王麗英+孫慧靜+袁健

【摘要】極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，是步入高等數(shù)學(xué)殿堂的門檻，用它定義了微積分的基本概念，利用極限的思想方法給出了連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性等概念.文中分析了極限思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用及地位，結(jié)合教學(xué)實踐，給出極限概念教學(xué)的幾點意見.

【關(guān)鍵詞】極限概念；極限思想；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)

極限概念是微積分學(xué)的奠基概念之一，微積分中幾乎所有的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、級數(shù)等定義都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上.極限概念是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中遇到的第一個較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是教學(xué)中的重點和難點.

一、極限概念學(xué)習(xí)困難的原因

（一）極限概念自身的特點

極限概念的形成，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性，學(xué)習(xí)這一概念時，需要用到原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念，進行正確的心理表征，以建立概念的邏輯運演.此外，極限概念的定義、邏輯結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，符號較多，數(shù)量關(guān)系錯綜復(fù)雜，也導(dǎo)致學(xué)員很難掌握.

（二）學(xué)員的自身特點

對于剛步入軍校的部分學(xué)員，思想還被高考的壓力禁錮著，沒有完全適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法和教員的教學(xué)方法，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)仍以解題為主，很少關(guān)注數(shù)學(xué)的思想方法，即主要精力在微積分的計算上，缺乏對概念本質(zhì)的理解，存在一種對概念本質(zhì)理解感到恐懼的心理特點.

二、極限概念教學(xué)

對極限概念及極限思想的掌握程度，直接影響著高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果，因此，在實際的教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)員更好地掌握極限的概念，讓學(xué)員能夠更深層地理解極限的概念，我們可以從以下幾個方面入手.

（一）貫穿數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在授課過程中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，如果只干巴巴地講一些理論，會導(dǎo)致學(xué)員聽起來索然無味，更有的學(xué)員會問：“教員，我們學(xué)這些有什么用？”

我們知道興趣是最好的老師，只有讓學(xué)員了解極限思想的發(fā)展脈絡(luò)，才能提升學(xué)員的好奇心，培養(yǎng)學(xué)員學(xué)習(xí)極限的興趣.極限思想作為一種哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想，在其漫長曲折的演變歷程中充滿了眾多哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們的奮斗足跡，閃爍著人類智慧的光芒.因此，教員在講授極限概念之前，可適當介紹微積分的發(fā)展史、極限的萌芽、發(fā)展到完善的過程，讓學(xué)員認識到極限在高等數(shù)學(xué)中的重要性.通過運用極限思想的具體例子，如劉徽《九章算術(shù)》記載的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”、戰(zhàn)國時期《莊子.天下篇》惠施說的“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”等，引入極限的概念，激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)員了解極限就是為了求解實際問題而產(chǎn)生的.同時，可以提示學(xué)員隨后課程學(xué)習(xí)中曲邊梯形的面積、曲線弧長、曲面體的體積等等均是利用極限的思想加以解決的，讓學(xué)員充分了解極限在微積分中的地位與作用、感受極限的思想，引導(dǎo)學(xué)員在學(xué)習(xí)過程中，探索新的學(xué)習(xí)方法，為今后系統(tǒng)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定良好基礎(chǔ).

（二）多種思維講解極限概念

1.由直觀性描述過渡到精確定義

極限概念由描述性定義到定量形式的轉(zhuǎn)化，是教學(xué)中的關(guān)鍵和難點.在教學(xué)過程中可由特殊數(shù)列極限出發(fā)，一步步給出極限的ε-N定義，幫助學(xué)員理解極限的概念與思想.

2.具體實例幫助理解ε與N的二重性

ε與N的二重性是極限概念學(xué)習(xí)中的難點.ε具有絕對的任意性和相對的固定性，用于刻畫數(shù)列中的項an與某一確定常數(shù)a的接近程度，可以是要多小有多小的正數(shù)，這是ε的本質(zhì)特征.同時，當取定一個ε以后，它就具有了暫時的固定性，其目的是要依靠它來求出N，即N隨ε的變化而變化，但N并不唯一.用定義證明極限時，我們傾向于找到最小的N，故在講授時，結(jié)合具體實例加以說明，學(xué)員將會更加容易接受.

3.利用幾何含義理解極限概念

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬分休.”“數(shù)”與“形”往往可以同構(gòu)，也就是說數(shù)形結(jié)合可幫助我們深刻、全面地對概念加以理解.以數(shù)列極限的圖形解釋為例，通過在數(shù)軸上表示an與a的關(guān)系，以加深學(xué)生對極限概念的理解和掌握.

三、后續(xù)學(xué)習(xí)中體會極限的思想

極限思想貫穿高等數(shù)學(xué)的始終，在學(xué)習(xí)極限章節(jié)后的其他知識點時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生體會極限思想，能幫助學(xué)生更深刻地體會極限思想，起到再次學(xué)習(xí)、鞏固、升華學(xué)習(xí)效果的作用.

極限思想是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點、難點，教學(xué)過程中若有意識引導(dǎo)學(xué)生體會極限的思想方法，體會其在高等數(shù)學(xué)中的作用及重要性，通過恰當?shù)慕虒W(xué)方法幫助學(xué)生理解極限概念，以讓學(xué)生更深入地掌握及理解高等數(shù)學(xué)的思想和方法.作者在文獻資料和教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，提出了以上的關(guān)于極限概念教學(xué)的幾點方法，希望對極限概念的教學(xué)工作有所裨益.

【參考文獻】

[1]向彪.高等數(shù)學(xué)中極限定義教學(xué)的幾點思考.黔南黔南民族師范學(xué)院學(xué)報，2012（4）：109-112.

[2]王華麗.高等數(shù)學(xué)中極限概念教學(xué)的思考.科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2012（1）：133.

[3]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].上海：同濟大學(xué)出版社，2007.