卞顯新

【摘要】HPM起源于1972年，旨在研究數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，在現(xiàn)在也是數(shù)學(xué)工作者們研究的一個(gè)熱門方向，本文主要闡述HPM的起源和發(fā)展以及其研究的方法，最后闡述HPM的意義.

【關(guān)鍵詞】HPM；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教育；研究

一、HPM的起源與發(fā)展

在1972年第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM），標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系這一新的學(xué)術(shù)領(lǐng)域出現(xiàn)了.下面我們對HPM在西方的歷史淵源做初步的探討.

（一）泰爾凱和《新數(shù)學(xué)年刊》

法國數(shù)學(xué)家泰爾凱于1842年創(chuàng)辦《新數(shù)學(xué)年刊》，然后在1855年，泰爾凱覺得之前內(nèi)容的單一，缺乏數(shù)學(xué)的史學(xué)知識，于是就在《新數(shù)學(xué)年刊》后增加附錄《數(shù)學(xué)歷史、傳記與文獻(xiàn)通報(bào)》，在當(dāng)時(shí)，這使得法國數(shù)學(xué)研究者們對數(shù)學(xué)史的研究興趣大大增加.因著眾多數(shù)學(xué)研究者的支持和踴躍投稿，后來這個(gè)附錄自然而然成了歷史上第一種數(shù)學(xué)史專業(yè)刊物.[1]

（二）從孔德到卡約黎

18世紀(jì)，法國實(shí)證主義哲學(xué)家、社會學(xué)創(chuàng)始人孔德提出，對孩子的教育應(yīng)按歷史上人類受教育的方式和順序進(jìn)行.

19世紀(jì)英國著名數(shù)學(xué)家德摩根不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)研究的重要性，而且也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)遵循的歷史次序.如，學(xué)生應(yīng)先使用aa，aaa，而不是2a，3a，直到他們不再混淆2a與a2，3a與a3.我們今天所說的發(fā)生教學(xué)法思想與德摩根的這種觀點(diǎn)一脈相承.

卡約黎是美國首位從事數(shù)學(xué)史研究的教授，他在1893年出版了《數(shù)學(xué)史》一書，其在前言中特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)史知識對數(shù)學(xué)教師的重要價(jià)值.學(xué)習(xí)解析幾何的學(xué)生應(yīng)了解點(diǎn)笛卡兒的故事，還有費(fèi)馬的幾何思想，并可引出古希臘三大幾何難題.學(xué)習(xí)無窮、集合論時(shí)又應(yīng)該了解芝諾悖論、康托爾德思想，還有羅素悖論等.

（三）20世紀(jì)歐美數(shù)學(xué)家的大力提倡

第三屆國際數(shù)學(xué)家大會上美國著名HPM學(xué)者史密斯等相關(guān)專家提出的一項(xiàng)決議中稱：“在今天數(shù)學(xué)史已成為一門公認(rèn)的重要的學(xué)科，無論從數(shù)學(xué)的角度還是從教學(xué)的角度來看，其作用日益明顯，因此，當(dāng)務(wù)之急是把數(shù)學(xué)史放在公眾教育的恰當(dāng)位置.”回顧歷史我們得知，20世紀(jì)的許多著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都多少涉及數(shù)學(xué)史方面的研究.波利亞的一些數(shù)學(xué)教育著述中，都選取了很多歐拉的著作內(nèi)容作為素材.波利亞和龐加萊的觀點(diǎn)也有相似的地方.

二、HPM研究的內(nèi)容與方法

HPM作為數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)重要領(lǐng)域，近年來一直備受關(guān)注，日益繁榮.第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議的召開表明，HPM在我國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究界被普遍關(guān)注和認(rèn)可.因此，研究者們不得不思考：HPM研究的對象是什么？如何從HPM視角進(jìn)行研究？下面我們將做詳細(xì)討論.[2]

（一）數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究

我們知道HPM研究與純數(shù)學(xué)史研究相比，前者不是純粹地研究歷史，而是為教育教學(xué)的目的而研究歷史.其目的之一就是為教師提供更多的營養(yǎng)素材，給課堂情境的創(chuàng)造提供依據(jù).例如，L.Filep在對分?jǐn)?shù)概念歷史進(jìn)行考察后，獲得了教學(xué)啟示：分?jǐn)?shù)概念的引入不能單純從兩數(shù)相除說起，必須與度量聯(lián)系起來才能更科學(xué)有效地進(jìn)行教學(xué).

（二）HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)

1995年美國成立了數(shù)學(xué)史及其在教學(xué)中的運(yùn)用研究所（IHMT），參與這項(xiàng)工作的是來自大中學(xué)各學(xué)校的近三十名數(shù)學(xué)教師，分下列模塊：阿基米德、組合學(xué)、指數(shù)與對數(shù)、函數(shù)、幾何證明等等，進(jìn)行基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì).究竟如何在數(shù)學(xué)史的觀念下進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？一個(gè)可行的方法就是查詢數(shù)學(xué)史中關(guān)于該模塊的知識，或者以往數(shù)學(xué)家用以計(jì)算的原始方法，將其融入自己的教學(xué)情境，這樣可以使教學(xué)過程更有趣，更符合歷史邏輯.現(xiàn)在也有人通過列學(xué)習(xí)工作單來完成.

（三）對學(xué)生的相似性測試

歷史發(fā)生原理告訴我們：學(xué)習(xí)者在一定程度上重蹈先人的覆轍，即個(gè)體知識的發(fā)生遵循人類知識發(fā)生的過程.這是將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)的一個(gè)依據(jù).

E.Harper選取了1—6年級的各12名學(xué)生（共144人）作為研究對象，進(jìn)行如下的測試：“已知兩數(shù)的和與差，證明這兩數(shù)總能求出.”在不同年齡段研究修辭法、丟番圖法（半符號代數(shù)）和韋達(dá)法（符號代數(shù)）的分布情況，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生對符號代數(shù)的認(rèn)知發(fā)展過程也基本遵循“文詞代數(shù)—半符號代數(shù)—符號代數(shù)”這一過程，在學(xué)生的認(rèn)知中概念本身的發(fā)展過程貫穿始終.

三、研究HPM的意義

數(shù)學(xué)教育的研究不能脫離數(shù)學(xué)史而獨(dú)立開來，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也應(yīng)是我們個(gè)人學(xué)習(xí)應(yīng)遵循的順序，數(shù)學(xué)教學(xué)者懂得應(yīng)該怎樣安排學(xué)習(xí)順序，應(yīng)該選擇哪些有生命力的內(nèi)容.何為有生命力？就是內(nèi)容富含數(shù)學(xué)思想和歷史啟發(fā).雖然在進(jìn)行HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師需要查閱大量的數(shù)學(xué)史資料并對其進(jìn)行整合和編制才能適用于實(shí)際課堂的教學(xué)，可能比較費(fèi)時(shí)間和力氣，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的運(yùn)用難免會有困難.但數(shù)學(xué)史的重要性我們不能忽視，應(yīng)該思考如何借助這一高效高產(chǎn)的方法提高我們教學(xué)的效果，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)知識的前因后果、來龍去脈搞清楚.在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中提煉經(jīng)典的思想方法，真正讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的魅力與美，充分地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]汪曉勤，歐陽躍.HPM的歷史淵源[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（3）：25.

[2]汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（1）：16-17.