巧解有理數(shù)運(yùn)算

江西省贛州市安遠(yuǎn)縣鶴子初級中學(xué)(342100)

魏煌勝●

巧解有理數(shù)運(yùn)算

江西省贛州市安遠(yuǎn)縣鶴子初級中學(xué)(342100)

魏煌勝●

本文根據(jù)筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對初中數(shù)學(xué)有理數(shù)相關(guān)的幾種常見解題技巧進(jìn)行了歸納.

有理數(shù)運(yùn)算；解題技巧；觀察

一、 “化零為整”法

例1 計(jì)算：99+999+9999+102+1002+10002.

分析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，上式中的每個數(shù)都與其相鄰的整數(shù)很接近，如99與100相差1,…, 9999與10000相差1；而102比100多2，…，10002比10000多2.因此可以湊成整百、整千、整萬……的方式來快速求解.

解 原式=(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100+2)+(1000+2)+(10000+2)=(100+1000+10000+100+1000+10000)+(2+2+2-1-1-1)=22200+3=22203.

“化零為整”法是將一個算式中能夠近似為整數(shù)的部分湊整后，進(jìn)行計(jì)算.目的是簡化計(jì)算步驟，利用口算來解決復(fù)雜有理數(shù)的運(yùn)算.其難點(diǎn)是在“化零為整”的過程中，用來湊整的簡單整數(shù)的個數(shù)和加減關(guān)系注意不要混淆.

二、“化整為零”法

分析：上式是一個整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘的過程，一般我們先考慮約分，但觀察發(fā)現(xiàn)，原式無法約分.我們通過將整數(shù)部分根據(jù)分?jǐn)?shù)的分母“化整為零”，將99轉(zhuǎn)化為(98+1)，97轉(zhuǎn)化為(98-1)，轉(zhuǎn)變?yōu)榭杉s分的數(shù)來進(jìn)行計(jì)算.

“化整為零”法一般應(yīng)對整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘的習(xí)題，將整數(shù)部分“化整為零”，拆解為與分?jǐn)?shù)部分可以約分的倆部分來計(jì)算.難點(diǎn)是計(jì)算過程中要注意分析整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，“化整為零”要恰如其分.

三、結(jié)合法

例3 計(jì)算：1-2+4-6+8-10+12-…-98+100.

分析 對于上式這類習(xí)題，直接計(jì)算肯定非常復(fù)雜，考察的目的就在于對簡便算法的掌握.通過觀察發(fā)現(xiàn)，從1到100，依次加減的過程，可轉(zhuǎn)化為1+(-2)+4+(-6)+8…，那么從第二個數(shù)開始，相鄰倆個數(shù)的和為-2，可將和為-2的組進(jìn)行歸納，快速計(jì)算出結(jié)果.

解 原式=1+(-2+4)+(-6+8)+…+(-98+100)=1+(-2)× 25=-49.

結(jié)合法所涉及的題目一般如例3所示，題目較長，這就暗示著題目有一定的規(guī)律性.其實(shí)結(jié)合法就是將題目中有規(guī)律部分總結(jié)歸納的過程.其難點(diǎn)在于規(guī)律的發(fā)掘和重疊個數(shù)的計(jì)算.

四、公式法

例4 計(jì)算：

分析 當(dāng)我們遇到較為復(fù)雜的有理數(shù)的混合運(yùn)算時，應(yīng)首先想到對公式的運(yùn)用.有理數(shù)的混合運(yùn)算，我們首先應(yīng)找到公因子，如本題提出公因子0.3和1.2；其次轉(zhuǎn)變運(yùn)算符號，將÷轉(zhuǎn)變?yōu)椤?；最后運(yùn)用分配律進(jìn)行計(jì)算.

公式法解決有理數(shù)的混合運(yùn)算，除了考察對題目的轉(zhuǎn)化能力外，還需掌握分配律、結(jié)合律、除法的性質(zhì)這類基本的運(yùn)算法則.此類題難點(diǎn)在于針對所運(yùn)用公式，進(jìn)行試題的轉(zhuǎn)化過程.

五、替換法

分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式的后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的三分之一，單純的通分計(jì)算繁瑣且易錯，則考慮用替換的方式來解題.

這類題目的規(guī)律很明顯，題目的各個部分存在是重復(fù)或比例關(guān)系，用替換法解決這類題目，大大減少運(yùn)算的步驟和出錯的可能.此類題的難點(diǎn)在于識別題目的內(nèi)在規(guī)律并成功替換轉(zhuǎn)化.

六、添項(xiàng)法

例6 計(jì)算(1+2)(1+22)(1+24)(1+28).

分析：因?yàn)轭}目涉及平方，通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)題目與平方差公式相似，但缺少項(xiàng)目.所以我們可以進(jìn)行添項(xiàng)，因?yàn)?=2-1，恰能和(2+1)進(jìn)行組合.

解 因?yàn)?=2-1，所以，原式=(2-1)(2+1)(1+22)(1+24)(1+28)=(22-1)(22+1)(1+24)(1+28)=(24-1)(24+1)(1+28)=(28-1)(28+1)=216-1.

添項(xiàng)法的目的在于可以使復(fù)雜題目轉(zhuǎn)化成有規(guī)律可循的題型，這樣有利于快速準(zhǔn)確的計(jì)算.掌握這個方法的難點(diǎn)在于發(fā)掘題目可能遵循的內(nèi)在規(guī)律，設(shè)計(jì)簡便合理的添項(xiàng).

總之，有理數(shù)的運(yùn)算雖然變化方式多，但百變不離其中.針對每種方法的難點(diǎn)，最有效的解決方式就是通過習(xí)題來強(qiáng)化方法的運(yùn)用.今后若教師能在教學(xué)中歸納和引入恰當(dāng)?shù)慕忸}技巧，學(xué)生在學(xué)習(xí)可以自主的分析題目規(guī)律、懂得活學(xué)活用.那么師生定能夠在有理數(shù)運(yùn)算中各有所獲.我們也希望今后的教研和學(xué)習(xí)中，老師和學(xué)生相輔相成，設(shè)計(jì)更加靈活多變的方法，共克難題.

[1]易思源.有理數(shù)計(jì)算的常用方法[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011(06)

[2]丁式清.有理數(shù)的運(yùn)算技巧歸納[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014(12)

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