周盛林　李鳳明

摘要：基于Euler-Bernoulli梁理論建立了雙跨梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，采用模態(tài)分析方法求解動力學(xué)方程，根據(jù)邊界條件獲得雙跨梁的頻率方程，由此求解出雙跨梁的固有頻率，以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步得到結(jié)構(gòu)各點的時間響應(yīng)歷程曲線。針對雙跨梁的兩跨長度不等長造成的結(jié)構(gòu)尺寸失諧，分析了不同跨長比對結(jié)構(gòu)振動特性的影響，將理論計算結(jié)果與有限元仿真和實驗結(jié)果進(jìn)行比較，得到了較好的吻合。研究結(jié)果對于工程領(lǐng)域中失諧雙跨梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析和設(shè)計具有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：雙跨梁；失諧；振動特性；實驗研究

中圖分類號：0326；TBl23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0149-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.020

引言

周期多跨梁結(jié)構(gòu)在航空航天、高速列車、土木建筑、機械工程等多個領(lǐng)域都具有廣泛應(yīng)用，由于多跨梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，對其動力學(xué)行為的研究是動力學(xué)與控制領(lǐng)域的難點問題，逐漸受到國內(nèi)外力學(xué)界專家學(xué)者的重視。目前為止，針對梁結(jié)構(gòu)的研究大多集中在單跨梁上，對于多跨梁的研究主要集中在周期諧調(diào)梁上。周期多跨梁在實際加工制作過程中，由于制造誤差或者實際工程需要，會出現(xiàn)各個子結(jié)構(gòu)尺寸不相等、材料參數(shù)差異等各種失諧情況。而失諧多跨梁由于結(jié)構(gòu)的特殊性，對其動力學(xué)問題的分析比較復(fù)雜，迄今為止，對于失諧多跨梁動力學(xué)特性的研究還比較少，因此有必要針對失諧多跨梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性展開深入研究。

對于諧調(diào)和失諧多跨梁振動特性的研究，采用較多的方法是模態(tài)展開法、傳遞矩陣法等。Mikata采用模態(tài)展開法研究了多跨梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)正交性，給出了諧調(diào)雙跨梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的計算方法。Li和Song采用模態(tài)展開法研究了失諧雙跨梁的振動特性及其控制問題，分析了失諧程度對結(jié)構(gòu)振動行為和控制效果的影響。Li和Wang采用傳遞矩陣方法研究了隨機失諧多跨梁的振動局域化問題，研究發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的尺度失諧會導(dǎo)致周期結(jié)構(gòu)的頻率通帶區(qū)間變小甚至消失，出現(xiàn)振動局域化現(xiàn)象。基于波傳遞矩陣方法，Bouzit和Pierre[93研究了雙耦合多跨梁中的波動局域化和能量轉(zhuǎn)化現(xiàn)象，研究發(fā)現(xiàn)跨長的小量失諧也會導(dǎo)致振動能量局限在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域，并且能量可以在不同的波模態(tài)之間轉(zhuǎn)化。Chen和Wang采用傳遞矩陣法研究了周期Timoshenko梁結(jié)構(gòu)中彎曲波的主動控制問題。

雖然目前對于失諧多跨梁的動力學(xué)問題已經(jīng)有了一些研究結(jié)果，但是有關(guān)該問題的研究多集中在理論研究上，實驗研究結(jié)果還不多見。本文針對失諧雙跨梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析研究，基于Euler-Bernoulli梁理論建立雙跨梁的動力學(xué)模型，根據(jù)邊界條件獲得雙跨梁的頻率方程，求解此超越方程獲得結(jié)構(gòu)的各階固有頻率，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時間歷程曲線。采用振動實驗測試技術(shù)和有限元仿真方法，對失諧雙跨梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性進(jìn)行研究，將所得有限元仿真和實驗結(jié)果與相應(yīng)的理論計算結(jié)果進(jìn)行比較，驗證了理論計算結(jié)果的正確性。此外，分析了梁的截面高度及失諧雙跨梁的不同跨長比對結(jié)構(gòu)振動特性的影響規(guī)律。

1.結(jié)構(gòu)運動方程的建立和求解

如圖1所示，雙跨梁左右兩端均為鉸支，中間支承也是鉸支。梁截面為矩形，梁截面的高度與寬度分別為h和6，I為梁的截面慣性矩，L₁和L₂分別為雙跨梁的各跨長度，梁的橫截面積為A，材料的彈性模量為E，密度為p。

從表1可以看出，本文的理論解與有限元仿真結(jié)果吻合較好，尤其在低頻區(qū)域吻合很好，前5階固有頻率的相對誤差在3%以內(nèi)，從而驗證了本文理論分析方法的可行性。

2.2參數(shù)變化對雙跨梁固有頻率的影響

在上述算例的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究幾何參數(shù)h和各跨不同跨長比（短跨與長跨的比值）對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。表2給出了針對跨長比為0.67時，失諧雙跨梁的固有頻率隨梁高度h的變化情況；表3給出了雙跨梁的固有頻率隨跨長比的變化情況。失諧雙跨梁的固有頻率隨梁截面高度增加而增加，并且增加速度較快，這說明梁的截面高度對其固有頻率影響較大。從表3可以看出，雙跨梁的高度取0.0009m、其他參數(shù)不變時，跨比越大，梁的第一階固有頻率越高（跨比為1時對應(yīng)諧調(diào)雙跨梁）。同時可以發(fā)現(xiàn)，跨比對雙跨梁的低階固有頻率影響較大，越到高階隨著跨比的變化頻率的偏差率越小。

3.失諧雙跨梁的自由振動分析

3.1理論研究

在上述結(jié)構(gòu)固有頻率研究的基礎(chǔ)上，本小節(jié)將采用理論方法對失諧雙跨梁的自由振動特性進(jìn)行分析研究。失諧雙跨梁的結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)取值與第2.1節(jié)中的取值完全相同。分別計算各跨梁的中點、以及關(guān)于中間支撐的對稱點的自由振動時間歷程響應(yīng)，并進(jìn)行對比分析。具體計算結(jié)果如圖2和圖3所示。

從圖2和3可見，對于各跨梁上的對應(yīng)點，長跨梁的振幅比短跨梁的振幅大，另外可見，考慮結(jié)構(gòu)阻尼的影響時，隨著時問的增加，雙跨梁的振動響應(yīng)幅值逐漸降低。同時，短跨梁的振動頻率與長跨梁的振動頻率不一致，短跨梁的振動頻率要高一些。根據(jù)圖2和3中的響應(yīng)曲線可計算出，長跨梁的振動頻率為27.9Hz，短跨梁的振動頻率為64.5Hz。對比表1中雙跨梁結(jié)構(gòu)的各階固有頻率可知，長跨梁主要以整體雙跨梁的第一階固有頻率做自由振動，同時受到二階固有頻率的影響；短跨梁以第二階固有頻率做自由振動，同時也受到一階固有頻率的影響。失諧雙跨梁的這些特殊振動特性在實際工程應(yīng)用中應(yīng)該加以注意。

3.2實驗研究

通過上一小節(jié)的理論分析可知，失諧雙跨梁的每一跨分別以不同的頻率和振幅做自由振動。為了進(jìn)一步驗證上面理論分析結(jié)果的正確性，本小節(jié)將開展失諧雙跨梁的自由振動實驗研究。

實驗?zāi)Ｐ蛧?yán)格按照第3.1節(jié)理論研究中的結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)設(shè)計，具體實物模型和實驗裝置如圖4和5所示。其中在雙跨梁模型的支承位置處焊接一個帶有光滑孔洞的圓環(huán)，而支承鋼片上的螺桿則穿過圓環(huán)，實現(xiàn)了梁可轉(zhuǎn)動的簡支邊界條件；中間支承和右邊支承將圓環(huán)孔洞水平方向留稍大一點空間，即實現(xiàn)了滑動簡支的效果。在實驗過程中，采用LMs公司的力錘進(jìn)行敲擊，使用具有高穩(wěn)定性的基恩士（LK-Navigator）激光位移傳感器測試，并記錄測試點的實時位移響應(yīng)，利用Matlab對所測點實驗數(shù)據(jù)分析繪圖，并比較分析所得實驗數(shù)據(jù)。

實驗時需控制好力錘，以較小的力敲擊梁，使梁的變形處于線彈性范圍內(nèi)，以便實驗結(jié)果與理論結(jié)果相符，同時需要注意力錘敲擊的方式，防止二次碰撞。安置好光測傳感器，對準(zhǔn)測試點，打開信號處理器和計算機，設(shè)置好測試通道和測試點數(shù)以及數(shù)據(jù)存儲方式。調(diào)整好錘擊角度，開始敲擊。

與3.1節(jié)中理論分析相對應(yīng)，分別取各跨梁中點、以及關(guān)于中間支撐的對稱點的時程歷程響應(yīng)進(jìn)行測試分析，具體實驗結(jié)果如圖6和7所示。由圖6和7可見，對于兩跨梁上的對應(yīng)點，顯然長跨的振幅比短跨的振幅大，并且短跨的振動頻率與長跨的振動頻率不一致。各跨梁以某階頻率做振動，同時受到另外一階頻率的影響。通過分析圖6和7可知，長跨梁和短跨梁的振動頻率分別為26.3Hz和62.1Hz，與第3.1節(jié)中的理論計算結(jié)果（27.9Hz和64.5Hz）吻合較好，從而驗證了理論分析結(jié)果的正確性。

此外，由圖6和7還可以看出，實驗測得的結(jié)構(gòu)時間歷程響應(yīng)曲線隨著時問的增加，響應(yīng)幅值逐漸衰減，主要原因是實驗試件雙跨梁簡支處的摩擦產(chǎn)生了阻尼，以及實驗過程中存在結(jié)構(gòu)阻尼和空氣阻尼等。同時可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值降低的程度與考慮了結(jié)構(gòu)阻尼效應(yīng)的理論計算結(jié)果（圖2和圖3）吻合較好。

5.結(jié)論

針對失諧連續(xù)雙跨梁結(jié)構(gòu)的自由振動問題進(jìn)行了理論和實驗研究，理論分析結(jié)果與有限元仿真和實驗結(jié)果吻合較好。通過研究表明，本文理論分析方法具有較高的精確度，計算量也比較小，能夠更加簡單直接地在本論文基礎(chǔ)上進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。通過分析研究，可以得到如下結(jié)論：

（1）失諧雙跨梁的固有頻率隨梁截面高度的增加而增加，并且增加速度較快；不同跨長比下，比率越大，梁的一階固有頻率越高。

（2）跨長比對雙跨梁的低階固有頻率影響較大，越到高階，跨長比的變化對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響越小。

（3）對于各跨梁的對應(yīng)點，長跨梁的自由振幅幅值比短跨梁的大；短跨梁和長跨梁分別以不同的頻率做自由振動，短跨梁的振動頻率要高一些。

（4）理論和實驗分析表明，長跨梁主要以整體失諧雙跨梁的第一階固有頻率做自由振動，同時受到二階固有頻率的影響；短跨梁以整體結(jié)構(gòu)的第二階固有頻率做自由振動，同時受到一階固有頻率的影響。

本文的研究結(jié)果和方法對于工程領(lǐng)域中失諧雙跨梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析和設(shè)計具有一定的參考價值。