錐體側(cè)面展開的參數(shù)方程法及其GeoGebra制圖

摘 要 運用GeoGebra3D探究圓錐側(cè)面的參數(shù)方程，結(jié)合圓面旋轉(zhuǎn)的參數(shù)方程得出圓錐側(cè)面展開圖的一種方法，最終在GeoGebra3D繪圖區(qū)完成制圖過程。在此基礎(chǔ)之上，推廣到正棱錐的側(cè)面展開圖的繪制。

關(guān)鍵詞 GeoGebra3D；圓錐側(cè)面；錐體側(cè)面展開圖；參數(shù)方程

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2017）04-0037-02

Abstract Using GeoGebra3D explore the parametric equation of the flank of the cone， the expansion graph of flank of the cone is gained with the torus of the parametric equation of a method， eventually in the plot area of the GeoGebra3D completed mapping process. On this basis， promotion to the expansion or the side of the pyramid dia-

gram drawing.

Key words GeoGebra3D； cone side； cone side expansion plan； para-

metric equation

1 前言

文獻[1]“1.3.1立體幾何的表面積和體積”中，圖1-3-1、圖1-3-2、圖1-3-5分別展示了直棱柱、正棱錐、圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖。筆者利用參數(shù)方程在GeoGebra中制作出動態(tài)展開圖，以便直觀地呈現(xiàn)這些結(jié)論。本文論述錐體側(cè)面展開圖的一種方法的推導(dǎo)過程及GeoGebra指令如下，請各位同行指正。

2 圓錐側(cè)面參數(shù)方程的推導(dǎo)

雖然在GeoGebra中有繪制圓錐的3個指令，但要單獨繪制其側(cè)面需另辟蹊徑。在如圖1所示圓錐中，設(shè)底面⊙O

的半徑為r，高為h，與底面平行且距離為t的平面截圓錐側(cè)面得到⊙O′，則其半徑。故⊙O′上，即圓錐側(cè)面上任意一點P的坐標為：

由此可得圓錐側(cè)面的GeoGebra指令：曲面[r*（1-t/h）*

cos（θ）， r*（1-t/h）*sin（θ）， t， t， 0， h， θ， 0， 2pi]。參數(shù)r和h自動生成滑竿，然后根據(jù)需要手動設(shè)置其屬性。

3 圓錐側(cè)面展開圖參數(shù)方程的推導(dǎo)

筆者所作圓錐側(cè)面展開圖基本思路是：圓錐底面⊙O沿

過其與y軸負半軸交點且平行于x軸的直線旋轉(zhuǎn)得到⊙O′，構(gòu)造動圓錐SO′，⊙O的周長與⊙O′的一段圓弧長相等，完全展開至O′與頂點S重合。

這里需用到一個結(jié)論：圓心（x0， y0， z0），半徑為r的圓，繞著與x軸平行的直線旋轉(zhuǎn)α所得的圓的參數(shù)方程為：

其中參數(shù)0≤θ≤2π。證明從略。

本文中，圓錐的母線SA長，母線與底面的夾角。

若⊙O旋轉(zhuǎn)到⊙O′的角度為α，令β=γ-α，則母線在⊙O′的射影AO′，即⊙O′的半徑r′=lcosβ。

此時，O′的坐標（x0， y0， z0）中，x0=0，y0=lcosβcosα-

r，z0=lcosβsinα。

在⊙O′中，等于底面圓周長的弧所對的圓心角為。

所以⊙O′中動圓圓弧的參數(shù)方程為：

其中參數(shù)。

由此可得動圓O′的GeoGebra指令：曲線[sqrt（r^2+

h^2）*cos（atan（h/r）-α）*cos（θ）， sqrt（r^2+h^2）*cos（atan

（h/r）-α）*cos（α）*（1+sin（θ））-r， sqrt（r^2+h^2）*cos（atan

（h/r）-α）*sin（α）*（1+sin（θ））， θ， -pi/2， -pi/2+2pi*r/（sqrt（r^2+h^2）*cos（atan（h/r）-α））]。

運行效果如圖2所示。

設(shè)與⊙O′平行的平面截圓錐SO′得⊙Q交母線SA于點C，令SC=l′。

點C的坐標為xC=0，yC=（l-l′）cosγ-r，zC=（l-l′）sinγ。

⊙Q半徑CQ=l′cosβ。圓錐SQ的高SQ=l′sinβ。

圓心Q的坐標為xQ=0，yQ=（l-l′）cosγ+l′cosβcosα-r，zQ=（l-l′）sinγ+l′cosβsinα。所以，⊙Q中平行于⊙O′的圓弧的參數(shù)方程為：

由此可得⊙O側(cè)面展開的GeoGebra指令：曲面[t*cos

（atan（h/r）-α）*cos（θ）， （sqrt（r^2+h^2）-t）*cos（atan（h/r））+t*cos（atan（h/r）-α）*cos（α）*（1+sin（θ））-r， （sqrt（r^2+

h^2）-t）*sin（atan（h/r））+t*cos（atan（h/r）-α）*sin（α）*（1+

sin（θ））， t， 0， sqrt（r^2+h^2）， θ， -pi/2， -pi/2+2pi*r/（sqrt（r^2+h^2）*cos（atan（h/r）-α））]。

運行效果如圖3所示。其中側(cè)面展開圖張合的程度由滑竿參數(shù)α調(diào)節(jié)控制。

4 正棱錐側(cè)面展開圖的制作

如果將底面圓弧的圓心角進行等分，則可以利用序列指令做出正棱錐的側(cè)面展開圖。

棱錐底面點列指令為：序列[（sqrt（r?+h?）*cos（atan

（h/r）-α）*cos（（-π）/2+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan

（h/r）-α）））， sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）*cos（α）*（1+

sin（（-π）/2+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α））））

-r， sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）*sin（α）*（1+sin（（-π）/2

+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）））））， i， 0， n]。

正棱錐側(cè)面三角形序列指令為：序列[多邊形[S，元素[正棱錐底面點列，i]， 元素[正棱錐底面點列， i+1]]， i， 1， n]。

正棱錐指令為：棱錐[多邊形[序列[（r*cos（（-π）/2+

i*2π/n）， r*sin（（-π）/2+i*2π/n））， i， 0， n-]]， S]。

運行效果如圖4所示。同樣，側(cè)面展開圖張合的程度由滑竿參數(shù)α調(diào)節(jié)控制。

5 結(jié)語

在GeoGebra3D中運用參數(shù)方程制作立體圖形，既精簡了步驟，忽略了次要元素，也能夠通過參數(shù)值的范圍選擇達到動態(tài)展示曲面圖形的效果。再結(jié)合文獻[2]中利用page和step參數(shù)等頁面設(shè)置的方法，使GeoGebra教案的設(shè)計和教學實施的初衷得以實現(xiàn)。

參考文獻

[1]徐稼紅.數(shù)學2（必修）》[M].南京：江蘇教育出版社，

2011.

[2]張東海.GeoGebra頁面設(shè)置效果初探[J].中學數(shù)學月刊，2015（9）：50-51.