丁　然，李　強(qiáng)

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京　100044)

在運(yùn)營中周期性地對車軸進(jìn)行探傷以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)裂紋并更換，是保障車軸安全運(yùn)營的重要手段。車軸探傷是車軸安全壽命設(shè)計(jì)的重要補(bǔ)充，兩者相輔相成[1]。由材料疲勞導(dǎo)致的斷軸事故大多伴隨著裂紋漏探。而目前常用的超聲波探傷技術(shù)在某些情況下，即使對于4 mm深的大裂紋探出概率仍不足0.4[2]?？s短探傷周期可以使裂紋在失穩(wěn)擴(kuò)展前得到更多探傷機(jī)會(huì)，對裂紋有較高的累積探出概率；但探傷周期過短又會(huì)增加人力、物力成本，甚至影響列車運(yùn)營。因此合理制定探傷周期對實(shí)現(xiàn)列車連續(xù)安全運(yùn)營有重要意義。

現(xiàn)行的探傷周期制定方法[1，3]多是首先基于斷裂力學(xué)公式計(jì)算出車軸的剩余壽命N；再規(guī)定剩余壽命內(nèi)累積探傷次數(shù)不少于M-1次，以獲得較大的累積探出概率；最后取探傷周期為N/M，并驗(yàn)算此探傷周期的可靠度是否滿足要求。但這種探傷周期的制定方法有以下3點(diǎn)不足。

(1)由于車軸在設(shè)計(jì)上有很大的強(qiáng)度冗余，使用NASGRO公式[4]或其他類似的斷裂力學(xué)模型[5]計(jì)算車軸裂紋時(shí)通常會(huì)得到不滿足裂紋擴(kuò)展的判據(jù)，從而無法求出車軸的剩余壽命。應(yīng)用中，Beretta[3]通過放大初始裂紋到5 mm或者提高載荷水平，Zerbst[1]則通過減小材料應(yīng)力強(qiáng)度因子變程門檻值ΔKth，迫使裂紋擴(kuò)展。這些手段雖可得到偏安全的剩余壽命，但與實(shí)際工況偏差較大。

(2)只能通過事先給定的M值驗(yàn)算可靠度，無法在一定可靠度要求下制定盡量長的探傷周期以減小成本。

(3)由于受隨機(jī)因素的影響，車軸剩余壽命的分散性很大[6-7]，因此用非隨機(jī)算法計(jì)算車軸剩余壽命并不理想[8-9]，而由隨機(jī)裂紋擴(kuò)展計(jì)算模型得到的車軸剩余壽命又是隨機(jī)的，無法計(jì)算其可靠度。

本文基于伽馬隨機(jī)過程模型分析試驗(yàn)或運(yùn)營中取得的裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度描述裂紋擴(kuò)展過程，并在該模型下推導(dǎo)車軸的失效函數(shù)及可靠度函數(shù)，揭示車軸的剩余壽命、漏探概率和車軸可靠度三者的關(guān)系，克服現(xiàn)有方法的不足，為車軸剩余壽命分析和探傷周期的制定提供理論基礎(chǔ)。

1　基于伽馬隨機(jī)過程的裂紋擴(kuò)展模型

為描述裂紋擴(kuò)展的隨機(jī)性而使用隨機(jī)過程最為自然，伽馬(Gamma)隨機(jī)過程適合描述隨時(shí)間緩慢擴(kuò)展且擴(kuò)展速率逐漸變大的裂紋擴(kuò)展過程。該模型有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)擬合能力，近年來在疲勞數(shù)據(jù)分析和剩余壽命估計(jì)等領(lǐng)域已有了非常廣泛的應(yīng)用[10-12]，但目前尚未見在車軸領(lǐng)域的應(yīng)用。為簡單起見，本文將沿周向擴(kuò)展的車軸表面裂紋的深度抽象為一維伽馬隨機(jī)過程。為使探傷周期的制定方法更加具有普遍性，本文不假設(shè)車軸的形式(如：空心軸、實(shí)心軸；客車軸、貨車軸)及裂紋的萌生位置(如萌生于軸頸過渡圓弧處或輪座壓裝區(qū))。

1.1　模型定義及相關(guān)假設(shè)

設(shè)裂紋的初始深度為a0，t時(shí)刻裂紋的深度為at，則裂紋的擴(kuò)展量為Δa(t)=at-a0。 假設(shè)Δa(t)為伽馬隨機(jī)過程，則它滿足如下條件。

(1)初始時(shí)刻裂紋的擴(kuò)展量為0，即Δa(0)=0。

(2)獨(dú)立增量：對任意時(shí)刻，有t0

(3)伽馬增量：對于任意時(shí)刻t≥0和任意時(shí)間增量Δt>0，Δa(t+Δt)-Δa(t)服從參數(shù)為α(t)和λ(λ>0)的伽馬分布，即

Δa(t+Δt)-Δa(t)～

(1)

式中：Γ(·)為伽馬函數(shù)；α(t)為t的增函數(shù)。

設(shè)裂紋擴(kuò)展臨界深度為au，即當(dāng)at≥au時(shí)判定車軸失效。則車軸的剩余壽命N≤t等價(jià)于at≥au或Δa(t)≥au-a0。利用伽馬函數(shù)的性質(zhì)可求得t時(shí)刻剩余壽命的累積分布函數(shù)FN(t)為

(2)

在已知tr時(shí)刻裂紋深度的條件下，ts(ts>tr)時(shí)刻剩余壽命的累積分布函數(shù)FN(ts|atr)為

(3)

1.2　參數(shù)估計(jì)

待估參數(shù)為式(1)中的α(t)和λ。α(t)常取為冪函數(shù)的形式[10]，則系數(shù)為k、 指數(shù)為b的α(t)為

α(t)=ktb

(4)

因此模型的待估參數(shù)為k，b，λ，可利用極大似然法求得。

觀察m條裂紋的獨(dú)立擴(kuò)展過程。若對第i(i=1, 2, …,m)條裂紋觀察ni次，其對應(yīng)的觀察時(shí)刻分別為ti,1,ti,2,…,ti,ni，對應(yīng)時(shí)刻的裂紋深度分別為a(ti，1),a(ti，2), …,a(ti,ni)， 則可算得ni個(gè)裂紋深度的增量Δai,j=a(ti,j)-a(ti,j-1；j=1, 2, …,ni；且ti,0=0。

設(shè)各個(gè)裂紋樣本間相互獨(dú)立，由式(1)可得極大似然函數(shù)L(Δai,j|k,b,λ)為

L(Δi,j|k,b,λ)=

(5)

而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，用于模型待估參數(shù)估計(jì)值的裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)可以從仿真、試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中獲得；也可先通過仿真獲得待估參數(shù)的估計(jì)值，再由實(shí)際運(yùn)營的探傷數(shù)據(jù)加以修正。為簡單起見，本文后面的數(shù)值算例使用仿真所得數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

2　基于漏探概率的失效函數(shù)及可靠度函數(shù)

探傷系統(tǒng)的探傷能力通常用探出概率曲線描述[13-14]，它綜合反映裂紋深度與相應(yīng)探出概率間的關(guān)系。設(shè)PD(a)為裂紋深度為a時(shí)的探出概率，則其對應(yīng)的漏探概率為PN(a)=1-PD(a)。

在可靠性理論中，失效函數(shù)F(t)通常被定義為t時(shí)刻系統(tǒng)已失效的概率。因?yàn)檐囕S是關(guān)鍵安全部件，探得裂紋就會(huì)被更換，因此車軸的失效函數(shù)F(t)可具體解釋為： 在t時(shí)刻(用載荷循環(huán)數(shù)或運(yùn)營里程表示)，裂紋始終未被探傷發(fā)現(xiàn)并已擴(kuò)展至臨界尺寸au的概率。記車軸的失效時(shí)刻為tf，即atf=au。若取車軸的探傷周期為T，可將區(qū)間(0,t]按計(jì)劃探傷時(shí)刻tq=qT劃分為n+1個(gè)區(qū)間，即(tq-1,tq](q=1, …,n)和(tn,t]。則tf≤t等價(jià)于tf∈(tq-1,tq]和tf∈(tn,t]這n+1 個(gè)不交事件的和。圖1為tf∈(t3,t4] 和tf∈(t4,t]這2種裂紋擴(kuò)展過程的示意圖。

為計(jì)算F(t)還需引入一些事件：記Ai為事件“至第i次探傷裂紋仍未被發(fā)現(xiàn)”，則

(6)

式中：P(Ai)為事件Ai發(fā)生的概率，規(guī)定P(A0)=1。

記Bi為事件“至?xí)r刻ti裂紋已擴(kuò)展至臨界尺寸”，則P(Bi)=P(ai≥au)。 規(guī)定P(Bt)=P(at≥au)。應(yīng)用全概率公式可得

Ai-1)+P(An)P(Bt|An)

(7)

圖1　tf∈(t3, t4]和tf∈(t4, t]的2種裂紋擴(kuò)展過程

下面分別計(jì)算式(7)中諸項(xiàng)的概率。

式(7)中i=1對應(yīng)項(xiàng)P(A0)P(B1|A0)，表示車軸在第1次探傷前車軸已失效的概率。由式(2)可得

P(A0)P(B1|A0)=FN(t1)

(8)

式(7)中i=2對應(yīng)項(xiàng)P(A1)P(B2|A1)， 記pΓ(·)為伽馬分布的概率密度函數(shù)，則由全概率公式和式(3)可得

P(A1)P(B2|A1)=

(9)

對式(7)中i>2的諸項(xiàng)應(yīng)用全概率公式，需要計(jì)算an

PN(a1)l-1PN(al)

(10)

利用條件概率的定義和全概率公式以及式(10)右側(cè)第1項(xiàng)，可得i=l對應(yīng)項(xiàng)P(Al-1)P(Bl|Al-1)的上限為

(11)

式中：pB(·)為貝塔分布的概率密度函數(shù)。

同理，可得該項(xiàng)的下限為

(12)

將式(8)、式(9)、式(11)和式(12)代入式(7)即可計(jì)算F(t)的上、下限。

F(t)為t的函數(shù)，因此將其在t→∞的極限值F作為失效度指標(biāo)更為方便、合理。進(jìn)而可定義評價(jià)探傷周期的可靠度指標(biāo)R=1-F。

3　數(shù)值算例

3.1　與斷裂力學(xué)模型的對比

圖2　本文模型與斷裂力學(xué)模型結(jié)果的對比

探傷周期取為1萬km，探出概率曲線取為文獻(xiàn)[2]中超聲遠(yuǎn)端掃描曲線，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(7)算得F(t)的上下限曲線如圖3所示。由圖3可見：隨t的增大F(t)趨于一個(gè)小于1的極限，這說明周期探傷可以在一定的范圍內(nèi)維護(hù)車軸整體的運(yùn)營可靠度。

圖3　失效函數(shù)F(t)的上下限

文獻(xiàn)[3]中按現(xiàn)行的斷裂力學(xué)方法取M=4，即車軸失效前累積探傷3次，求得探傷周期為0.82萬km并算得其可靠度為99.4%。取相同探傷周期，按本文模型算得可靠度上下限分別為99.8%和99.1%。與現(xiàn)行方法所得結(jié)果基本一致；另一方面，本文模型相當(dāng)于在給定的探出概率曲線下，導(dǎo)出了探傷周期與可靠度間的函數(shù)關(guān)系。因此可以方便地利用插值函數(shù)等數(shù)值方法，反過來根據(jù)要求的可靠度制定探傷周期。而現(xiàn)行的斷裂力學(xué)方法無法反求。表1對比了2種模型的計(jì)算結(jié)果，并計(jì)算了按95.0%和99.9%可靠度制定的探傷周期。

表1　本文結(jié)果與文獻(xiàn)[3]結(jié)果的對比

3.2　計(jì)算給定探傷周期的可靠度

對于這種剩余壽命分散性較大的情況，以往研究中沒有合適的方法計(jì)算探傷周期的可靠度，而采用本文方法可以計(jì)算。表2為采用本文方法計(jì)算得到的可靠度與按50%可靠壽命進(jìn)行可靠度校驗(yàn)結(jié)果的對比。表中分別校驗(yàn)了M=3, 4, 5時(shí)的結(jié)果，為說明問題又在其間插入了一些探傷周期的取值。結(jié)果表明：①按50%可靠壽命進(jìn)行校驗(yàn)給出的結(jié)果對較短的探傷周期偏激進(jìn)，這是因?yàn)樗雎粤耸Ｓ鄩勖淼娘L(fēng)險(xiǎn)；而對較長的探傷周期偏保守，例如M=3，是因?yàn)楝F(xiàn)行方法認(rèn)為此時(shí)只有2次探傷機(jī)會(huì)從而累積探出概率大幅下降。因此利用50%可靠壽命或其他可靠壽命進(jìn)行校驗(yàn)不能綜合反映剩余壽命與漏探概率的關(guān)系。②隨探傷周期變長，按50%可靠壽命校驗(yàn)的結(jié)果并不是單調(diào)下降而是忽高忽低。因此現(xiàn)行方法只能對給定M值算出的探傷周期進(jìn)行可靠度校驗(yàn)，并不能計(jì)算任意探傷周期對應(yīng)的可靠度。而本文可用于任意探傷周期的可靠度計(jì)算。

表2　本文結(jié)果與按50%可靠壽命校驗(yàn)結(jié)果的對比

為方便工程應(yīng)用，可由下式定義車軸失效前經(jīng)歷探傷次數(shù)的期望值M(T)為

(13)

因?yàn)閠q=qT，所以式(13)定義的M(T)為探傷周期T的函數(shù)。這樣與現(xiàn)行方法類似，可先計(jì)算，比如使M(T)=4的探傷周期T，再根據(jù)進(jìn)一步求得的可靠度對制定的探傷周期進(jìn)行優(yōu)化，從而減少大量積分的計(jì)算。

4　結(jié)　論

(1)用伽馬隨機(jī)過程對車軸裂紋擴(kuò)展建模是可行的。在反映裂紋隨機(jī)擴(kuò)展特性的同時(shí)，基于試驗(yàn)和運(yùn)營中取得的裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度描述裂紋擴(kuò)展過程，可克服斷裂力學(xué)模型不滿足裂紋擴(kuò)展判據(jù)的問題。

(2)本文模型可計(jì)算任意探傷周期的可靠度，也可在給定可靠度下制定探傷周期，應(yīng)用更加靈活。

(3)給出了隨機(jī)裂紋擴(kuò)展下探傷周期的制定方法，能綜合反映車軸的剩余壽命、漏探概率和可靠度三者的關(guān)系，所得結(jié)果更加合理。

(4)提出了車軸失效前經(jīng)歷探傷次數(shù)的期望值M(T)的概念。 利用M(T)進(jìn)行探傷周期的制定，在工程應(yīng)用中更方便。

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