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      “討論法”在高中數(shù)學課堂中的實踐與探究

      2017-04-17 08:40:34陳宣新
      中學課程輔導·教學研究 2017年4期
      關(guān)鍵詞:實踐與探究討論法

      陳宣新

      摘要:“討論法”是指在教師指導下,由全班或小組成員圍繞某一中心問題,發(fā)表自己的看法,展開討論對話或辯論,從而進行相互學習的一種方法。它能提高學生的學習興趣,變被動為主動,活躍課堂氣氛,對解決較復雜問題能力的培養(yǎng)也很有幫助,還能培養(yǎng)學生的語言表達能力,而且有利于學生獨立思考和發(fā)揚創(chuàng)造精神,更重要的是學生學會了與他人合作學習,提供了師生之間、學生之間的對話交流平臺,也為學生的素質(zhì)發(fā)展提供了有效途徑。在本文中,筆者就結(jié)合數(shù)學教學中的粗淺體會,談?wù)劇坝懻摲ā痹诟咧袛?shù)學教學中的實踐與探究。

      關(guān)鍵詞:討論法;高中數(shù)學;實踐與探究

      中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1992-7711(2017)02-0105

      “討論法”是指在教師的指導下,由全班或小組成員圍繞某一中心問題,發(fā)表自己的看法,展開討論對話或辯論,從而進行相互學習的一種方法。它能提高學生的學習興趣,變被動為主動,活躍課堂氣氛,對解決較復雜問題能力的培養(yǎng)也很有幫助,還能培養(yǎng)學生的語言表達能力,而且有利于學生獨立思考和發(fā)揚創(chuàng)造精神,更重要的是學生學會了與他人合作學習,提供了師生之間、學生之間的對話交流平臺,也為學生的素質(zhì)發(fā)展提供了一條有效途徑。下面,筆者就結(jié)合數(shù)學教學中的粗淺體會,談?wù)劇坝懻摲ā痹诟咧袛?shù)學教學中的實踐與探究。

      一、通過討論突破難點

      眾所周知,要提高數(shù)學教學質(zhì)量,關(guān)鍵在于教學重點、難點的突破。數(shù)學課堂中的重、難點問題,往往存在一定的挑戰(zhàn)性,對于這些問題的解決單靠教師的個人推演或?qū)W生獨立地探索,效果常常不理想。教師教得累,學生也無深刻印象,對知識點的掌握與理解也不到位。而“討論法”突破重難點為我們架設(shè)了一座突破重點、解決難點的師生橋梁。

      案例1. 《拋物線及其標準方程》一課中,因通過不同的建系方式會得到拋物線四種不同的標準方程,這對學生來說是一個難點,不易記憶和理解。因此,設(shè)置了以下討論過程:

      問題1:類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程,認真琢磨坐標系的位置特點。思考:求拋物線的方程時,應(yīng)建立怎樣的直角坐標系最好(力求方程形式最簡單)?

      問題2:根據(jù)你的建系方案,類比橢圓、雙曲線求標準方程的過程,你能求出相應(yīng)的拋物線方程嗎?求解的過程如何?

      學生分四人一組互相討論,教師展示幾組學生的建系方案,一一作出評價。通過學生的討論,最簡方程必須具備以下條件:1. 使圖像過坐標原點(可使常數(shù)項為零);2. 使圖像的對稱軸為x軸(或y軸)(可使方程中不含x(或y)的一次項)。這樣會使方程形式更為簡單,便于運用。

      然后,學生分為四組,選擇正確的建系方案,探究拋物線方程的建立,從而解決問題2。

      通過這樣的討論,學生親身經(jīng)歷了拋物線標準方程的發(fā)現(xiàn)、探索及解決的全部過程,不僅對四種不同的建系方案印象深刻,更有效地促進了學生對數(shù)學的真正理解,有利于學生對重點知識的理解與掌握。

      二、通過討論化解沖突

      在教學過程中,由于知識、經(jīng)驗、閱歷、素養(yǎng)、習慣等的不同,不同的人對同一題會產(chǎn)生不同的思路,因此在進行個性化解答時,學生與學生之間、教師與學生之間,意見常常不統(tǒng)一,從而形成思維沖突,如果讓他們安靜下來聽教師講解,效果不會太好。討論會給學生提供交流的機會,搭建展示自己、了解別人的平臺。讓師生合作討論,互相說說理由。這樣,問題就會慢慢清晰,同時也培養(yǎng)了學生虛心聽取別人意見的好習慣。

      案例2. 筆者在課堂上給出了如下習題:a為何值時,在區(qū)間(1,3)內(nèi),關(guān)于x的方程x2-5x+a+3有實根?

      稍后,筆者給出了解法:利用二次函數(shù)f(x)=x2-5x+a+3的圖像,其開口方向向上,對稱軸為x= ,則要使關(guān)于x的方程x2-5x+a+3=0在區(qū)間(1,3)內(nèi)有實根,須Δ≥0f(1)f(3)<0,解之得1

      不久,有學生對筆者的解法提出了質(zhì)疑,他給出的解法是:x2-5x+a+3=0有實根,必須Δ≥0,即25-4(a+3)≥0,得a≤ ,此時x= ,要使x∈(1,3),只需1< <3或1< <,解得1

      兩種解法的結(jié)果不一致,顯然有一種解法是錯的,好像兩種解法都找不到錯誤的地方,此時學生也議論紛紛,情緒熱烈。筆者當即決定展開討論,讓學生來判斷正誤。

      經(jīng)過討論,學生又給出了如下兩種解法:

      1. 利用二次函數(shù)性質(zhì),記f(x)=x2-5x+a+3=(x- )2+a- ,其中當f(1)=0時,a=1,當f(3)=0時,a=3,結(jié)合圖像(如右)可知1

      2. 方程x2-5x+a+3=0變形為-x2+5x-3=a,問題轉(zhuǎn)化為:求函數(shù)a=f(x)=-x2+5x-3在區(qū)間(1,3)上的值域,易求得1

      此時課堂氣氛達到高潮,大家都沉浸在給出新解法的喜悅中,而且還從不同的角度映證了筆者的解法是錯誤的,心中自然升起了自豪感。于是,筆者讓學生一起來找出筆者解法的錯誤之處,學生熱烈討論,很快,學生給出了他們的想法,在區(qū)間(1,3)內(nèi)存在實根包含兩類情況,一是在區(qū)間(1,3)內(nèi)有唯一實根,二是在區(qū)間(1,3)內(nèi)有兩個實根,筆者的解法就是忽略了其中一種情況。

      在課堂中,如果出現(xiàn)類似的情況,我們就可以利用討論的方式,通過“把球踢給學生”,引導學生展開討論,這不僅順利解決了思維沖突,而且抓住了培養(yǎng)學生思維能力的絕佳機會,使知識得到升華,學生的理解也由模糊轉(zhuǎn)為透徹。

      三、通過討論形成思維

      教師在組織教學時不僅要考慮如何啟發(fā)和引導學生學會解題,還要注意培養(yǎng)學生解題后“再思考”的良好習慣。但是僅靠學生的獨立思考,往往使這種反思不夠全面,也沒有較好的針對性。我們采取“討論法”進行解題后的反思小結(jié),以求學生在解題的規(guī)律、問題的變式、解題中的易錯點等方面得到更多的啟發(fā)。使用“討論法”對解題過程進行“反芻”,不僅使學生關(guān)注解題的易錯點,將解決此類問題的基本策略得到提煉,而且能豐富學生的數(shù)學體驗,不斷加深對數(shù)學知識本質(zhì)的認識和理解,培養(yǎng)學生舉一反三的創(chuàng)新精神。

      案例3. 筆者講解的一題:若不等式mx2+(m-2)x-2>0對m∈[1,3]恒成立,求實數(shù)x的取值范圍。

      通過思考,學生很快分析出這是關(guān)于x的二次不等式在m∈[1,3]時的恒成立問題,通過討論,大部分學生形成了共識,得到思路一:將其變形為m(x2-x)>2x+2,分x2-x>0,x2-x=0和x2-x<0三種情形進行變量分離,借助解決恒成立問題的基本方法就能得出結(jié)果。

      筆者適時地給出了評價:該法雖能計算出結(jié)果,但要分為三種情況討論,繁!有沒有更好的方法呢?比如我們把其中的x與m互換一下,你會有什么發(fā)現(xiàn)?

      通過討論,很快形成了第二種思路:通過變換主元,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次不等式,借助單調(diào)性就可輕松求出結(jié)果。

      學生解出題后,本題還未結(jié)束,筆者順勢拋出第二個討論問題:若不是對“m∈[1,3]恒成立”,而是“存在m∈[1,3]”,那該怎么辦?

      對于學生的這一創(chuàng)造性的舉一反三行為,筆者感到欣喜,馬上組織學生進行了下一步的討論。通過教師的流動指導,各小組很快給出了兩種方案。

      方案一:轉(zhuǎn)化與化歸方案,就是把“存在m∈[1,3],使不等式mx2+(m-2)x-2>0成立,求實數(shù)x的取值范圍”等價轉(zhuǎn)化為“對任意m∈[1,3],不等式mx2+(m-2)x-2≤0恒成立,求實數(shù)x的取值范圍”,這樣就回歸到思路一。

      方案二:模仿思路二,變更主元,但只需線段一端對應(yīng)函數(shù)值為正即可。

      通過上述兩題的解決,學生總結(jié)了解此類題要注意看清是恒成立問題還是存在性問題,然后通過等價轉(zhuǎn)化加以解決。至此學生在成功的激勵下,思維進一步活躍,不知是誰把問題與函數(shù)聯(lián)系了起來,某生發(fā)言:此題還可變?yōu)椤叭舴匠蘭x2+(m-2)x-2=0在x∈[1,3]上有解,求實數(shù)m的取值范圍”。由此問題,把討論帶向了高潮,經(jīng)討論后,學生們踴躍發(fā)表自已的看法。提出了諸如:用變量分離就可解;利用二次方程根的分布也可解;利用因式分解方程變?yōu)椋╩x-2)(x+1)=0,只需1≤ ≤3也可解。

      通過這樣的一次討論,使學生對恒成立問題和存在性問題有了更深刻的理解,理清了解決這類問題的通法,并在此基礎(chǔ)上進行了一些變式研究,使知識在聯(lián)系與應(yīng)用中得到鞏固。而且使學生體會到,當遇到新問題時不能慌,而是要把問題化歸到自已熟悉的問題上,再用通法加以解決。許多看似陌生的提型通過轉(zhuǎn)化也就能迎刃而解了。

      “討論法”實際上是一種對話和交談。正確的“討論法”是問題解決前的百家爭鳴、思維碰撞,它使不同思路與想法得到充分展示;是解決同一問題時的合作探究、取長補短,它使思維更加的理性、活躍和完善;是解決問題后的互相啟發(fā)、互相評價,它使學生獲得難以名狀的愉悅。通過這樣的體驗,在自己的思路不斷的被接納、被肯定的過程中,感受數(shù)學的快樂,激發(fā)他們學習的興趣;在對自已的學習期望不斷的提升中,形成學習數(shù)學的更強內(nèi)驅(qū)力。

      (作者單位:浙江省龍游縣第二高級中學 324400)

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