江蘇省揚州市竹西中學(xué)(225000)
宋 揚●
勾股數(shù)及其活動課教學(xué)研究
江蘇省揚州市竹西中學(xué)(225000)
宋 揚●
勾股定理是數(shù)學(xué)的一個很重要的定理,在人類的文明史中有著杰出的貢獻,由勾股定理引出的“勾股數(shù)”也因此嶄露頭角,繼而聲名遠揚.本文在文【1】的基礎(chǔ)上作了修改、補充和拓展,并運用到數(shù)學(xué)綜合與實踐的教學(xué)活動中,引發(fā)了同學(xué)們極大的興趣,取得了令人滿意的教學(xué)效果.現(xiàn)將活動課的內(nèi)容和教學(xué)要點展示如下,主要是闡明了勾股數(shù)的三種計算公式的由來、產(chǎn)生過程及其內(nèi)在聯(lián)系,用幾種不同的方法探尋勾股數(shù)的規(guī)律,并形成各種各樣的勾股數(shù)表達式.同時,明確回答了文【1】和文【2】中相關(guān)內(nèi)容提出的疑難問題,而且有所增強,從理論上和活動課教學(xué)實踐上都作了較為充分的研究.
數(shù)學(xué)活動課;勾股數(shù);勾股數(shù)計算公式;勾股數(shù)表達式;勾股數(shù)的性質(zhì);活動創(chuàng)新
1.自備計算器一臺.
2.熟悉勾股數(shù)的基本概念.
3.了解并初步掌握古代數(shù)學(xué)家給出的勾股數(shù)計算公式.
1.從任一大于1的奇數(shù)出發(fā),尋求一組勾股數(shù)中的另兩個數(shù)
設(shè)a為大于1的奇數(shù),(a,b,c)為一組勾股數(shù),填表:
表1
(1)在表1中,b和c之間的數(shù)量關(guān)系是____;b、c與a2之間的關(guān)系式是____.根據(jù)以上規(guī)律,寫出勾股數(shù)(19,____,____);(75,____,____).
(2)一般地,從a=2n+1(n∈Z+)出發(fā),請你推導(dǎo)出計算勾股數(shù)的一組公式.
2.從任一大于2的偶數(shù)出發(fā),尋求一組勾股數(shù)中的另兩個數(shù)
設(shè)a為大于2的偶數(shù),(a,b,c)為一組勾股數(shù),填表:
(1)在表2中,b和c之間的數(shù)量關(guān)系是____;b、c與a2之間的關(guān)系式是____.根據(jù)以上規(guī)律,寫出勾股數(shù)(18,____,____);(40,____,____).
(2)一般地,從a=2n(n∈Z+,n>1) 出發(fā),請你推導(dǎo)出計算勾股數(shù)的一組公式.
3.嘗試從乘法公式入手探索構(gòu)造勾股數(shù)的方法
構(gòu)造勾股數(shù),就是要尋找三個正整數(shù),使它們滿足( )2+( )2=( )2的形式.
(1)聯(lián)想到乘法公式,顯然有(x-y)2+4xy=(x+y)2,從這個恒等式出發(fā),請你推導(dǎo)出計算勾股數(shù)的一組公式.
提示:為了使等式左邊的4xy也能寫成( )2的形式,可令x=m2,y=n2(m,n∈Z+,且m>n).
(2)根據(jù)上述探索得到的勾股數(shù)表達式,構(gòu)建下列表格,并填寫勾股數(shù),你一定能有所發(fā)現(xiàn).
表3
mnm2-n22mnm2+n2213141516171
(3)觀察勾股數(shù):3,4,5;…;16,63,65;20,99,101;…(*)這里的每組勾股數(shù)中都有兩個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù),你能借助3.(1)中推導(dǎo)出的勾股數(shù)計算公式,探索并構(gòu)造這樣的勾股數(shù)嗎?請試一試.
提示:可先構(gòu)建下列表格并填寫,然后推導(dǎo)出與(*)相應(yīng)的勾股數(shù)表達式(計算公式).
表5
表6
1.探討勾股數(shù)的三種計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系
(1)畢達哥拉斯給出的計算公式:
(2)古希臘哲學(xué)家柏拉圖給出的計算公式:
n2-1,2n,n2+1.(n∈Z+,n>1)②
(3)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖給出的計算公式:
m2-n2,2mn,m2+n2.(m,n∈Z+,m>n)③
2.一位數(shù)學(xué)家在他找到的勾股數(shù)表達式中,用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù),請你找出另兩個數(shù)的表達式.
3.如果用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股數(shù)(表達式)中最小的一個數(shù),你能找出另外兩個數(shù)的表達式嗎?
4.觀察勾股數(shù)6,8,10;10,24,26;…;22,120,122;26,168,170;… 這里的每組勾股數(shù)中都有兩個數(shù)是連續(xù)的偶數(shù),你能借助1.③探索并求出相應(yīng)的勾股數(shù)表達式嗎?
5.設(shè) 2n(n∈Z+,n≥2)是勾股數(shù)組中的一個數(shù),但不是最大的一個,試尋求勾股數(shù)組中的另兩個數(shù).
(1)當(dāng)n=2,3,4,5,6時,請分別求出含有2n的所有勾股數(shù)組;
(2)當(dāng)n=k時,含有2k的全部勾股數(shù)組有什么規(guī)律?
6.如圖1,已知四邊形ABCD是長方形,AC為對角線.
圖1 圖2
如圖2,ABCD-A1B1C1D1是長方體.圖1中的線段AB、BC、AC分別對應(yīng)圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.設(shè)這三個面的面積分別為α、β、γ,試問α、β、γ是否滿足勾股定理?為什么?α、β、γ是不是一組勾股數(shù)?又為什么?
7.是否存在這樣的3個非零的整數(shù)a、b、c,使得a3+b3=c3成立?你能進行一番探索嗎?試一試.
活動1.(1)c=b+1;b+c=a2;180,181;2812,2813.
(2)解法一:a=2n+1,根據(jù)(1)中的兩個關(guān)系式,有2b+1=a2=(2n+1)2,得b=2n2+2n,c=2n2+2n+1.
解法二:由c=b+1和勾股數(shù)定義,有(2n+1)2+b2=(b+1)2,
得b=2n2+2n,c=2n2+2n+1.
(3)從填表結(jié)果可以看到,表5和表6實際上是完全相同的,這說明勾股數(shù)表達式
也可由直接進行理論推導(dǎo)而得到:設(shè)勾股數(shù)中兩個連續(xù)的奇數(shù)為2m-1和2m+1,則顯然有(2m+1)2-(2m-1)2=8m,令m=2n2,有(4n2+1)2-(4n2-1)2=(4n)2,故所求勾股數(shù)表達式(計算公式)為(4n2-1,4n,4n2+1)(n∈Z+).
活動創(chuàng)新1.①是③當(dāng)m=n+1時的特殊情形.用集合的觀點看,把每一組勾股數(shù)看作一個元素,則由①表示的集合是由③表示的集合的子集.類似地,②也是③的特殊情形,集合②也是集合③的子集.
即(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2.故所求為2n+1和2n2+2n.
(1)當(dāng)n=2時,求得1組勾股數(shù):(4,3,5).
當(dāng)n=3時,求得2組勾股數(shù):(8,17,15),(8,10,6).
當(dāng)n=4時,求得3組勾股數(shù):(16,65,63),(16,34,30),(16,20,12).
當(dāng)n=5時,求得4組勾股數(shù):(32,257,255),(32,130,126),(32,68,60),(32,40,24).
當(dāng)n=6時,求得5組勾股數(shù):(64,1025,1023),(64,1014,1010),(64,260,252),(64,136,120),(64,80,48).
(2)當(dāng)n=k時,可求得k-1組含有2k的勾股數(shù).能否寫出一般的勾股數(shù)表達式?留作練習(xí).
當(dāng)2n為勾股數(shù)組中最大的一個數(shù)時,能否求出另外兩個數(shù)?也留作練習(xí).
6.α、β、γ滿足勾股定理.證:設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,BB1=h,則可推得α2+β2=γ2.但α,β,γ不一定是勾股數(shù),因為α,β,γ未必都是整數(shù).
7.先了解一下著名的費馬最后定理:“對于任何自然數(shù)n(n>2),方程xn+yn=zn關(guān)于x,y,z無正整數(shù)解”.根據(jù)費馬最后定理,方程x3+y3=z3沒有正整數(shù)解.以下分三種情形討論:
(ⅰ)當(dāng)a、b都為正整數(shù)時,由關(guān)系式a3+b3=c3知,c也為正整數(shù),這與費馬最后定理相矛盾.
(ⅱ)當(dāng)a、b都為負(fù)整數(shù)時,由關(guān)系式知,c必為負(fù)整數(shù).設(shè)a=-u,b=-v,c=-w,則有 (-u)3+(-v)3=(-w)3,從而有u3+v3=w3(其中u、v、w都是正整數(shù)),這也與費馬最后定理相矛盾.
(ⅲ)當(dāng)a、b中有一個為負(fù)整數(shù)時,不妨設(shè)a為正整數(shù),b為負(fù)整數(shù),設(shè)b=-v,則有a3+(-v)3=c3,若a>v,則c>0,從而有c3+v3=a3(其中c、v、a都是正整數(shù)),這仍然與費馬最后定理相矛盾;若a 綜上所述,不存在這樣的非零整數(shù)a、b、c,使得a3+b3=c3成立. 1.勾股數(shù)的定義 定義1.直角三角形三條邊的長a、b、c如果都是整數(shù),則稱a,b,c為一組勾股數(shù). 定義2.滿足關(guān)系式a2+b2=c2的3個正整數(shù)a,b,c稱為一組勾股數(shù),記為(a,b,c).例如(3,4,5)就是一組最簡單的勾股數(shù). 定義3.方程x2+y2=z2的任一正整數(shù)解(a,b,c),稱為一組勾股數(shù). 顯然,上述三個定義是等價的. 2.勾股數(shù)的性質(zhì) (1)勾股數(shù)中的三個數(shù)不可能全是奇數(shù). (2)勾股數(shù)中的三個數(shù)只有下列兩種類型:要么三個全是偶數(shù),要么只有一個偶數(shù). 思路點睛:根據(jù)定義2,等式兩邊必須同為奇數(shù)或同為偶數(shù),即可證得. (3)滿足關(guān)系式a2-b2=c2的3個正整數(shù)a,b,c,是一組勾股數(shù). (4)若(a,b,c)是勾股數(shù),則(ka,kb,kc)(k∈Z+)也是勾股數(shù). (5)勾股數(shù)有無數(shù)組. (6)對大于2的任何一個整數(shù),都可以找到至少一組勾股數(shù). (7)如果一組勾股數(shù)中兩個較大的數(shù)相差1,那么這兩個數(shù)的和就是第三個數(shù)的平方. (8)如果兩個較大的數(shù)相差2,那么這兩個數(shù)中間所夾的整數(shù)是第三個數(shù)的一半的平方. (9)任一勾股數(shù)表達式都不能覆蓋所有的勾股數(shù).例如,勾股數(shù)表達式 (m2-n2,2mn,m2+n2)(m,n∈Z+且m>n)盡管可表示無數(shù)組勾股數(shù),但不能表示所有的勾股數(shù),比如,勾股數(shù)(9,12,15)就不能由該表達式算出. 1.認(rèn)真籌劃好活動課事前準(zhǔn)備工作.可提前3~5天印發(fā)活動課預(yù)習(xí)單,明確預(yù)習(xí)要求,讓全班每個同學(xué)都有所準(zhǔn)備. 2.預(yù)習(xí)單上的主要內(nèi)容有(1)勾股數(shù)的概念:定義和幾個有趣的性質(zhì);(2)古代數(shù)學(xué)家給出的計算勾股數(shù)的三個公式,要求學(xué)生根據(jù)勾股數(shù)定義分別加以驗證;(3)活動1和活動2的內(nèi)容,包括觀察表中數(shù)字的規(guī)律、填表、填空等.這樣,可為活動課大容量教學(xué)贏得許多時間. 3.充分發(fā)揮數(shù)學(xué)興趣小組的助手、先行和引領(lǐng)作用.興趣小組成員可適當(dāng)分工,每2~3人領(lǐng)一個專題(比如,對勾股數(shù)某個性質(zhì)的論證)或一項活動內(nèi)容,各自做好重點準(zhǔn)備,以確?;顒诱n順暢進行. 4.利用板報、墻報或數(shù)學(xué)之窗(數(shù)學(xué)角),分階段公布活動課相關(guān)內(nèi)容,緊密配合活動課的開展. 5.教學(xué)方式主要是引導(dǎo)、探究式.采用頂層設(shè)計、分項實施,逐步引導(dǎo)、共同探究,舉一反三、層層遞進,最終到達目標(biāo).老師指點少而精,及時、準(zhǔn)確到位,并運用好多媒體教學(xué)手段,及時展現(xiàn)當(dāng)前所要解決的問題、解決的過程和結(jié)果.讓同學(xué)們自主探究、分組討論的時間既緊湊又充分. 6.對具體的勾股數(shù),讓同學(xué)們適時使用計算器進行演算,幫助探尋規(guī)律,以節(jié)省時間. 7.與本次活動課鏈接的課本基礎(chǔ)知識有:勾股定理、代數(shù)式、乘法公式、恒等變形、方程(組)、不定方程及正整數(shù)解、集合、簡單的推理論證等. 8.活動創(chuàng)新素材的收集、整理待課后完成.可發(fā)動全班同學(xué)每人收集1~2項,經(jīng)匯總、整理、去重、甄別、修訂后,印發(fā)補充講義,實現(xiàn)成果共享,擴大教學(xué)效應(yīng). 實踐又一次表明,數(shù)學(xué)活動課的教學(xué)豐富多彩、成效顯著,探究性學(xué)習(xí)越來越展現(xiàn)出強大的生命力.?dāng)?shù)學(xué)新課標(biāo)已經(jīng)為我們照亮了勝利前進的航程,乘風(fēng)破浪、勇敢向前,就一定能夠到達理想的境界. [1]《數(shù)學(xué)綜合與實踐活動》編寫組. 勾股數(shù)的探索,數(shù)學(xué)綜合與實踐活動(八年級上冊).南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,2010. [2]楊裕前,董林偉.勾股定理,數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(八年級上冊).南京:江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社,2016. G632 B 1008-0333(2017)08-0002-03六、勾股數(shù)的基本概念
七、本次活動課教學(xué)要領(lǐng)