例談物理解題中的幾種數(shù)學(xué)方法

江蘇省南通市新橋中學(xué)(226008) 宋建輝 ●

例談物理解題中的幾種數(shù)學(xué)方法

江蘇省南通市新橋中學(xué)(226008) 宋建輝 ●

物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)是物理概念、規(guī)律的常用表達(dá)方式，是解答物理問題的重要工具．物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門科學(xué)．下面通過具體例子來談?wù)勎锢斫忸}中幾種數(shù)學(xué)方法．

1．?dāng)?shù)軸法

是借助數(shù)軸解決物理問題的方法．根據(jù)具體問題首先賦予數(shù)軸特定的物理意義，使數(shù)軸上的點(diǎn)具有特殊的物理涵義，以此為基礎(chǔ)上進(jìn)行分析解答．

例1 在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水銀的熔點(diǎn)是－39℃，沸點(diǎn)為357℃，酒精的熔點(diǎn)是－117℃，沸點(diǎn)為78℃，而南極最低氣溫－88，3℃，現(xiàn)在那里考察隊(duì)用的液體溫度計(jì)是___溫度計(jì)(酒精/水銀);若測量沸水的溫度，則應(yīng)選用___溫度計(jì)(同上)．

解析 欲確定某種物質(zhì)在某一溫度下的狀態(tài)，首先將該物質(zhì)的某溫度與它的熔點(diǎn)、沸點(diǎn)進(jìn)行大小比較．為了便捷，我們以溫度作出數(shù)軸(如圖1):并將溫度分成三個不同的區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，然后由物態(tài)變化的相關(guān)知識可得(1)當(dāng)溫度處在Ⅰ區(qū)域時，物質(zhì)處于固態(tài)(2)當(dāng)溫度處在Ⅱ區(qū)域時，物質(zhì)處于液態(tài)(3)當(dāng)溫度處在Ⅲ區(qū)域時，物質(zhì)處于氣態(tài)．由此可判斷:－88，3℃時，酒精呈液態(tài)，水銀呈固態(tài);100℃時，酒精呈氣態(tài)，水銀呈液態(tài)，所以答案是:酒精水銀．

2．方程法

是通過建立含有未知量的方程(或方程組)求解物理題的方法．對于有些題，會出現(xiàn)根據(jù)一步算不出具體結(jié)果，此時就要抓住那些不變的量(如電源電壓、定值電阻不變等)和物理規(guī)律建立方程(或方程組)，將復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，有效地降低了解題難度，使解題過程簡潔、明了．此法中考所要求的．

例2 某小組同學(xué)用圖2甲所示的電路進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)探究．他們通過調(diào)節(jié)電阻箱，得到幾組電阻箱的阻值和對應(yīng)的電壓值，并作出U－R圖像(如圖2乙)．則該組所選用定值電阻的阻值為___W．

解析 此題較難，難度在于根據(jù)歐姆定律一步算不出定值電阻的阻值，似乎少了一個已知條件——電源電壓．但可從圖像中直接讀取兩組數(shù)據(jù):(20W3V)和(40 W4V)，然后抓住電源電壓不變，利用歐姆定律、串聯(lián)電路中電流、電壓的特點(diǎn)，建立方程組:

解之得R=20Ω．

3．函數(shù)法

是通過建立函數(shù)關(guān)系式解答物理題的方法．具體步驟:根據(jù)已知條件和物理定律、公式，首先建立物理函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)一步分析確立物理函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)等)，最后轉(zhuǎn)化為物理圖像，找出答案．此法常用于解答圖像選擇題．

例3 一正方體物塊放在密度可改變的鹽水中，能漂浮在液面上或懸浮在鹽水中，物塊底面與液面保持平行，底面到液面的距離為h，鹽水的密度為ρ．下列關(guān)于ρ與h的關(guān)系圖像(如圖3)中，可能正確的是( )．

解析 根據(jù)漂浮條件，可得F浮=G物又根據(jù)阿基米德原理，可得ρShg=m物g，化簡得出ρ與h的函數(shù)關(guān)系式為，其中物塊的質(zhì)量m物塊的底面積S不變，由此可見，ρ與h是反比例函數(shù)．所以答案是:D

4．圖像法

是利用圖像本身的數(shù)學(xué)特征(如橫軸、縱軸，圖線的起點(diǎn)、交點(diǎn)、斜率等)所反映的物理意義來解決物理問題(求某些物理量、判斷運(yùn)動狀態(tài)和尋找物理規(guī)律等)的方法．此法形象直觀，簡單明了．有時函數(shù)法和圖像法結(jié)合起來運(yùn)用．

例4 質(zhì)量相等、初溫相同的甲、乙兩種液體，分別用兩個相同的電加熱器分別給加熱(不計(jì)熱量損失)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果描繪地溫度－時間圖像如圖4所示．由圖像可知，c甲、c乙哪個大?

方法1 從圖像中可得 升高相同的溫度Δt，吸收的熱量Q甲＜Q乙，所以 c甲＜c乙;

方法2 由圖像可知，吸收的熱量Q相同，升高的溫度Δt甲＞Δt乙，所以c甲＜ c乙．

當(dāng)然還可從圖像的特點(diǎn)來判斷:圖像中越平緩的線，吸熱升溫越慢，比熱容越大;圖像中越陡的線，吸熱升溫越慢快，比熱容越小，故答案是:B

5．不等式法

是介于定性與定量之間的一種半定量的思維方法．它是根據(jù)題意和物理定律列出不等式，用來確定未知量的取值范圍，從而找到答案．

例5 將蠟燭放在距離凸透鏡30cm的地方，在透鏡另一側(cè)的光屏上，有蠟燭清晰放大的像，由此可知，該透鏡的焦距可能是( )．

A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm

解析 根據(jù)凸透鏡成像規(guī)律，f＜u＜2f，成倒立、放大的實(shí)像，可列出不等式，f＜30cm＜2f，解之得15cm＜f＜30cm，故答案:A．

6．幾何法

是利用幾何知識(如相似三角形或全等三角形等)建立數(shù)學(xué)模型，并用它解決物理問題．

例6 如圖5所示，AO是可繞O轉(zhuǎn)動的輕質(zhì)杠桿，現(xiàn)有一始終豎直向上的力F作用下將杠桿緩慢地有位置A至位置A'，則F大小的變化怎樣?

解析 根據(jù)杠桿原理F1l1可得在位置 A時:．由相似三角形知識可知，所以

綜上所述，初中物理解題中的數(shù)學(xué)方法甚多，教師在教學(xué)中，應(yīng)潛移默化滲透數(shù)學(xué)方法，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的物理問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法．同時還提醒學(xué)生注意，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解答物理問題時，切不可純數(shù)學(xué)化處理，“以數(shù)代理”，而必須“數(shù)理結(jié)合”即以物理意義為靈魂，在保證概念、規(guī)律的物理意義不受損害的前提下，建立數(shù)學(xué)模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最終準(zhǔn)確、簡捷地解決物理問題．

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