韋娜娜
【摘要】向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)課程中的重要知識點(diǎn),本文以下列三類題型對此知識點(diǎn)進(jìn)行更深的探討,并總結(jié)相應(yīng)的做題技巧.
【關(guān)鍵詞】向量組;線性相關(guān);線性無關(guān)
【基金項(xiàng)目】2016年西安財(cái)經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院優(yōu)秀課程建設(shè)項(xiàng)目,項(xiàng)目編號:16YXKC18.
向量組的線性相關(guān)性無論從概念還是從邏輯上說,是復(fù)雜抽象的,本文簡單扼要給出判斷向量組線性相關(guān)性的幾種常用的方法并總結(jié).
定理1:齊次線性方程組Am×nX=O有非零解當(dāng)且僅當(dāng)R(A) 定理2:向量組α1,α2,…,αs是線性相關(guān)的R(α1,α2,…,αs) 同理,向量組α1,α2,…,αs是線性無關(guān)的R(α1,α2,…,αs)=s|α1,α2,…,αs|≠0. 題型一設(shè)α1=1,2,1T,α2=1,1,1T,α3=(-3,-2,1)T,判斷此向量組的線性相關(guān)性. 解法一 ∵(α1,α2,α3)=11-321-2111r2-2r1r3-r111-30-14004, ∴R(α1,α2,α3)=3, 故此向量組線性無關(guān). 解法二 ∵|(α1,α2,α3)|=11-321-2111=(1-6-2)+(-3-2+2)=-10≠0, ∴此向量組線性無關(guān). 題型二設(shè)向量組α1=1+λ11,α2=11+λ1,α3=111+λ的秩為2,則λ=(). 解由題知 |(α1,α2,α3)|=1+λ1111+λ1111+λ =(3+λ)11111+λ1111+λr2-r1r3-r1(3+λ)1110λ100λ =(3+λ)λ2=0, 得λ1=0,λ2=-3, 代入λ1=0,得R(α1,α2,α3)=1,故舍去,從而解為-3. 題型三已知向量組α1,α2,α3,α4是線性無關(guān)的,試判斷向量組α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1的線性相關(guān)性. 解設(shè)存在一組數(shù)k1,k2,k3,k4,使得 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=0,(1) 即:(k1+k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0. 由于向量組α1,α2,α3,α4是線性無關(guān)的,則有下列的齊次線性方程組: k1+k4=0,k1+k2=0,k2+k3=0,k3+k4=0.(2) ∵系數(shù)矩陣 A=1001110001100011r4-r31001010-100110000, ∴R(A)=3. 從而(2)式有非零解,存在不全為零的數(shù)k1,k2,k3,k4,使得(1)式成立.故向量組α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是線性相關(guān)的. 總結(jié) 判斷向量組的線性相關(guān)性,可用本文中提到的思路來解決:矩陣的秩法[就是把向量按列排成矩陣,對此矩陣進(jìn)行初等行變換,變成階梯形矩陣,得出矩陣的秩(即向量組的秩)]、矩陣行列式法、定義法.而對于某一具體的矩陣來說,大家需要在平時(shí)的做題中,細(xì)心理解,慢慢總結(jié),循序漸進(jìn),才能總結(jié)出做題相應(yīng)的簡便方法與技巧. 【參考文獻(xiàn)】 [1]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1983.