巧用廣義約分，避免分式增根

浙江省桐廬縣分水初中教育集團(311519) 胡柳青 ●

巧用廣義約分，避免分式增根

浙江省桐廬縣分水初中教育集團(311519) 胡柳青 ●

解分式方程是初中數學的重點之一，現行教材中只介紹了一種最基本的解法，把分式方程的兩邊同乘以各分式的最簡公分母，通過去分母把分式方程轉化為整式方程求解，還強調了解分式方程有增根，解后必須驗根．分式方程采用這種解法顯得十分繁瑣，對某些較復雜的甚至無能為力．那么分式方程的求解時能否不產生增根，從而不需要驗根，方法是否還可以更為簡便些呢?這得從分式方程中的增根是如何產生說起，請看下例:

解 在方程兩邊都乘以(x+3)(x－3)，得3(x+3)－(x－3)=18②．解這個整式方程得x=3．把x=3代入原方程，分式的分母均為零，分式沒有意義，所以x=3是方程的增根，原方程無解．

從上述解法中，可明顯得出:增根是在將分式方程進行變形轉化為整式方程之后產生的．一般情況下，分式方程在經過變形之后字母的取值范圍往往發(fā)生了變化．如①中字母x的取值范圍是x≠±3，去分母后得到的方程②，就將x的取值范圍擴大到了全體實數，這就是造成增根的根本原因．簡單地說，方程中字母的取值范圍的變化造成方程根的變化，計算過程將字母的取值范圍擴大的話就造成增根，計算過程將字母的取值范圍縮小的話就造成失根;不改變字母取值范圍的話，根的情況就不會有變化．對于分式方程而言，本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好在原方程未知數的允許值之外，那么就會出現增根．簡而言之，分式方程的增根是在解答過程中出現的，是在去分母的過程中產生的．其實最嚴格的變形(等價變形)是不會產生增根的，因為字母的取值范圍不會發(fā)生變化．我們是否可以認為是用了不恰當的解答方法——去分母求解分式方程，才導致分式方程出現了增根．

將分式方程轉化為整式方程來求解，是各版本教材所推薦的，其優(yōu)點是較為方便、快捷，也與學生前面所學的解整式方程的知識是緊密聯系在一起的，有利于知識的同化與順應、知識的建構，然而卻容易產生增根，需代入檢驗，從而導致解分式方程的方法較為繁瑣．上述方程如果采用通分或約分的方法進行求解，則解答過程中并不會產生增根．解法如下:

方法1 由分式的性質可得，分式的值為0時，分子為零，分母不為0，即:2x－6=0，x2－9≠0，所以原方程無解;

這樣解分式方程，增根都去哪兒了?正如前文所述，增根產生的原因是去分母時不符合同解原理，那么在解分式方程時，每一步變形都遵從同解原理的話，自然也就不會產生增根了．方法1利用通分來求分式方程的解時，先通分(不約分)轉化為A/B=0，然后利用分子為零，分母不為0，得到方程的解，這一過程中依據的是分式的性質，沒有不等價變形，所以沒有產生增根．這種求解過程較為復雜但是規(guī)范可行的．我們已經學過了分式的概念與運算、因式分解的相關知識，解法中的每一步都是學生熟悉的，每一步也都是符合同解原理的，是等價變形．這樣解方程避免去分母這一過程，避免增根的產生，省略了檢驗的步驟，從而降低了解題的難度．方法2中，約分卻是不等價變形，解題過程中這一不等價變形會造成了原方程失根，上述方程④中還有根x=3，而從④到⑤，分子分母同時約去了(x－3)這一公因式，失去了x=3這個根，幸運的是這一因式產生的根x=3恰恰是用去分母解方程產生的增根．此種解法通過失去增根使得解方程的過程沒有產生增根，是不是有點象負負得正了．而且這種求解的方法不用檢驗，因為約分后方程更為簡單，求解過程看起來更為有效，易操作，也不容易出錯!

由此，筆者思考運用約分法來求解分式方程，通過不等價變形(約分)使得解答過程中失去增根來避免分式方程增根的產生．例如解方程移項通分后可得即，約分為，所以原方程無實數解;再如解方程，移項通分得:，即，不能約分，所以3－14x=0，解得．經檢驗是原方程的解．方程時，如果約去(x－2)得到:0，解得x=2，代入后原方程的分母等于0，所以x=2是增根，并不是原方程的根!事實上，約分的過程實際也是在消去分母，并不是同解變形．如上述方程 (x－2)2(x－2)(x+3)=需要提醒的是:不恰當的約分，也會產生解題錯誤:如解0中消去分母(x－2)，分式方程中分母的取值范圍發(fā)生了變化:從x≠2且x≠－3變?yōu)閤≠－3，然而約分后方程的分子中還含有原來分母的因式(x－2)，從而產生了增根．而前兩個方程沒有增根產生，是因為約分后分子中已經沒有原分母的因式．由此考慮改進方法，姑且可稱之為廣義約分:在約分時不考慮因式的次數，只要是相同的因式均約去．如第三個方程中分子約去(x－2)2，分母約去(x－2)變形為，所以原方程無解．這個過程不是同解變形，但是與分母相同的因式所解出的根必定為增根，由此可約去不同次數的因式，利用失根避免產生增根，原方程的解并不會受影響．廣義約分法解分式方程的基本步驟為:移項使方程右邊為零;通分;廣義約分:約去分子、分母相同的因式;最后求得方程的解．

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1008－0333(2017)02－0017－01