一階時(shí)滯差分方程周期解的存在性

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510000) 范瑤穎 ●

一階時(shí)滯差分方程周期解的存在性

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510000) 范瑤穎 ●

本文運(yùn)用臨界點(diǎn)理論中的山路引理，主要研究一階非線性時(shí)滯差分方程的非平凡周期解的存在性及多重性．

山路引理;時(shí)滯差分方程;周期解

一、引言及主要結(jié)果

考慮一階非線性時(shí)滯差分方程

其中f∈C(R，R)是奇函數(shù)，即對(duì)于任意的x∈R，f(－x)=－f(x)，(－1)s=－1，且0＜s＜1，δ＞0，T為給定的正整數(shù)．

自從2003年郭志明與庾建設(shè)首次應(yīng)用臨界點(diǎn)理論研究差分方程周期解以來，應(yīng)用臨界點(diǎn)理論研究差分方程周期解問題的相關(guān)文獻(xiàn)已有很多，如文獻(xiàn)［1］等．但是，應(yīng)用臨界點(diǎn)理論來研究時(shí)滯差分方程周期解存在性的文獻(xiàn)卻不太多．據(jù)我們所知，目前關(guān)于這方面的文獻(xiàn)只有［2］，［3］，［4］．

受文獻(xiàn)［1］的啟發(fā)，可將方程(1．1)改寫為Δx(n+T) =－f(x(n))－δxs(n)．

本文的基本假設(shè)是:

(f1) 函數(shù)f∈C(R，R)是奇函數(shù)，即對(duì)任意的x∈R，f(－x)=－f(x)．

(f2) 對(duì)于任意的x≠O，xf(x)＞0．

(f5) 對(duì)于任意給定的常數(shù)ρ＞0，δ＞0，有(－1)s=－1且0＜s＜1．

思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中智力特征的表現(xiàn)，也就是人與人之間的思維活動(dòng)上表現(xiàn)的差異。培養(yǎng)學(xué)生用英語思維是英語教學(xué)重要目標(biāo)，在教學(xué)的同時(shí)優(yōu)化思維品質(zhì)也是教學(xué)任務(wù)之一，但思維品質(zhì)的培養(yǎng)不能一蹴而就的，需要教師創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)活動(dòng)。開放性問題、智力游戲問題、探索性問題是別出心裁、創(chuàng)意新、情景實(shí)、思維價(jià)值高的一類新題型，它們具有開發(fā)智力、激活思維、增加創(chuàng)新能力的潛在功能。這類問題的出現(xiàn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)嶄新的英語情景。給學(xué)生以再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的思維空間。為此，課堂教學(xué)中，教師的提問，學(xué)生的練習(xí)，都要設(shè)計(jì)編擬一些思維活、立意新、探索性強(qiáng)的問題，促使學(xué)生思維開放。

我們的主要結(jié)論是:

定理1．1 假設(shè)函數(shù)f滿足(f1)－(f5)，如果存在l∈Z(0，T－1)，使得μl+1＜a∞＜μl≤μ0＜a0或μl+1＜a0＜μl≤μ0＜a∞，則方程(1．1)至少存在一個(gè)非常數(shù)的4T+2周期解x，滿足x(n+2T+1)=－x(n)．

二、變分框架與引理

記E是由序列x組成的向量空間，

x(n+T)+x(n－T)－f(x(n))－δxs(n)=0 (2．1)的以4T+2為周期的周期解．反之，若是差分方程(2．1)的以4T+2為周期的周期解，則是 I的臨界點(diǎn)．

考慮到f是奇函數(shù)，由類似文獻(xiàn)［3］的討論可知，I的任一臨界點(diǎn)x滿足方程(1．1)，因此x是方程(1．1)的以4T+2為周期的周期解．反之，方程(1．1)的任意滿足x(n +2T+1)=－x(n)的周期解也是泛函I的臨界點(diǎn)．

文獻(xiàn)［5］給出了求算子A的特征值與特征向量的方法與結(jié)果．具體可參閱其文獻(xiàn)．

三、方程(1．1)周期解的存在性

引理3．1 假設(shè)f∈C(R，R)滿足(f3)，并且對(duì)于任意的k=0，1，…，T，λk≠a∞，則泛函I滿足(PS)條件．(此引理與文獻(xiàn)［3］中的引理3．1證明相類似，不再重復(fù)證明)

定理1．1的證明 首先，由條件(f2)可知，a0≥0，a∞≥0．

由0＜s＜1，以及Hlder不等式可知:

顯然可以取x∈Y，使‖x‖充分大，從而有－I(x)＜0，即山路引理?xiàng)l件(I2)被滿足．由山路引理可知，存在x∈X，使I'(x)=0，并且－I(x)=c≥a，這就意味著x是方程(1．1)的非常數(shù)4T+2周期解，定理1．1的證明完畢．

［1］Guo Z M，Yu J S．Multiplicity results for periodic solutions to delay differential equations via critical point theory［J］．J Differ Equ，2005，218:15－35

［2］郭麗芬，郭志明．一階超線性時(shí)滯差分方程周期解的存在性［J］．廣州大學(xué)學(xué)報(bào)，2014(02):19－23

［3］邢秋萍，王其如，郭志明．非線性時(shí)滯差分方程周期解的存在性［J］．應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2012，14(01):61－70

［4］郭志明，郭麗芬．高維次線性時(shí)滯差分方程周期解的存在性［J］．廣州大學(xué)學(xué)報(bào)，2014(03):7－12

［5］邢秋萍．非線性時(shí)滯差分方程周期解的臨界點(diǎn)方法［D］．中山大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008

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