丁江
【摘要】證明不等式有很多種靈活的方法,但對(duì)于一些結(jié)構(gòu)特殊或較為復(fù)雜的不等式,直接利用比較、分析等傳統(tǒng)的證明方法,往往難以奏效,新課程中導(dǎo)數(shù)的引入給不等式的證明帶來了方便.
【關(guān)鍵詞】不等式證明;函數(shù)值;導(dǎo)數(shù);證明方法
導(dǎo)數(shù)最早是在研究極值的問題中提出來的,導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)微積分的知識(shí)基礎(chǔ),是進(jìn)行函數(shù)研究、解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵突破點(diǎn).無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué),導(dǎo)數(shù)研究的內(nèi)容主要集中在以下三個(gè)方面,即:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的極值以及導(dǎo)數(shù)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題解決的具體應(yīng)用.
用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵在于函數(shù)模型的構(gòu)建,而函數(shù)模型構(gòu)建的關(guān)鍵是怎樣根據(jù)題目要求構(gòu)建一個(gè)可導(dǎo)函數(shù),最后,根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)方法把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值的問題.本文針對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和具體的不等式證明方法進(jìn)行了詳細(xì)的案例研究,文章主要對(duì)三種常用方法進(jìn)行解答,旨在探尋系統(tǒng)的題目解答體系,增強(qiáng)學(xué)生的問題理解能力和開創(chuàng)性探索思維.
一、構(gòu)造法證明函數(shù)不等式
對(duì)于構(gòu)造函數(shù)不等式的方法具體可以分為以下三大步驟:
1.對(duì)于左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式或者是可變形化簡(jiǎn)為兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式,構(gòu)造函數(shù)f(x),使其成為f(a)>f(b)的形式.
2.對(duì)形如f(x)>g(x)的結(jié)構(gòu)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).
3.通過求導(dǎo)找出單調(diào)性和最值進(jìn)行具體的證明.
例1已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x,證明:當(dāng)x>-1時(shí),函數(shù)式1-1x+1≤ln(x+1)≤x恒成立.
分析本題是一個(gè)雙邊不等式,右邊的函數(shù)值題目中已經(jīng)給出,重點(diǎn)在于左邊函數(shù)的證明,對(duì)于這種直接求導(dǎo)相對(duì)簡(jiǎn)單的不等式形式,我們可以利用直接構(gòu)造的方法進(jìn)行題目的求解.左邊可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式,形如g(x)=ln(x+1)-1+1x+1,然后進(jìn)行求導(dǎo)證明,發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間或者找出函數(shù)的極值即可進(jìn)行計(jì)算.
證明∵f′(x)=1x+1-1,
∴當(dāng)-1
即函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上為增函數(shù);在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù),
∴x=0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)上取最大值.
即f(x)max=f(0)=0,
所以,當(dāng)x>-1時(shí),
f(x)=ln(x+1)-x≤0,ln(x+1)≤x.
對(duì)于函數(shù)左邊的求證:令g(x)=ln(x+1)-1+1x+1,則g′(x)=1x+11-1x+1.
同理可得,當(dāng)-1 當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0, 故函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上為減函數(shù);在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù), ∴x=0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)上取最小值. 即g(x)min=g(0)=0. 所以,當(dāng)x>-1時(shí),g(x)≥0, 即ln(x+1)-1+1x+1≥0,函數(shù)1-1x+1≤ln(x+1), 綜上所述,當(dāng)x>-1時(shí),1-1x+1≤ln(x+1)≤x恒成立. 二、作差法證明函數(shù)不等式 作差法是證明不等式的一種常用方法,其操作簡(jiǎn)單,應(yīng)用難度小且學(xué)生容易掌握.一般來說,對(duì)于形如f(x)>g(x)或f(x) 例2當(dāng)x>0時(shí),證明x-x22 分析學(xué)生拿到題目后應(yīng)該首先分析本題的組成結(jié)構(gòu),本題符合差數(shù)形式f(x) 證明令Z(x)=x-x22-ln(x+1)<0(x>0). 將函數(shù)求導(dǎo)得Z′(x)=-x2x+1. ∵x>0,∴Z′(x)<0, 所以不等式x-x22 三、換元后求導(dǎo)再證明不等式 換元思想是我們?cè)谥袑W(xué)階段接觸到的最重要的數(shù)學(xué)解題思想,換元法可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,并且在三角函數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、不等式等解答過程中都得到了具體的應(yīng)用.換元法又稱為等量替換法,其實(shí)質(zhì)就是對(duì)元的等量轉(zhuǎn)換,文章將從一個(gè)具體的例題對(duì)解不等式的換元法進(jìn)行詳細(xì)的解讀. 例3已知f(x2+1)=loga(4-(x2)2),則f(x)的值域?yàn)槎嗌伲?/p> 分析對(duì)于一般的函數(shù)求值域是比較簡(jiǎn)單的事情,但是本題的函數(shù)結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜,不能直接求出值域,因此,需要借助換元法減少變量,從而得出函數(shù)的值域. 解令t=x2+1,則x2=t-1,所以f(t)=loga[4-(t-1)2], 因?yàn)閠≥1,4-(t-1)2>0,所以,1≤t<3, 所以f(x)的定義域?yàn)閇1,3), 所以f(x)的值域?yàn)閒(x)≤loga4. 以上便是對(duì)構(gòu)造法、作差法和換元法三種基本解題方法的基本闡述,眾所周知,導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要部分,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性以及極值證明不等式是解決不等式問題的一個(gè)有效辦法,它可以使許多復(fù)雜的不等式問題簡(jiǎn)單化,從而更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握. 【參考文獻(xiàn)】 [1]周曉農(nóng).導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].金筑大學(xué)學(xué)報(bào),2000(3):107-110. [2]曾捷.數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解[M].北京:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,2006.