甘肅省天水市麥積區(qū)街子中學(741037) 劉永智 ●

從數線段的條數談起

甘肅省天水市麥積區(qū)街子中學(741037) 劉永智 ●

題目 下列圖中各有幾條不同的線段?從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

解1 圖1(1)中有A1A2一條線段;圖1(2)在圖1 (1)的基礎上添加了一個點A3，點A3和原來的點A1，A2連接后，線段數增加了 A1A3，A2A3兩條，共有1+2=3 (條)不同的線段;圖1(3)，按同樣的道理，共有1+2+3 =6(條)不同的線段;…，圖1(n)中共有1+2+3+…(n(條)不同的線段．

解2 圖1(1)中有A1A2一條線段;圖1(2)中現(xiàn)任取一個點和剩余的兩個點可以連接2條線段，圖中共有3個點，去掉重復連接的線段，共可以連接不同的線段;圖1(3)，按同樣的道理，共有(條)不同的線段;…，圖1(n)中共有(條)不同的線段．

在初學幾何知識的時候，這樣求解規(guī)律的問題有很多，接下來我們通過例題來看看對這類問題的求解．

例1 如圖，已知∠AOB是銳角，以點O為端點向∠AOB內部作一條射線，則圖中共有多少個角?若作兩條、三條射線有多少個角?若作n條射線時有多少個角?畫一畫，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

解析 我們知道，有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角．在圖3(1)中 ，以其中的任何一條射線為一邊，和剩余的兩條射線可組成兩個角，圖中共有3條射線，去掉重復的角，共可以組成不同的角;按同樣的道理，圖3(2)共可以組成不同的角;圖3(3)共可以組成不同的角;因此，若作n條射線時，共可以組成(個)不同的角．

例2 (1)如圖，兩條直線相交，最多有___個交點;

三條直線相交，最多有___個交點;四條直線相交，最多有___個交點;五條直線相交，最多有____個交點;

(2)歸納，猜想，30條直線相交，最多有 個交點．

解析 兩條直線相交最多只有1個交點;三條直線相交，其中的每一條直線和剩余的兩條直線最多可以有2個交點，如果每條直線和其它直線的交點都不重合，則交點個數最多，去掉重復數的交點，共有交點;按同樣的道理，四條直線相交，最多有(個)交點;五條直線相交最多有交點; 30條直線相交最多有交點．

例3 觀察下列各圖，尋找對頂角(不含平角)與鄰補角:

(1)圖4⑴中共有___對對頂角，___對鄰補角;

(2)圖4⑵中共有___對對頂角，___對鄰補角;

(3)圖4⑶中共有___對對頂角，___對鄰補角;

(4)研究⑴～⑶小題中直線條數與對頂角，鄰補角對數之間的關系，若有n條直線相交于一點，則可形成___對對頂角，___對鄰補角．

解析 圖4⑴中共有2對對頂角，4對鄰補角;對于圖4⑵中對頂角和鄰補角的對數，如果直接用數的辦法，會發(fā)現(xiàn)比較難．通過觀察圖4⑴，我們可以這樣設想，如果能找出圖4⑵中相交直線數，則給相交直線數分別乘以2和4，便可求得對頂角和鄰補角的對數，圖4⑵中相交直線數為3，因此，圖4⑵中共有3×2=6對對頂角，2×3×2= 12對鄰補角;同樣的道理，圖4⑶中相交直線數為4，因此，圖4⑶中共有4×3=12對對頂角，2×4×3=24對鄰補角;若有n條直線相交于一點，則可形成n(n－1)對對頂角，2n(n－1)對鄰補角．

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