,因此K恰好是以BD,CD為鄰邊的平

總結(jié):法三利用了直三棱柱外接球的性質(zhì):球心到底面的距離等于側(cè)棱的一半,結(jié)合了法二,直接計(jì)算出球的半徑.此法非常巧妙,融合了割補(bǔ)法、代數(shù)的思想,是數(shù)形結(jié)合思想很好的體現(xiàn).

6 總結(jié)反思

利用了幾何性質(zhì)往往能更直觀地揭示隱藏的關(guān)系,使得運(yùn)算簡(jiǎn)便,這是純代數(shù)方法所不具備的,也是數(shù)形結(jié)合妙處所在.