江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)方巷鎮(zhèn)中心中學(xué)(225118)

楊 群●

運(yùn)用轉(zhuǎn)化拓展開創(chuàng)新思維

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)方巷鎮(zhèn)中心中學(xué)(225118)

楊 群●

二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說過，解數(shù)學(xué)題，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.就是把那些陌生的、較為困難或復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題，通過某種方式轉(zhuǎn)化為某些熟悉的、已經(jīng)解決的或容易解決的數(shù)學(xué)問題.

轉(zhuǎn)化是解題的靈魂，解題的全過程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程.由于思維角度，方法技巧的不同，轉(zhuǎn)化種類，形式多種多樣，當(dāng)直接以題設(shè)條件到結(jié)論的推理，演繹復(fù)雜，繁瑣或無法進(jìn)行時(shí)，可對(duì)命題的條件或結(jié)論的表達(dá)式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，或轉(zhuǎn)化為結(jié)論的反面.或?qū)⒃}轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的逆否命題，另辟蹊徑，換個(gè)角度重新認(rèn)識(shí)，接近本質(zhì)，使命題趨于簡(jiǎn)潔、明朗，起到以簡(jiǎn)馭繁作用.

一、轉(zhuǎn)化策略

解題即意味著把原問題逐步轉(zhuǎn)化為可解的目標(biāo)問題的過程.學(xué)習(xí)中從數(shù)與式、數(shù)與形、特殊與一般等的轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)自己把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，陌生問題熟悉化，抽象問題具體化，非常規(guī)問題常規(guī)化的能力.

分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明.首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式.a,b,c中至少有一個(gè)等于1，也就是說a-1,b-1,c-1中至少有一個(gè)等于零，這樣，問題就容易解決了.

于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc)-1+(a+b+c)=0.

∴a-1,b-1,c-1中至少有一個(gè)等于0，即a,b,c中至少有一個(gè)等于1.

評(píng)注 不少同學(xué)會(huì)只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)等于1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}.因此，多練習(xí)這種“翻譯”是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段.

二、條件的轉(zhuǎn)化

例2a、b為實(shí)數(shù)，滿足a2+b2+ab=1,ab-a2-b2=t,試求t的取值范圍.

三、動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的轉(zhuǎn)化

動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、動(dòng)直線與定直線等等，都有動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的特征，從靜態(tài)中探求結(jié)論，為動(dòng)態(tài)情形提供證明或計(jì)算的目標(biāo)，促使矛盾轉(zhuǎn)化，可以簡(jiǎn)化解題過程.

例3 一游泳者沿河逆游而上，于A處將攜帶的物品(可漂浮)遺失，在繼續(xù)前游30分鐘后發(fā)現(xiàn)物品遺失，即記得返回順游，距A處3千米的B處追到物品，問此河水流速多少？

不妨先假設(shè)人在靜水里游泳，30分鐘后發(fā)現(xiàn)物品遺失，即刻返回追取，物品應(yīng)在A處，而人回游也需30分鐘，現(xiàn)回共用了1小時(shí).

再考慮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于物品是漂浮的，它順?biāo)?，移?dòng)了3 km，這段距離是在人來回共用去1小時(shí)內(nèi)完成的，故河水的流速為3km/小時(shí).答：略.

四、一般與特殊的轉(zhuǎn)化

1.特殊化.由于特殊問題常常比較簡(jiǎn)單，并且特殊問題的解法孕育著一般問題的解決.因此，特殊化是一種常用的解題思想方法.

2.一般化.也許有人會(huì)感到：特殊問題比一般問題容易解決.但事實(shí)卻并非盡然，有時(shí)一般問題的解決反會(huì)比特殊問題的解決來得簡(jiǎn)單、明快、奇妙，這是因?yàn)閹в衅毡橐?guī)律的一般問題揭示了問題的本質(zhì)屬性，而在帶有個(gè)別特性的特殊問題中，這種本質(zhì)屬性常常被個(gè)別特征所掩蓋，使人不易發(fā)覺，而未能開發(fā)利用.

五、善于發(fā)掘，化隱為顯

例4 計(jì)算3(22+1)(24+1)…(264+1)+1.

分析 此題看起來難于動(dòng)筆，但只要仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu)，很快發(fā)掘出隱含條件：3=22-1再逐次運(yùn)用平方差公式即可.

點(diǎn)評(píng) 本例通過仔細(xì)觀察，挖掘出隱含條件，巧妙運(yùn)用了平方差公式，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

六、觀察探索，化末知為已知

例5 設(shè)a、b為不相等的實(shí)數(shù)，且a2+2a-5=0,b2+2b-5=0,求a2b+ab2的值.

分析 若用常規(guī)方法，需先解一元二次方程分別求a、b的值，再代入求代數(shù)式的值.但由已知a2+2a-5=0和b2+2b-5=0的結(jié)論特征，可發(fā)現(xiàn)a、b是方程x2+2x-5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而轉(zhuǎn)化成一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，很容易求得a2b+ab2的值.

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是將a,b轉(zhuǎn)化成x2+2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，將末知的問題向已知轉(zhuǎn)化，達(dá)到能用熟悉的知識(shí)和方法解決末知問題的目的.

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