管 濤， 左 萍

(中國人民公安大學信息技術與網(wǎng)絡安全學院， 北京 102600)

基于微課的數(shù)學課程改革研究

管 濤， 左 萍

(中國人民公安大學信息技術與網(wǎng)絡安全學院， 北京 102600)

微課是以教學視頻為主要載體，反映教師在課堂教學過程中對某個知識點或教學環(huán)節(jié)而開展教與學活動的各種教學資源有機組合。針對公安大學數(shù)學課程體系中的一些結構性問題，分析了當前數(shù)學課程的教學定位以及教學要求，研究了微課概念的引入對現(xiàn)有數(shù)學課程結構的革新，并提出基于“微課輔助教學”思想的數(shù)學課程體系改革方案以及具體各門數(shù)學課的微課建設框架。

微課； 直觀性教學； 應用型課程

0 引言

微課是本世紀新興的一種授課模式[1]。微課誕生于2008年，戴維·彭羅斯在美國的新墨西哥州圣胡安學院首創(chuàng)一分鐘課堂并將其命名為Microlecture。在我國，微課的概念首次是在2011年由廣東教育學會的胡鐵生教授引入和倡導的。最初，基于微課形式上的趣味性，微課視頻主要應用于中小學的教學中，2012年，教育部開始籌備舉辦首屆全國高校微課教學比賽，標志著在高校范圍內也開始推廣這一授課模式，隨后各學科的微課教學比賽也逐步開展起來。目前，很多高等院校都建立了微課網(wǎng)絡系統(tǒng)，并成功地與現(xiàn)有教學體系接軌，與傳統(tǒng)教學模式相輔相成，不同程度的實現(xiàn)了慕課、翻轉課堂等授課體系。

數(shù)學是一門歷史悠久、非常成熟的學科，有其自身獨有的規(guī)律。數(shù)學知識的結構體系十分嚴謹，環(huán)環(huán)相扣，其知識又十分抽象，如果沒有前置的理論基礎，后續(xù)學習就只是空中樓閣。數(shù)學學習過程中最大的特點就是不能單純的靠老師講解，需要不斷地思考，將知識結構并輔助以直觀實例作為支撐，在其中融入自己的理解，才能添加到已有的知識體系中。當然作為教師，也需要合理設計教學方法，盡力提高學生消化知識的效率。具體實現(xiàn)的手段還需要進一步探索，而微課恰好可以承擔體現(xiàn)教學直觀性和應用性的一個改革平臺。

1 微課的主要特點

微課與一般課程教學有所不同，微課的載體是視頻，其核心要素是短，不超過10分鐘，個別視頻稍長但也不會超過15分鐘，如果視頻過長，那必然會增加觀眾的疲勞度，影響觀眾學習的效果。如果一次錄制45分鐘的教學視頻，那就和普通授課沒有區(qū)別了。由于微課視頻的基本屬性，其必然有如下幾個的特點。

(1)短小精悍，時間緊湊。單個微課視頻不超過15分鐘，相對于近1個小時的傳統(tǒng)課堂授課來說時間短了很多，在這么短的時間中，觀眾可以集中精力進行學習，不會產生連續(xù)上課造成的精神疲憊，達到事半功倍的效果。

(2)主題突出，切中要點。由于時間緊湊，單個的微課視頻通常都是針對一個重要知識點進行講解，這樣課程的主題相對突出，教學內容更加緊湊，學習目的十分明確，讓觀眾一目了然，能很容易就可以把握住講解者的思路。

(3)形式多樣，便于整合。單個微課看起來很“碎片化”，只是講授一個單一的知識點或者解決一個單一的問題，甚至僅僅是一個科普介紹。但是一系列形式屬性各不相同的微課就可以圍繞一個主題形成一個完整的課堂教學流程，從開始的導論引入，到關鍵知識點的講解，以及重難點知識的對應練習，甚至可以包括學生的學習質量反饋。另外，多個文件的模式便于整合，可以隨時增加或者刪除某些模塊，更換其中需要添加的新內容或者講授質量有缺憾的部分。

(4)任意觀看，無限播放。傳統(tǒng)課程講授的時間線是單一的，學生必須在指定時間到指定地點學習指定的內容，而且課堂上稍有思維不集中就可能丟失關鍵知識點，這對于環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學學習來講是致命的。微課解決了這些問題，讓觀眾可以在任意自己方便的時間進行學習，同時可以針對自己的情況進行自主的學習，例如對第一章比較熟悉的觀眾可以直接從第二章開始學起，如果某一部分沒有聽明白，只要動動鼠標或劃劃屏幕就可以讓老師重新講解一遍，這樣的學習模式必然會對授課質量產生正影響。

(5)依托網(wǎng)絡，靈活自如?？梢钥闯觯⒄n是課堂教學與“互聯(lián)網(wǎng)+”的深度融合，微課視頻容量不大，可以很方便的在電腦、手機等各種終端上下載觀看，觀眾可以對自己的學習環(huán)境進行自主的把控和調節(jié)，使學習過程變得相對輕松。

因此，如果可以合理利用微課的這些特性，微課必然能充分發(fā)揮其優(yōu)勢，成為現(xiàn)有傳統(tǒng)課堂教學的有力補充。

2 數(shù)學課程的現(xiàn)狀及當前面臨的問題

大學數(shù)學課程當前面臨著以下結構性問題：

(1)過度的體現(xiàn)了數(shù)學的嚴密性和抽象化。數(shù)學科學是最講求嚴密邏輯的科學，但是對于初學者來說，過于嚴密的邏輯會使得數(shù)學知識復雜化，同一個定理，在數(shù)學專業(yè)的數(shù)學分析教材中和理工科的高等數(shù)學教材中，其敘述形式都有天壤之別。高校中學習高等數(shù)學的絕大部分學生將來并不是要成為數(shù)學工作者，因此過分追求邏輯嚴密和抽象化會讓學習過程變得事倍功半。

(2)數(shù)學知識的講授過于孤立。數(shù)學是科學之母，可以說任何一門科學都離不開數(shù)學的支撐，但是大部分高校中數(shù)學課程的學時都不寬裕，因此授課過程中沒有機會體現(xiàn)數(shù)學和其他學科之間的聯(lián)系，也無法展現(xiàn)數(shù)學對其他學科門類的支撐作用。這樣的授課過程顯得十分單薄，讓學生提不起學習的興趣。使學生感覺數(shù)學學習很“恐怖”[3]。

(3)受數(shù)學發(fā)展歷史的影響，大學數(shù)學很多概念都篇幅較長，讓學生望而卻步?，F(xiàn)在高校通行的高等數(shù)學教學進度以及層次安排，和歷史上的數(shù)學發(fā)展史并不一致。高等數(shù)學在17世紀由牛頓和萊布尼茨分別創(chuàng)立時是極不嚴密的，當時發(fā)明微積分是為了解決物理學上遇到的一系列新問題，偏重于應用，直到19世紀中后期對概念的闡述才比較嚴謹。這就導致高等數(shù)學的每個章節(jié)中，最初的概念敘述都相當繁雜，嚇退了學生，事實上如果繼續(xù)學下去，待到知識成為體系后，對知識的運用反倒會變得簡單。如果能在每一章節(jié)之前增加一個綜述環(huán)節(jié)，那么可以部分消解學生的畏懼情緒。

另外，數(shù)學本身的學科特點使得學生上課時必須集中精力，思維敏捷。因為數(shù)學科學中充滿了嚴密的推理，因此學習者必須時刻都跟得上教師的進度，很多學生習慣于做筆記，記錄下教師寫的每行字，事實上這種方法在傳統(tǒng)數(shù)學學習中是不可取的。更有效的學習方法應該是以動腦為主，思維跟上講授者，對于關鍵的一些要點進行記錄即可。但是作為剛剛步入大學校門的學生，對這個度的把握似乎還有一些力不從心。

針對上述這些問題，在應用型高校以及專業(yè)特色明顯的高校中，數(shù)學課程改革的方向應該是在教學中體現(xiàn)數(shù)學的直觀性和應用性，以直觀性來緩解學生的學習壓力，以應用性來激發(fā)學生的學習興趣[2]。但是在課時量并不充裕的條件下，再添加直觀解釋以及應用實例這樣一些元素，是否會破壞數(shù)學課程原有的邏輯體系？是否會導致正常教學的課時不足而影響教學質量？在數(shù)學教學中延伸出直觀性和應用性時如何保證學生思維的連貫？我們可以借助微課模式來解決大學數(shù)學教學過程中的一系列問題，實現(xiàn)直觀性和應用性教學這一創(chuàng)新。

3 微課對傳統(tǒng)數(shù)學授課的輔助模式

在現(xiàn)有教學體制下，傳統(tǒng)的課堂授課模式依然是高等教育中必不可少的主流環(huán)節(jié)，不可能從根基上完全否定來進行革新。微課這種模式只能作為傳統(tǒng)教學基礎上的一種輔助和補充。也就是一些傳統(tǒng)課堂上沒有時間講的綱領性內容，以及和正規(guī)授課流程偏差較大的一些輔助內容，針對部分有擴展需求的學生還可以講授一些外延內容。

首先，針對每章的知識框架進行一次總體綱領的講授。前面提到，高等數(shù)學和初等數(shù)學最大的差別就在于高等數(shù)學基本概念的復雜度更高，例如高等數(shù)學的第一個概念“極限”，其定義就有近百字，而且采用了一階邏輯的量詞描述；再如線性代數(shù)的第一個重要概念“行列式”，需要由奇偶排列、逆序數(shù)等一系列定義才可以引出。這種現(xiàn)象的形成和數(shù)學科學在歷史上的發(fā)展有關，課本講授順序和數(shù)學科學發(fā)展的歷史時間線并不一致，比如極限等微積分概念就是在17世紀由牛頓和萊布尼茨分別發(fā)明并用來解決實際問題的，到了19世紀中期才由柯西、維爾斯特拉斯等人給出真正嚴密的定義。在課堂學習中，這些概念以及帶來的復雜運算會隨著后續(xù)的學習中知識體系的逐步建立而化解，但是卻讓很多學生因為畏懼其繁復的表述而望而卻步，導致整門課的學習都受到影響。如果在講授每一章之前都能拿出半節(jié)課的時間簡介這一段知識的整體框架，這看似“閑棋”的一著卻能給后面的教學埋下很多伏筆，讓學生在學習時有一種心理準備，但是受到客觀的課時限制，這一介紹過程無法在課上完成。而有了微課這一工具，就可以對每一章進行一次綜述的講授，并且可以讓學生當做預習在課下進行觀看，不占用上課時間。

第二、對困難知識點給出直觀解釋。前面提到過，數(shù)學教學應以直觀性為導向，事實上很多數(shù)學理論也確實有其直觀的表述形式，例如把定積分想象為二維的紙累積成三維的書本，如把一致連續(xù)理解為一個細管，可以穿過曲線代表的鐵絲；把矩陣的秩理解為它所攜帶的信息量。但是在課堂上講授其抽象概念時，如果提出這些并不算十分嚴格的直觀模型，可能會導致學生在捉摸不清其數(shù)學本質的時候更加迷茫，如果詳加解釋反而更加占用上課時間，因此這些內容也可以放在微課中，待學生課下復習消化知識的時候給出，讓學生“頓悟”這些概念的深刻內涵。

第三、數(shù)學知識的具體應用。和直觀性類似的，數(shù)學教學中同樣應體現(xiàn)數(shù)學的應用性，但是數(shù)學應用同樣是與時俱進的，不能僅僅局限于17世紀牛頓時代的那些實例?，F(xiàn)代技術中的數(shù)學應用并不是一兩句話可以說清的，因此在課上給出這些應用實例也會讓課程內容成倍的增加而無法完成。這些內容同樣可以放在課后復習的微課材料中，如在講完矩陣特征值以后，就可以給出一個較小的Google矩陣帶領學生實際操作一下，讓學生理解特征值概念雖然源自于不變子空間，但事實上還有更多的用處。

第四、重難點題目的講解。相信每一位老師都遭遇過批改作業(yè)時全班規(guī)模性的算錯同一道題的情境，也經歷過期末答疑時同一道題目被無數(shù)學生輪番提問的窘態(tài)。那么有了多年的教學經驗后，教師對相應練習題的重點與難點題目應該十分清楚，那么完全可以化被動為主動，在微課中對其進行講解，這樣學生在課后練習時能夠及時的彌補自己知識運使用上的漏洞，同樣也可避免答疑時無意義的重復勞動。這是對學生的負責，同樣也是教師對自己的一種“解放”。

第五、較有深度的問題的討論。數(shù)學教學中有個重要環(huán)節(jié)就是討論，討論可以讓學生自己構建解決問題的流程，并檢查流程中的紕漏，是對所學知識的鞏固和加強。但是如果在課上實施這一環(huán)節(jié)，有可能出現(xiàn)收不住的局面，導致占用課程時間過長，耽誤正常的授課進度。因此這一環(huán)節(jié)同樣可以留在課下，由老師借助微課平臺給出一個“導火索”，引爆學生之間的討論。如概率課程中著名的三門問題[2]和體檢誤診問題[4]以及一些較難的題目都可以發(fā)布在微課平臺上，當然，作為負責任的講授者，應該在一段時間之后給出解答，切忌虎頭蛇尾給學生留下疑惑。

4 高校數(shù)學基礎課微課建設框架初探

高校理工類專業(yè)目前有3門數(shù)學基礎課——高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。

以高等數(shù)學I為例，我校目前采用同濟版教材[5]，共7章，針對每章內容的微課建設理念如表1。

而線性代數(shù)課程歷來教學的難點在于內容抽象，學生在學習時感覺知識浮在半空中難以把握，事實上矩陣具有廣泛的實際應用，例如空間圖形的體積、希爾矩陣加密、差分方程、投入產出模型、網(wǎng)絡流的穩(wěn)定態(tài)等，如果能在講授知識時配套的介紹這些應用，可以讓學生的學習興趣與學習目標變得清晰明朗。但線性代數(shù)僅有34學時，受客觀條件所限，其具體應用無法在課上展開講解，因此在線性代數(shù)的微課建設中應該著重于具體應用案例。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是3門數(shù)學課中與實際應用最為貼近的，也是在其他各學科中應用最為廣泛的數(shù)學分支。統(tǒng)計學是處理大數(shù)據(jù)的基本工具，在實際科研工作中很多統(tǒng)計學軟件已經被廣泛應用，如SPSS，R語言等等，可以考慮結合課本知識制作一些這些統(tǒng)計軟件應用的微課視頻。

表1 高等數(shù)學I的微課建設理念

微課是傳統(tǒng)課堂授課模式的良好補充，但它不能完全代替?zhèn)鹘y(tǒng)課堂，在基于微課的教學改革中，切忌以視頻代替上課，在課堂上播放事先錄好的視頻，這樣的視頻無法在講授過程中時刻觀察學生的反應來調整講授的速度和氛圍，反倒隔絕了與學生的互動。另外，微課是一種多元化的新生事物，制作微課的軟件很多，微課的形式也多種多樣，但是對于數(shù)學這種傳統(tǒng)學科，微課視頻不宜過于花哨，諸如卡通形象或者與知識點關系不大的噱頭盡量不要出現(xiàn)，這些內容只會分散注意力，使學生無法專注于數(shù)學知識的領悟。

5 結語

將微課技術應用于傳統(tǒng)授課中，是順應新時期高校數(shù)學教學改革發(fā)展主流趨勢的一項教學技術革新。多元化的微課，是傳統(tǒng)授課模式“供給側”結構性改革的一大利器。高等教育要實現(xiàn)現(xiàn)代化，首先教育工作者就不能掉隊，合理熟練地使用現(xiàn)代化的各種教學手段是對高校教師的基本要求，教師必須在教學科研工作中不斷更新自己的知識系統(tǒng)和教學技能。在現(xiàn)代化的教學手段模式中，微課僅僅是一個開端，以微課為基礎單元，以互聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)為構建平臺，可以進一步衍生出慕課、翻轉教學、Hybrid Learning等各種現(xiàn)代化教學模式，當然這些工作不是一人之力一日之功可以完成的，必須要組建一支有技術素養(yǎng)、有創(chuàng)新能力、有合作、有分工的團隊。如果運用得當，這些現(xiàn)代化教學模式必然可以與公安實戰(zhàn)工作和實踐教學有機的結合，給傳統(tǒng)授課模式注入新的活力，切實提高教學效果與水平。

[1] 胡鐵生. “微課”：區(qū)域教育信息資源發(fā)展的新趨勢. [J]. 電化教育研究，2011(10): 61-65.

[2] 管濤. 直觀性和應用性在數(shù)學教學中的作用. [J]. 中國公安大學學報(自然科學版)，2014(4): 91-95.

[3] 楊孝平許春根.加強直觀性和應用性教學提高大學數(shù)學教育質量 [J]. 大學數(shù)學，2006(6): 5-7.

[4] 蕭四無.一個與直覺相悖的概率問題引發(fā)的嚴肅思考[EB/OL].(2016-05-03)[2010-10-31]http:∥www.guokr.com/article/517/.

[5] 同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學(第七版) [M]. 北京: 高等教育出版社，2014.

(責任編輯 于瑞華)

管 濤(1981—)，男，河北石家莊人，碩士，講師。研究方向為應用數(shù)學。

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