山東省聊城第一中學 崔金霞

直線與圓錐曲線的位置關系專題講解

山東省聊城第一中學 崔金霞

一、高考目標

（1）能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題；

（2）進一步感受數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想。

二、要點再現(xiàn)

1.直線與圓錐曲線的位置關系

從幾何角度看，可分為三類：有兩個公共點，有一個公共點及沒有公共點。

從代數(shù)角度看，將表示直線的一次方程和表示圓錐曲線的二次方程聯(lián)立成方程組，實際上是研究方程組解的個數(shù)問題.通過消元后得到關于x(或y)的一元二次方程，最終化歸為該方程解的情況。特別提示：二次項系數(shù)為零的情況。

2.弦長問題

（1）聯(lián)立方程組求兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式求解。

（2）若直線的斜率為k,被圓錐曲線截得弦AB兩端點坐標為（x1,y1）,(x2,y2),則弦長公式為或

（3）含焦點的弦長問題，要注意應用圓錐曲線的定義。

分 析： 設 橢 圓 截 直 線l于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩 點， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0。

計算完畢后，比較竣工和設計標高差異值。其中在公式（2）中的可以直接作為實際施工立模標高。正向分析法主要是按照實際施工的步驟順序進行橋梁施工數(shù)據(jù)的分析測算，合理解決了傳統(tǒng)的倒裝分析法不可避免的橋梁連續(xù)施工混凝土收縮不變的計算問題[3]。假設在實際計算過程中，橋梁施工單位在第一階段應力并沒有通過，也可以及時進行調(diào)整。此外，正向分析法可以充分考慮設計資料和相應施工方案，對橋梁結(jié)構工程、施工工作以及后續(xù)的工程監(jiān)管融為一體，保證監(jiān)管工作的現(xiàn)實性和針對性。

3.弦的中點問題

（1）先求弦的兩端點的坐標，然后利用中點坐標公式。

（2）聯(lián)立成方程組,消元后得到關于x(或y)的一元二次方程,然后利用判別式和根與系數(shù)的關系。

例3 直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于A、B不同的兩點，且AB的中點橫坐標為2，求k的值。

4.直線與圓錐曲線相離時,求曲線上的點到直線的最短（長）距離

主要求法有：（1）函數(shù)法，（2）數(shù)形結(jié)合法。

例4 在拋物線y2＝4x上求一點P，使得點P到直線y=x+3的距離最短。

解法一：在同一個坐標系中畫出拋物線與直線的方程，發(fā)現(xiàn)直線與拋物線相離，最短距離就是拋物線的一條與y=x+3平行的切線到直線y=x+3的距離，從而轉(zhuǎn)化成求切點即為P點坐標。

當取得最小值時y0=2，x0=1，則P點坐標為（1,2）。

3.實踐活動

請你計算一面少先隊中隊旗的面積，需要測量哪些數(shù)據(jù)。請找一面中隊旗測量并計算。

通過組合圖形的鞏固練習，讓學生在實踐中獲得分塊、加減及割補的方法，并在不斷的思考中將思維引向更深處，使解決問題的能力獲得進一步的提高。