時(shí)差無源定位系統(tǒng)多機(jī)編隊(duì)動(dòng)態(tài)布站優(yōu)化*

曲長文 王昌海 馮 奇 周 強(qiáng)

(1.海軍航空工程學(xué)院 煙臺(tái) 264001)(2.92543部隊(duì) 長治 046000)

時(shí)差無源定位系統(tǒng)多機(jī)編隊(duì)動(dòng)態(tài)布站優(yōu)化*

曲長文1王昌海2馮 奇1周 強(qiáng)1

(1.海軍航空工程學(xué)院 煙臺(tái) 264001)(2.92543部隊(duì) 長治 046000)

布站形式能夠直接影響多站無源定位效果,合理的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)于定位跟蹤效果也有很大的改善。多機(jī)編隊(duì)的動(dòng)態(tài)布站問題可以歸結(jié)為布站形式和飛行軌跡的優(yōu)化問題,該文以Fisher信息陣的行列式為指標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,并采用分散搜索法獲得全局最優(yōu)解。此外,對(duì)于編隊(duì)的最優(yōu)航跡選擇和重新布站的時(shí)間間隔進(jìn)行了探討,得到一些有價(jià)值的結(jié)論。仿真結(jié)果表明,針對(duì)多機(jī)編隊(duì)提出的動(dòng)態(tài)布站優(yōu)化算法對(duì)于提高編隊(duì)的定位精度有著明顯的效果,具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。

無源定位; 動(dòng)態(tài)布站; 非線性規(guī)劃; 多機(jī)編隊(duì); 全局最優(yōu)解

1 引言

現(xiàn)代高科技局部戰(zhàn)爭的經(jīng)驗(yàn)表明,制空權(quán)和信息快速獲取能力已成為決定戰(zhàn)爭勝負(fù)最為關(guān)鍵的兩個(gè)因素,兩者密不可分。在這種背景下,多機(jī)無源定位跟蹤系統(tǒng)因?yàn)榫哂行畔⑷诤夏芰?、隱蔽性好、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、探測距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn),已成為獲取戰(zhàn)場信息的重要手段[1]。

無源定位跟蹤系統(tǒng)的最優(yōu)布站方式或航跡規(guī)劃是國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)之一。多站布站優(yōu)化問題主要集中于只測角定位[1～6]和時(shí)差定位[7～11]體制下的布站優(yōu)化,而且研究對(duì)象多是針對(duì)固定觀測站。文獻(xiàn)[1～3]研究了雙站測向交叉定位系統(tǒng)中的最優(yōu)交會(huì)角問題,推導(dǎo)了最小圓概率誤差或最小模糊區(qū)面積準(zhǔn)則下的必要條件,具有一定的工程指導(dǎo)意義；文獻(xiàn)[4～6]在多站只測角定位體制下以最大化Fisher信息陣(Fisher Information Matrix, FIM)的行列式為準(zhǔn)則,給出了FIM行列式的幾種等價(jià)形式以及最優(yōu)布站的一般性條件。對(duì)于時(shí)差定位系統(tǒng),在測量誤差等其他條件保持不變的情況下,布站形式直接決定了多站時(shí)差定位的精度。文獻(xiàn)[7～9]以幾何精度因子(Geometric Dilution of Precision, GDOP)作為定位精度指標(biāo),通過仿真的方法研究了幾種布站形式對(duì)定位精度的影響,并定性給出了最優(yōu)布站原則；文獻(xiàn)[6, 11]推導(dǎo)了多站到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival, TOA)定位的FIM及其行列式,文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)了多站時(shí)差定位的FIM及其行列式,它們均以FIM行列式最大為準(zhǔn)則,采用解析法得出了相同的最優(yōu)布站條件。

盡管文獻(xiàn)[1～3,6,10,11]給出了最優(yōu)布站的解析解,但卻不能直接應(yīng)用于多機(jī)編隊(duì)無源定位系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)布站中,這主要是因?yàn)檩d機(jī)平臺(tái)之間的通信距離通常遠(yuǎn)小于目標(biāo)與飛行編隊(duì)的距離,從而很難滿足上述文獻(xiàn)中給出的最優(yōu)布站條件。文獻(xiàn)[12]提出一種只測角無源定位跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)機(jī)動(dòng)方法,并以方位角變化率最大為準(zhǔn)則從理論上給出并證明了最優(yōu)軌跡方程；文獻(xiàn)[13]根據(jù)最大化FIM行列式準(zhǔn)則,以解析法給出了只測角無源定位跟蹤系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)控制策略和最優(yōu)軌線方程,并說明了最大方位角變化率準(zhǔn)則和最大FIM行列式準(zhǔn)則的工程運(yùn)用。文獻(xiàn)[14]總結(jié)了現(xiàn)有的航跡規(guī)劃的方法,以FIM行列式最大為準(zhǔn)則,通過引入機(jī)動(dòng)約束和威脅約束條件,將多架無人機(jī)(Unmanned Aerial Vehicle, UAV)航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非線性約束規(guī)劃問題,但文獻(xiàn)給出的各觀測平臺(tái)最優(yōu)軌跡各異與實(shí)際中的多機(jī)編隊(duì)飛行情況不符。

本文研究場景為多機(jī)編隊(duì)飛行對(duì)遠(yuǎn)距離固定目標(biāo)進(jìn)行時(shí)差定位,不僅給出在一段時(shí)間內(nèi)飛行編隊(duì)的最優(yōu)布站形式,還要給出編隊(duì)的最佳機(jī)動(dòng)策略。為簡化問題,本文暫不考慮機(jī)動(dòng)限制和存在威脅源的情況。

2 動(dòng)態(tài)布站算法

2.1 FIM行列式最大化指標(biāo)

最優(yōu)布站和航跡規(guī)劃中常用的指標(biāo)主要有表征定位精度的幾何精度因子(GDOP)[7～9]、克拉美勞下限(Cramer-Rao Low Bound,CRLB)的跡[15]以及與定位模糊區(qū)體積成反比的FIM行列式[4～6,10,11,13,14]。GDOP通常根據(jù)一個(gè)時(shí)刻的觀測信息進(jìn)行計(jì)算,可以用作靜態(tài)布站的指標(biāo),對(duì)于運(yùn)動(dòng)中的飛行編隊(duì)并不適合。CRLB是無偏估計(jì)的理論下限并與采用的估計(jì)算法無關(guān),以其作為指標(biāo)具有更小的位置誤差,并且可以采用位置誤差和速度誤差的加權(quán)值作為指標(biāo)[15]。由于CRLB為FIM的逆陣,與計(jì)算CRLB的跡相比,FIM行列式的計(jì)算和分析更加簡單方便[5,14],并且將FIM行列式最大作為指標(biāo)與CRLB的跡最小基本等價(jià)。因此本文采用FIM行列式最大作為動(dòng)態(tài)布站的性能指標(biāo)。

設(shè)1架長機(jī)與M-1架僚機(jī)編隊(duì)飛行,在二維平面內(nèi)考察時(shí)差定位(定義不再贅述,見文獻(xiàn)[6])的FIM行列式指標(biāo)。為簡化問題,假設(shè)各載機(jī)的到達(dá)時(shí)間測量誤差為獨(dú)立的具有相同方差的零均值高斯白噪聲,對(duì)應(yīng)的時(shí)差(或距離差)測量誤差協(xié)方差如式(1)所示[6,10,11]:

(1)

式中,σr=cσt,c為電磁波傳播速度,設(shè)為3×105km/s,σt為到達(dá)時(shí)間測量誤差。

FIM可由式(2)給出[4～6]:

(2)

式中,F為2×2的FIM,Φ為非線性測量方程,X=[x,y]T為目標(biāo)位置,RΦ為測量誤差協(xié)方差陣。

可以根據(jù)式(2)推導(dǎo)出多機(jī)時(shí)差定位系統(tǒng)在k時(shí)刻的FIM,如式(3)～式(6)所示:

(3)

式中,

(4)

(5)

(6)

注意到式(3)是只進(jìn)行一次測量的FIM,在白噪聲的假設(shè)下,N次測量的FIM可以寫作式(7)求和的形式:

(7)

多機(jī)時(shí)差定位系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)布站性能指標(biāo)如式(8)所示:

(8)

式中取自然對(duì)數(shù)是因?yàn)镕IM行列式數(shù)量級(jí)較大,表示比較多有不便,而且行列式取對(duì)數(shù)并不影響其特點(diǎn),文獻(xiàn)[14]也稱之為D-優(yōu)化準(zhǔn)則。

2.2 動(dòng)態(tài)布站的非線性規(guī)劃

如前所述,文獻(xiàn)[1～3,6,10,11]給出了FIM即其行列式在一次測量時(shí)的具體表達(dá)式,并通過解析的方法求出了FIM行列式最大時(shí)滿足的必要條件,而根據(jù)本文的研究背景,飛行編隊(duì)經(jīng)過一段時(shí)間多次測量的FIM行列式難以以解析的形式表達(dá),而且需要優(yōu)化的參數(shù)不再關(guān)注于觀測站相對(duì)于目標(biāo)的位置參數(shù),而是各僚機(jī)相對(duì)于長機(jī)的布站參數(shù)以及編隊(duì)的飛行方向,因此文獻(xiàn)方法不再適用。文獻(xiàn)[14]將多架UAV的航跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為決定UAV當(dāng)前時(shí)刻機(jī)動(dòng)方向的非線性約束規(guī)劃問題,這為解決飛行編隊(duì)的動(dòng)態(tài)布站問題提供了解決思路,因此解決多機(jī)編隊(duì)動(dòng)態(tài)布站問題的關(guān)鍵便是如何將其轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。

以初始時(shí)刻長機(jī)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以長機(jī)指向目標(biāo)為x軸,目標(biāo)建立如圖1所示的二維直角坐標(biāo)系。為簡化問題,本文假設(shè)飛行編隊(duì)在一段時(shí)間內(nèi)以速度v0勻速直線飛行,且各僚機(jī)與長機(jī)的相對(duì)位置關(guān)系在此期間內(nèi)保持不變。因此在二維平面內(nèi),對(duì)于M架飛機(jī)組成的飛行編隊(duì)的動(dòng)態(tài)布站問題便可以轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)飛行方向φ、M-1個(gè)僚機(jī)相對(duì)于長機(jī)的布站分布角θi以及M-1個(gè)僚機(jī)相對(duì)于長機(jī)的距離di的優(yōu)化問題,各參數(shù)的幾何意義由圖1給出。

圖1 飛行編隊(duì)與目標(biāo)的幾何關(guān)系圖

不考慮載機(jī)運(yùn)動(dòng)噪聲和載機(jī)位置誤差的影響,若給定長機(jī)的初始位置和編隊(duì)動(dòng)態(tài)布站的各個(gè)參數(shù),則任意時(shí)刻各載機(jī)的位置均可以確定,如式(9)和式(10)所示:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)圖1所示,編隊(duì)飛行方向角φ的取值范圍為-π≤φ<π；僚機(jī)相對(duì)于長機(jī)的布站分布角θ取值范圍為0≤θi≤θj<2π,其中i

綜合以上,飛行編隊(duì)動(dòng)態(tài)布站的非線性規(guī)劃問題為

(14)

若設(shè)定di=dmax,式(14)中僅考慮φ和θ的界定,從而式(14)可以進(jìn)一步簡化為

3 動(dòng)態(tài)布站的仿真研究

在二維空間內(nèi)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行時(shí)差定位至少需要三架飛機(jī)。圖2為不同飛行方向條件下FIM行列式仿真圖,圖3為不同僚機(jī)布站角度情況下FIM行列式仿真圖。由圖可以看到FIM行列式對(duì)參數(shù)比較敏感,當(dāng)某個(gè)參數(shù)變化時(shí),FIM行列式改變比較大；FIM行列式存在多個(gè)極大值點(diǎn),且在極大值附近比較平坦平滑,因此實(shí)際動(dòng)態(tài)布站時(shí)若布站誤差控制得較小,布站誤差對(duì)于布站效果的影響也比較小。

圖2 不同飛行方向條件下FIM行列式仿真圖

FIM行列式多極值的特點(diǎn)意味著一般非線性規(guī)劃方法(如罰函數(shù)法、梯度法等)的結(jié)果受初始值的影響比較大,因此必須尋找能夠找到全局最優(yōu)解得優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[16]采用基于多起始框架(Multistart Framwork)下的分散搜索(Scatter Search)方法來尋找非凸非線性規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解,這為解決動(dòng)態(tài)布站問題提供了必備數(shù)學(xué)工具。

本文采用分散搜索法對(duì)式(15)進(jìn)行求解,可以獲得多個(gè)FIM行列式的極大值及對(duì)應(yīng)的局部最優(yōu)解,經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)所求得的FIM行列式的值基本可以分為兩類,一類非常接近全局最大值,另一類則與最大值有較大差距。因此可以首先通過設(shè)置門限或聚類的方法對(duì)求得的諸多FIM行列式極大值選出較大的一類,然后在這類結(jié)果中合并相同的結(jié)果便可以得到動(dòng)態(tài)布站問題的最優(yōu)解和滿意的次優(yōu)解。本文之所以還要給出次優(yōu)解的原因在于,次優(yōu)解的行列式指標(biāo)與最優(yōu)解相比非常相近,但動(dòng)態(tài)布站的各項(xiàng)參數(shù)卻有著較大的差別,因此完全可以作為一種備選方案以利于飛行編隊(duì)的實(shí)際應(yīng)用。表1給出二維平面內(nèi)三機(jī)動(dòng)態(tài)布站的最優(yōu)解及次優(yōu)解。

圖3 不同僚機(jī)布站角度情況下FIM行列式仿真圖

仔細(xì)觀察表1中計(jì)算結(jié)果可以看到,在前文所述的仿真背景下,采用編隊(duì)最佳飛行方向在±78°,各僚機(jī)大致分布于長機(jī)飛行方向的前后兩側(cè),這與陸基時(shí)差定位系統(tǒng)的常用的星形布站、倒三角形布站、菱形布站等[7～8]完全不同,體現(xiàn)了適于飛行編隊(duì)布站的新特點(diǎn)；此外,編隊(duì)的最優(yōu)飛行軌跡有兩條,且關(guān)于長機(jī)飛行方向即x軸對(duì)稱。

表1 三機(jī)動(dòng)態(tài)布站解

4 動(dòng)態(tài)布站問題的進(jìn)一步探討與仿真

根據(jù)式(15)可以得到一段時(shí)間內(nèi)飛行編隊(duì)的最佳飛行方向和布站形式,但依然存在兩個(gè)問題需要進(jìn)一步探討。首先,如表1結(jié)論,編隊(duì)的最佳飛行方向受初始值的影響必然有兩條,并且關(guān)于x軸對(duì)稱,相應(yīng)的布站幾何關(guān)系也必然關(guān)于x軸對(duì)稱。編隊(duì)飛行一段時(shí)間之后,按照式(8)FIM行列式最大化指標(biāo)重新優(yōu)化飛行方向和布站形式時(shí)也必將有兩條路徑可以選擇,如圖4所示,則應(yīng)該選擇軌跡O1→O2→O31還是O1→O2→O32？

圖4 編隊(duì)飛行軌跡示意圖

其次,在已有的航跡規(guī)劃中,通常是根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的觀測站與目標(biāo)的距離、速度等信息來決定下一時(shí)刻觀測站的最佳機(jī)動(dòng)方案[12～14]。在本文背景下,問題被簡化為一段時(shí)間內(nèi)飛行編隊(duì)保持勻速直線飛行,那么應(yīng)該多長時(shí)間進(jìn)行一次飛行方向和隊(duì)形的重新調(diào)整,以利于提高目標(biāo)定位跟蹤效果？

針對(duì)第一個(gè)問題,文獻(xiàn)[13]在單站最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化中也出現(xiàn)兩條最優(yōu)軌跡的選擇問題,并通過解析論證的方式給出了相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻如何選擇最優(yōu)軌跡,即始終保持觀測平臺(tái)的舷角不變[13]。然而本文難以給出多次測量的FIM行列式的解析式并進(jìn)行分析論證,只能通過仿真的方法來驗(yàn)證類似的結(jié)論,即軌跡O1→O2→O31應(yīng)優(yōu)于O1→O2→O32。以二維空間中三機(jī)編隊(duì)為例,其他仿真條件同第2節(jié),以O(shè)3處的FIM行列式為指標(biāo),仿真結(jié)果如表2所示。通過表2中的數(shù)據(jù)即可以驗(yàn)證,始終保持目標(biāo)在編隊(duì)飛行方向的一側(cè)有利于提高定位的精度,同時(shí)這也利于編隊(duì)的飛行控制,降低飛機(jī)的機(jī)動(dòng)性要求。

表2 最優(yōu)飛行軌跡對(duì)比

第二個(gè)問題是關(guān)于如何選取編隊(duì)重新布站的時(shí)間間隔。重新布站的時(shí)間間隔太短,則失去編隊(duì)飛行的意義；間隔太長,減少了飛行編隊(duì)的機(jī)動(dòng)次數(shù),但可能對(duì)定位精度的提高有所影響。下面以仿真的方法對(duì)重新布站的時(shí)間間隔進(jìn)行研究,以二維空間中三機(jī)編隊(duì)為例,仿真條件同第2節(jié),采取不同的重新布站時(shí)間間隔時(shí)各飛機(jī)航跡如圖5所示。

圖5分別給出了重新布站時(shí)間間隔為30s、60s、240s和600s時(shí)的編隊(duì)飛行航跡,并給出了若干時(shí)間點(diǎn)編隊(duì)的具體布站形式。由圖中可以看到,飛行航跡基本以螺旋形逼近目標(biāo),但采用不同的重新布站時(shí)間間隔時(shí)的飛行航跡也有著較大的差異。表3給出了測量總時(shí)間一定,采取不同重新布站時(shí)間間隔時(shí)FIM行列式、定位誤差下限和主站與目標(biāo)的相對(duì)距離的對(duì)比。

通過表3中的數(shù)據(jù)比對(duì)可以看到,在總的測量時(shí)間一定時(shí),采用不同的布站時(shí)間間隔對(duì)于定位精度的影響比較小,距離定位精度差別在米級(jí),主要差別在于編隊(duì)與目標(biāo)的相對(duì)距離。當(dāng)間隔30s或600s重新布站時(shí),飛行編隊(duì)能夠較快地接近目標(biāo),目標(biāo)的定位精度也比較高,可以為有源雷達(dá)提供引導(dǎo)；當(dāng)間隔120s～180s重新布站時(shí),飛行編隊(duì)能夠較為緩慢地接近目標(biāo),目標(biāo)的相對(duì)定位精度比較高,有利于保持無源偵察優(yōu)勢。因此實(shí)際飛行時(shí)具體采用多長時(shí)間進(jìn)行重新布站,可以根據(jù)戰(zhàn)術(shù)目的進(jìn)行合理選擇。

表3 不同布站時(shí)間間隔指標(biāo)對(duì)比

圖5 不同重新布站時(shí)間間隔的編隊(duì)航跡

可以注意到,之前所有的討論均基于假設(shè)目標(biāo)位置確切已知,從理論上研究最優(yōu)航跡和布站形式。當(dāng)目標(biāo)位置未知或只獲得其估計(jì)值,可以將估計(jì)值代入式(7)、式(8)中來計(jì)算行列式指標(biāo),并求解最優(yōu)布站形式和飛行方向,然后測量進(jìn)一步提高目標(biāo)定位精度并用于下一次編隊(duì)的布站隊(duì)形和飛行方向調(diào)整。這種思想簡單實(shí)用,下面通過仿真來驗(yàn)證這種邊規(guī)劃邊定位的算法有效性。以二維空間中三機(jī)編隊(duì)為例,重新布站的時(shí)間間隔120s,其他條件同第2節(jié)；始終保持勻速直線飛行的三架飛機(jī)作為對(duì)比,飛行方向偏離目標(biāo)45°；采用UKF算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位,給定目標(biāo)初始位置估計(jì)值為(280km,20km),仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 邊規(guī)劃邊定位效果仿真

由圖6可以看到,邊規(guī)劃邊定位算法的定位精度非常接近理想航跡規(guī)劃的CRLB,并且與不經(jīng)規(guī)劃的定位精度相比具有明顯的提高。這說明飛行編隊(duì)進(jìn)行動(dòng)態(tài)布站能夠更好地發(fā)揮編隊(duì)優(yōu)勢提高定位精度,而且采用邊規(guī)劃邊定位的方式對(duì)于定位精度的影響非常小,因此具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。

5 結(jié)語

本文研究了多機(jī)編隊(duì)飛行的動(dòng)態(tài)布站優(yōu)化問題,以FIM行列式最大值為指標(biāo),通過非線性規(guī)劃的方法對(duì)一段時(shí)間內(nèi)編隊(duì)?wèi)?yīng)采取的最優(yōu)布站形式和飛行方向進(jìn)行優(yōu)化,得到了一些有價(jià)值的結(jié)論,并給出了一種實(shí)用的邊規(guī)劃邊定位的算法。此外,本文還對(duì)飛行編隊(duì)動(dòng)態(tài)布站的相關(guān)問題進(jìn)行了探討,并給出了編隊(duì)的最優(yōu)航跡。通過仿真表明,本文所提的動(dòng)態(tài)布站算法以及邊規(guī)劃邊定位算法是有效的,具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

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Dynamic Deployment Optimization of Multi-flight Formation Based on TDOA

QU Changwen1WANG Changhai2FENG Qi1ZHOU Qiang1

(1. Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001)(2. No. 92543 Troops of PLA, Changzhi 046000)

The deployment of multiple sensors has a direct effect on the multi-sensor passive location, and a proper trajectory of a moving observer can evidently improve its passive location accuracy. Dynamic deployment of multi-flight formation can boil down to deployment of multiple sensors and optimization of flight heading. It can be translated into nonlinear programming by the determinant of Fisher information matrix criterion, with scatter search method applied to find the global optimal solution. What’s more, how to choose the optimal trajectory of the formation and how long to re-deploy the formation are discussed and some valuable conclusions are drew. Simulation results show that the optimization algorithm of dynamic deployment proposed in this paper visibly improves the accuracy of multi-flight formation passive location, making it meaningful in the engineering.

passive radar, dynamic deployment, nonlinear programming, multi-flight formation, global optimal solution

TN958.97

2016年9月11日,

2016年10月21日

曲長文,男,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:無源定位與跟蹤技術(shù)、合成孔徑雷達(dá)成像、目標(biāo)檢測與識(shí)別。王昌海,男,碩士,研究方向:無源定位與跟蹤技術(shù)。馮奇,男,博士研究生,研究方向:無源定位與跟蹤技術(shù)。周強(qiáng),男,博士,研究方向:合成孔徑雷達(dá)成像、目標(biāo)檢測與識(shí)別。

TN958.97

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.03.010