曹 蕊

(山西師范大學(xué)臨汾學(xué)院，山西 臨汾 041000)

淺談改善無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)效果的途徑

曹 蕊

(山西師范大學(xué)臨汾學(xué)院，山西 臨汾 041000)

無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)重要組成部分，理論抽象，內(nèi)容繁多，學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)困難，如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主觀能動(dòng)性、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、使教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果，成為當(dāng)前級(jí)數(shù)教學(xué)過(guò)程中亟待解決的問(wèn)題。從教育理念、教育方法、教育手段等幾方面入手，在教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)學(xué)史教學(xué)、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想教學(xué)、滲透數(shù)學(xué)建模思想、利用數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件、搭建在線教育平臺(tái)等能夠改善教學(xué)效果，幫助學(xué)生掌握級(jí)數(shù)相關(guān)知識(shí)。

無(wú)窮級(jí)數(shù)；教學(xué)改善；數(shù)學(xué)分析

無(wú)窮級(jí)數(shù)作為數(shù)學(xué)分析課程的一個(gè)重要組成部分，是研究數(shù)學(xué)分析知識(shí)和后續(xù)其他課程的重要基礎(chǔ)，有著不可估量的作用。它可以被用來(lái)表示一些復(fù)雜的代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，也可以被用來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。但是由于該部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，且內(nèi)容繁雜，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)普遍感到抽象、乏味、空泛，缺少應(yīng)用性、生動(dòng)性、趣味性。基于此，本文從教育理念、教學(xué)方法和教學(xué)手段出發(fā)，提出改善無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)效果的幾條建議：一是融入數(shù)學(xué)史教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；二是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想教學(xué)，提高學(xué)生內(nèi)化知識(shí)能力；三是滲透數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用能力；四是利用數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力；五是搭建在線教育平臺(tái)，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。

一、融入數(shù)學(xué)史教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)

數(shù)學(xué)史是專門研究數(shù)學(xué)科學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展以及規(guī)律的科學(xué)，能夠揭示數(shù)學(xué)學(xué)科的現(xiàn)實(shí)來(lái)源及應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育有重要影響。[1]徐伯華在《HPM與大學(xué)數(shù)學(xué)教育》一文中說(shuō)：“近年來(lái)，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系越來(lái)越成為國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界研究的熱點(diǎn)。吳文俊先生說(shuō)數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史是分不開的，徐利治先生認(rèn)為數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合是數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)重要方向，張奠宙教授提出數(shù)學(xué)史應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育的有機(jī)組成部分，宋乃慶教授認(rèn)為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相互需要、相互依存、不可分割?！盵2]級(jí)數(shù)教學(xué)中更是離不開數(shù)學(xué)史內(nèi)容的介紹。因?yàn)榧?jí)數(shù)教學(xué)中的一個(gè)突出問(wèn)題就是學(xué)生對(duì)于概念、內(nèi)容普遍是機(jī)械接受、記憶、運(yùn)用，感到枯燥、乏味、抽象，缺乏對(duì)這些前人智慧的形成歷史和形成過(guò)程的興趣和了解。因此，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史在級(jí)數(shù)教學(xué)中的作用是級(jí)數(shù)教學(xué)改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容。比如，在級(jí)數(shù)概念教學(xué)中，教師可以適當(dāng)?shù)厝谌胫ブZ的四大悖論——兩分法、阿基里斯追龜說(shuō)、飛箭靜止說(shuō)、游行隊(duì)伍悖論等數(shù)學(xué)史知識(shí)，介紹級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)思想的形成和發(fā)展，激發(fā)學(xué)生好奇心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)級(jí)數(shù)的全面認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。同時(shí)，針對(duì)課上教學(xué)時(shí)間有限和內(nèi)容較多等約束，課外可以通過(guò)系部、班級(jí)微信公眾號(hào)推送或活動(dòng)時(shí)間面對(duì)面交流討論等多種方式分享數(shù)學(xué)史知識(shí)，幫助學(xué)生理解和掌握所學(xué)內(nèi)容。并且鼓勵(lì)學(xué)生課下自己搜集、查閱相關(guān)數(shù)學(xué)史資料，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、理性思維等能力。這些做法都充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)史在級(jí)數(shù)教學(xué)中的價(jià)值、體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史與級(jí)數(shù)教學(xué)的聯(lián)系。

二、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想教學(xué)，提高學(xué)生內(nèi)化知識(shí)能力

級(jí)數(shù)理論的基礎(chǔ)是極限。級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)限求和、近似求值的過(guò)程，過(guò)程中運(yùn)用了極限及其運(yùn)算性質(zhì)，這樣就形成了級(jí)數(shù)的一些獨(dú)特性質(zhì)，而這個(gè)過(guò)程也逐步完善及豐富了極限思想方法。級(jí)數(shù)理論的一個(gè)重要內(nèi)容是級(jí)數(shù)斂散性的判別。判別法有定義法、比較判別法、比值判別法等。其中比較判別法、比值判別法中比較級(jí)數(shù)的選取練習(xí)，能幫助學(xué)生深刻理解猜想、比較等數(shù)學(xué)思想方法。此外，級(jí)數(shù)理論的另一些基本內(nèi)容是級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開、函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開。其中一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想方法，針對(duì)某些函數(shù)不知道如何下手、如何計(jì)算的狀況，可以通過(guò)將陌生問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題或是所需要的形式進(jìn)行解決。在教學(xué)中適當(dāng)穿插強(qiáng)化這些數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、邏輯思維能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、內(nèi)化問(wèn)題的能力等。

三、滲透數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用能力

級(jí)數(shù)理論的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性、符號(hào)的抽象性等都使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到枯燥乏味，感到難度很大，甚至對(duì)學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)的意義提出質(zhì)疑，不知道也不具有用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，覺(jué)得僅為考試而學(xué)。這些都直接導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，甚至厭學(xué)。所以在級(jí)數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力?！皵?shù)學(xué)建模，簡(jiǎn)單來(lái)講就是用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題。建模過(guò)程中，首先要把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為一些大家所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解以獲得相應(yīng)實(shí)際問(wèn)題的解決方案或?qū)ο鄳?yīng)的實(shí)際問(wèn)題有更深入的了解?！盵3]在級(jí)數(shù)教學(xué)中，理想培養(yǎng)皿中細(xì)菌的繁殖等自然科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用問(wèn)題、復(fù)利終值和復(fù)利現(xiàn)值等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用問(wèn)題、機(jī)電、橋梁、地質(zhì)、水利水電、石油等工程技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用問(wèn)題等都可以通過(guò)建立簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型運(yùn)用級(jí)數(shù)理論求解，讓學(xué)生體會(huì)到級(jí)數(shù)強(qiáng)大的應(yīng)用魅力。

四、利用數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力

級(jí)數(shù)理論一直是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，其計(jì)算的繁雜性、內(nèi)容的抽象性都使學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)望而卻步。因此，在級(jí)數(shù)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件成為必然。當(dāng)前，有一大批數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件——Mathematic、Maple、Matlab，等等。它們?cè)跀?shù)值計(jì)算、圖形繪制、曲線擬合等方面功能強(qiáng)大，并且使用極其方便，是學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)好工具。在級(jí)數(shù)教學(xué)中應(yīng)用這些數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題形象化、變化過(guò)程可視化，[4]增加了教學(xué)過(guò)程的生動(dòng)趣味性、直觀可視性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力。比如：利用應(yīng)用軟件進(jìn)行級(jí)數(shù)圖像繪制可以讓學(xué)生直觀感受到級(jí)數(shù)曲線擬合、級(jí)數(shù)曲線可視的形象性，提高學(xué)生的思維感受力；利用應(yīng)用軟件進(jìn)行級(jí)數(shù)斂散性判別可以將繁瑣計(jì)算智能化、簡(jiǎn)單化，降低判別難度，減少計(jì)算量，提高學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確度，激發(fā)其學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高其邏輯思維能力和應(yīng)用實(shí)踐能力。

五、搭建在線教育平臺(tái)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力

級(jí)數(shù)理論知識(shí)點(diǎn)多并聯(lián)系緊密，內(nèi)容重難點(diǎn)也多，再加上學(xué)生參差不平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平，級(jí)數(shù)教學(xué)僅僅依靠傳統(tǒng)課堂遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。在網(wǎng)絡(luò)飛速發(fā)展的今天，在線教育平臺(tái)的建設(shè)作為課堂教學(xué)的補(bǔ)充和延伸，為最大限度促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化教育提供了很好的解決方案。慕課(Massive open online course， MOOCs)，即大規(guī)模在線開放課程，是一種新型的網(wǎng)絡(luò)化在線學(xué)習(xí)模式， 2008年在美國(guó)誕生，2012年出現(xiàn)了暴發(fā)式的增長(zhǎng)。微課(Micro-lecture)是“微型視頻網(wǎng)絡(luò)課程”的簡(jiǎn)稱，也是美國(guó)學(xué)者最早在2008年提出的，現(xiàn)在微課概念被定義為按照新課程及教學(xué)實(shí)踐內(nèi)容，將教學(xué)中某單個(gè)知識(shí)點(diǎn)(一般是重點(diǎn)、難點(diǎn))刻錄成5-10min的視頻，教師通過(guò)這個(gè)視頻的載體展示精彩教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程。[5]與慕課的大規(guī)模、開放性等特點(diǎn)不同，微課更突出時(shí)間短、內(nèi)容精、模塊化、情景化、半結(jié)構(gòu)化等特點(diǎn)。[6]二者互補(bǔ)性高。因此，根據(jù)級(jí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容的不同特點(diǎn)、不同難度，有選擇地將兩者共同用于在線教育平臺(tái)建設(shè)，真正做到時(shí)時(shí)、處處都可以學(xué)習(xí)，真正做到級(jí)數(shù)理論不難學(xué)、不抽象、不沉悶，真正讓學(xué)生有資源地、有選擇地去學(xué)習(xí)，更好地提供學(xué)生層次化、個(gè)性化、自主化的靈活學(xué)習(xí)需求。

前文根據(jù)無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)的特殊性提出了幾種提高教學(xué)效果的方式方法，如何根據(jù)實(shí)際情況在教學(xué)過(guò)程中合理運(yùn)用這些方式方法仍然需要長(zhǎng)期不斷地摸索、研究和創(chuàng)新。然而，不變的核心是適度。這些方式方法始終是級(jí)數(shù)教學(xué)的輔助手段，運(yùn)用時(shí)一定要適度，不能顧此失彼。教師運(yùn)用這些方式方法時(shí)，一定是要從學(xué)生出發(fā)，以學(xué)生為本，隨時(shí)更新升級(jí)教育理念、教育手段，真正做到教與學(xué)的合理科學(xué)分配，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高教育教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)更多高素質(zhì)人才。

[1]陳和平.數(shù)學(xué)史融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].課外閱讀：中下，2012(24).

[2]徐伯華，等.HPM與大學(xué)數(shù)學(xué)教育[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(5).

[3]王兵團(tuán).數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社；北京交通大學(xué)出版社，2004:1-2.

[4]柯善軍.MATLAB軟件在“級(jí)數(shù)”教學(xué)的應(yīng)用探索[J].成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)， 2007(1).

[5]林標(biāo)聲，等. 慕課、微課在地方應(yīng)用型高?！鞍l(fā)酵工程”課程教學(xué)中的改革與探索[J].微生物學(xué)通報(bào)，2015(12).

[6]李娜，等.微課與慕課在高等教育中的結(jié)合應(yīng)用探究[J].工會(huì)論壇，2015(3).

(責(zé)任編輯：孫建華)

Introduction to Improve the Effect of Infinite Series Teaching Way

CAO Rui

(Linfen College, Shanxi Normal University, Linfen, Shanxi 041000, China)

Infinite series is an important part of relative independence in mathematics analysis, which is abstract and various. Students generally reflect the learning which is difficult. So how to improve the students' learning enthusiasm and initiative, improve the students' mathematical literacy, make the teaching effect to achieve a multiplier, has become urgent to solve in the teaching process of the series. Considering the aspects of educational philosophy, teaching methods and teaching means, this paper proposes that putting forward the teaching process into the history of mathematics teaching, strengthening the teaching of mathematical thinking, mathematical modeling thought, permeability using mathematical software, and building online education platform and several ways to improve the teaching effect and help students master the knowledge series.

infinite series; teaching improvement; mathematical analysis

2016-11-18

曹蕊(1985- )，女，山西運(yùn)城人，數(shù)計(jì)系助教，碩士。

G642.0

A

1671-4385(2017)01-0048-03