江蘇省通州實驗中學(226300) 吳 健 ●

陜西省禮泉教研室(713200) 李 輝 ●

平面幾何題兩種解法的比較

江蘇省通州實驗中學(226300) 吳 健 ●

陜西省禮泉教研室(713200) 李 輝 ●

在中學階段，平面幾何題是教學的一個難點，如何解決這個難點?對這類問題主要有兩個思路，一是從公理、定理、推論出發(fā)，通過推理得出結(jié)論;二是根據(jù)圖形建立適當?shù)淖鴺讼?，確定圖形中已知點的坐標，靈活使用平面直角坐標系中的有關(guān)公式和方程來解決問題．

例1 在平面直角坐標系中，已知點A(4，0)，B(－6，0)，點C是y軸上的一個動點，當∠ACB=45°時，點C 的坐標為___．

解法一 如圖所示，根據(jù)題意可知，AB=10，線段AB的中點E的坐標為(－1，0)，過點E作EP⊥x軸且令，則△BPE和△APE都是等腰直角三角形，所以在△APB中，∠APB=90°．以點P為圓心，BP為半徑作圓，與y軸交于點C，則∠ACB為弧所對應(yīng)的圓周角，∠APB為弧所對應(yīng)的圓心角，所以，故點C恰好在⊙P上．過點P作PF⊥y軸，則=OE=1，則在 Rt△CPF中，由勾股定理得 CF=，故OC=CF+OF=12，即點C的坐標為(0，12)．同理可得，當點C位于y軸負半軸時，點C的坐標為(0，－12)．

第一種解法是平面幾何解法，需要添加輔助圓，用到圓周角定理和垂徑定理，過程較為復雜;第二種解法設(shè)點的坐標，用到兩角和的正切公式，較為簡捷．

置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．(1)求證:DG⊥BE;

(2)如圖4，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點B恰好落在線段DG上時，求此時BE的長;

(3)如圖5，小明將正方形繞點A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，直線DG與直線BE相交于點H，求△AGH面積的最大值．

解法一 (1)證明:如圖10所示，延長EB交DG于點H．因為四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，故在△ADG和△ABE中，由，得△ADG? ABE(SAS)，所以∠AGD=∠AEB，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°．所以∠AEB+∠ADG=90°．在△DHE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以∠DHE=180°－90°=90°，所以DG⊥BE．，所以△ADG?△ABE(SAS)，所以DG= BE．因為BD為正方形對角線，所以∠MDA=45°．因為∠AMD=∠AMG=90°，所以△AMD為等腰直角三角形，

(2)如圖11所示，作AM⊥DG交DG于點M．因為∠DAB=∠GAE，所以∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG，即 ∠DAG = ∠BAE，故 在 △ADG 和 △ABE 中，AD=AB，所以DM=AM=1．在Rt△GMA中，所以

(3)點H在以EG為直徑的圓上，是一個定圓，同時H在以BD為直徑的圓上，是一個動圓，其運動區(qū)域是以A為圓心，以AC為半徑的圓內(nèi)部區(qū)域．由圖形可知當H點與C點重合時，H點離AG的距離最大，從而△AGH的面積最大．在Rt△ADG中，所以DG=中，AG邊上的高為，所以△AGH的最大面積為

解法二 (1)以A點為坐標原點，AE所在直線為x軸，建立直角坐標系，則，得

(2)以A點為坐標原點，AE所在直線為x軸，建立直角坐標系，則設(shè)正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度為θ，則B點坐標為即點坐標為即(．因為B點在直線DG上，所以kDG，即，化簡得cosθ－sinθ由sin2θ+cos2θ=1解得負值舍去得

第一種解法是平面幾何法，用到三角形全等和圓的相關(guān)知識;第二種解法是建立直角坐標系，利用斜率和兩點間距離公式，還有軌跡方程及用導數(shù)求最值，運算量極大．

從這兩個例子可以看出，兩種解法各有特點，例1用第二種方法解較簡單，例2用第一種解法較簡單．平面幾何解法需要添輔助線，需要一定的技巧，坐標法的思想促使人們運用各種代數(shù)的方法解決幾何問題．很多幾何中的難題，一旦運用代數(shù)方法后就變得平淡無奇，但同時，也增加了解決問題的運算量．

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