馬一江， 陳國(guó)平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京, 210016)

?

含多條裂紋梁的模態(tài)與振動(dòng)疲勞壽命分析*

馬一江， 陳國(guó)平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京, 210016)

基于Paris公式，提出了一種含多條裂紋梁疲勞壽命預(yù)估的方法。在模態(tài)分析中，基于傳遞矩陣方法，利用無(wú)質(zhì)量的彎曲彈簧等效裂紋，提出一種求解含有多條裂紋梁固有振型的方法,分析裂紋數(shù)目、裂紋位置、裂紋深度對(duì)裂紋梁固有頻率的影響。在振動(dòng)疲勞分析中，研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下裂紋數(shù)目對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。通過(guò)Paris疲勞裂紋擴(kuò)展方程和同步分析法，考慮裂紋梁振動(dòng)與裂紋擴(kuò)展的相互作用，分析了裂紋數(shù)目和裂紋位置對(duì)裂紋梁疲勞壽命的影響。結(jié)果表明,裂紋數(shù)量、裂紋位置和深度對(duì)梁的模態(tài)參數(shù)和疲勞壽命有重要影響。

裂紋梁；傳遞矩陣法；固有頻率；振動(dòng)疲勞

引 言

工程結(jié)構(gòu)一般處于振動(dòng)環(huán)境中，振動(dòng)產(chǎn)生的裂紋引起的疲勞破壞是大型工程結(jié)構(gòu)失效的重要原因之一。含裂紋結(jié)構(gòu)作為工程中大型結(jié)構(gòu)的重要組成部分并大量使用，很多學(xué)者在這類(lèi)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析方面進(jìn)行了大量的研究分析。由于加工和裝配等原因，梁表面可能存在初始損傷。目前，針對(duì)含有單條裂紋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析取得了一定的成果[1-3]；但是裂紋數(shù)目的增加導(dǎo)致裂紋梁結(jié)構(gòu)的特征行列式的階數(shù)增加，因此而針對(duì)含有多條裂紋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析則面臨很大的困難，很多學(xué)者針對(duì)含有多條裂紋梁的振動(dòng)分析也進(jìn)行了大量的研究[4-5]。Shifrin等[6]提出了一種新方法來(lái)求解含有多條橫向裂紋梁的固有振型，這種方法大大縮減了裂紋梁特征行列式的階數(shù)，使得多裂紋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析大大簡(jiǎn)化。

隨著斷裂力學(xué)的發(fā)展，1960年前后，波音公司最先發(fā)現(xiàn)應(yīng)力強(qiáng)度因子在疲勞裂紋擴(kuò)展中起關(guān)鍵作用。1963年，Paris等[7]將疲勞裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)與應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)疲勞裂紋擴(kuò)展是由裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值所控制的，由此開(kāi)創(chuàng)疲勞斷裂理論。張立軍[8]利用變參數(shù)Weibull模型研究了寬帶隨機(jī)載荷作用下結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命，提高了疲勞壽命預(yù)測(cè)的精度。文獻(xiàn)[9-11]也提出很多估算疲勞壽命的方法。利用這些方法，在已知裂紋尖端位置應(yīng)力場(chǎng)的情況下，就能確定裂紋擴(kuò)展到疲勞破壞時(shí)所要經(jīng)歷的振動(dòng)循環(huán)次數(shù)。然而在這類(lèi)疲勞破壞分析中，主要采用靜力學(xué)方法來(lái)進(jìn)行應(yīng)力分析，忽略了疲勞裂紋擴(kuò)展引起的結(jié)構(gòu)固有振型的變化，使得結(jié)構(gòu)疲勞壽命的預(yù)估與工程實(shí)際相差很大,因此結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)分析應(yīng)該考慮疲勞裂紋擴(kuò)展與振動(dòng)的相互作用。劉文光等[12]基于Paris方程采用同步分析法研究了懸臂梁根部單條裂紋情況下懸臂梁的疲勞壽命,但是沒(méi)有考慮裂紋相對(duì)位置和裂紋數(shù)目對(duì)疲勞壽命的影響。在工程實(shí)際中，結(jié)構(gòu)損傷可能有很多處，也可能出現(xiàn)在懸臂梁表面的任意位置，所以振動(dòng)和疲勞壽命分析時(shí)應(yīng)該考慮裂紋數(shù)目和相對(duì)位置的影響。

筆者對(duì)含有多條橫向裂紋懸臂梁進(jìn)行了模態(tài)分析，用無(wú)質(zhì)量的彎曲彈簧來(lái)代替結(jié)構(gòu)裂紋，根據(jù)斷裂力學(xué)的理論，推導(dǎo)了含多條裂紋梁的特征方程。通過(guò)數(shù)值模擬，分析了裂紋位置、裂紋深度和裂紋數(shù)量對(duì)梁固有頻率的影響。在振動(dòng)疲勞分析中，分析了裂紋數(shù)目對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的影響。基于Paris疲勞裂紋擴(kuò)展方程，考慮裂紋梁振動(dòng)與裂紋擴(kuò)展的相互影響，采用同步分析方法，分析了裂紋數(shù)目和裂紋相對(duì)位置對(duì)裂紋梁疲勞壽命的影響，為含多條裂紋梁結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測(cè)提供了一種方法。

1 模型建立

如圖1所示，理論分析對(duì)象為一個(gè)等截面矩形梁，長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為b，高為h，梁表面存在n條橫向裂紋，每條裂紋離固定端的位置分別為L(zhǎng)1，L2，…，Ln。

根據(jù)Dimarogonas和Paipeties[13]理論，該裂紋梁內(nèi)每條裂紋的局部柔度可以表示成如下形式

(1)

其中：E為梁材料的彈性模量;I為梁橫截面的慣性矩;ri=ai/h為第i條裂紋的相對(duì)裂紋深度;ai為第i條裂紋的深度;f(ri)為第i條裂紋的局部柔度函數(shù)，可以由應(yīng)變能密度函數(shù)求得

(2)

2 模態(tài)分析

以各條橫向裂紋為端點(diǎn)，整段梁被n條裂紋分成n+1段完整梁，每段梁的長(zhǎng)度分別為l1，l2，…，ln+1，根據(jù)Bernoulli-Euler理論，每段梁的無(wú)阻尼彎曲振動(dòng)微分方程為

(3)

方程(3)的解可以表示為

(4)

其中：

根據(jù)材料力學(xué)，可以推導(dǎo)出如下關(guān)系式

在任意一段梁的兩端截面，應(yīng)用以上關(guān)系式，可以得到

改寫(xiě)成矩陣形式，可得

DR=TiDL

(5)

其中：Ti稱為該多裂紋梁第i段的傳遞矩陣；li為該多裂紋梁第i段長(zhǎng)度。

方程(4)中的待定系數(shù)可以表示為

(6)

即可得到每段梁的振型函數(shù)。

在該多裂紋梁的每條裂紋位置，根據(jù)撓度、彎矩和剪力的連續(xù)性和轉(zhuǎn)角的相容關(guān)系，裂紋的左右兩邊截面的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力可以表示為

(7)

改寫(xiě)成矩陣形式

DR=SiDL

(8)

其中：Si為該多裂紋梁第i條裂紋位置的傳遞矩陣。

因此，對(duì)于整個(gè)多裂紋梁，右端狀態(tài)矢量和左端狀態(tài)矢量間的傳遞關(guān)系可以表示為

DN=HD1

(9)

其中：H為含n條裂紋梁的傳遞矩陣。

H=Tn+1SnTnSn-1…T2S1T1

(10)

一般情況下，在導(dǎo)入邊界條件時(shí)，其中兩個(gè)邊界條件為零，因此可以推導(dǎo)出一個(gè)2×2的特征矩陣H1，使得本方法在求解多裂紋梁的固有頻率時(shí)分析過(guò)程大大簡(jiǎn)化，則該裂紋梁的頻率方程為

detH1=0

(11)

這樣由方程(11)可求得該裂紋梁的任意階固有頻率，對(duì)應(yīng)的固有振型可通過(guò)方程(4)獲得。

3 振動(dòng)疲勞分析

3.1 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

假設(shè)該裂紋梁為一個(gè)左端固定、右端自由的懸臂梁，在梁的自由端作用垂直方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)F0eiωt。隨著裂紋的擴(kuò)展，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性是時(shí)變的，因此取該裂紋梁結(jié)構(gòu)的某一瞬態(tài)進(jìn)行分析，則對(duì)應(yīng)的邊界條件為

(12)

將方程組(12)代入式(9)，可以得到第1段梁固定端位置的撓度W1(0)、轉(zhuǎn)角θ1(0)、彎矩M1(0)和剪力Q1(0)；將得到的這些初始值再代入方程(6)，可以得到第1段梁振型函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)c11，c12，c13，c14，即可求得第1段梁的振型函數(shù)。依次類(lèi)推，可以得到該裂紋梁上任意段梁的振型函數(shù)。

由于圖(1)中，該梁上的橫向裂紋屬于工程中最常見(jiàn)且破壞程度最嚴(yán)重的裂紋形式——張開(kāi)型(I型)裂紋，所以以I型裂紋為研究重點(diǎn)。根據(jù)HOOKE定律

(13)

對(duì)于第i段梁，長(zhǎng)度為li，可以得到該段梁表面的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)

(14)

其中：y為梁表面離梁中面的距離。

(15)

則該段裂紋梁右端，即裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式為

(16)

其中：ai為第i條裂紋的深度。

根據(jù)本研究的裂紋類(lèi)型和加載形式[14]，形狀函數(shù)為

(17)

3.2 基于斷裂理論的振動(dòng)疲勞分析

3.2.1 動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子

動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子是在振動(dòng)環(huán)境下表征裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)分布的物理量，裂紋尖端動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子的一般表達(dá)式為

(18)

其中：ΔKI為動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子的振幅；Δσd為動(dòng)應(yīng)力的振幅；a為裂紋長(zhǎng)度；Y(ri)為形狀函數(shù)(與裂紋大小、位置有關(guān))。

若該梁受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用，并且裂紋為I型(張開(kāi)型)裂紋，則裂紋尖端的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子振幅可表示為

(19)

將式(15)代入式(19)，即可得到任意條裂紋尖端動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子振幅的表達(dá)式：

(20)

3.2.2 疲勞裂紋擴(kuò)展速率

Paris公式，或稱疲勞裂紋擴(kuò)展方程，是疲勞壽命預(yù)測(cè)應(yīng)用最廣泛且最簡(jiǎn)單的公式。該公式建立了疲勞裂紋擴(kuò)展速率與動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子振幅ΔK之間的關(guān)系，為疲勞斷裂問(wèn)題的研究開(kāi)辟了最主要的途徑。在線彈性斷裂力學(xué)范圍內(nèi)中等應(yīng)力狀態(tài)下，Paris公式能較好地預(yù)測(cè)直裂式裂紋結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。Paris公式的表達(dá)式為

(21)

其中：C，n為材料常數(shù)；da/dN表示直裂式裂紋的疲勞擴(kuò)展速率。

因此利用Paris方程來(lái)模擬該裂紋懸臂梁疲勞裂紋的擴(kuò)展，將式(20)代入式(21)，即可得到任意條裂紋的疲勞擴(kuò)展速率模型

(22)

3.2.3 疲勞裂紋擴(kuò)展分析

研究表明：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致疲勞裂紋的擴(kuò)展；結(jié)構(gòu)疲勞裂紋的擴(kuò)展同樣會(huì)改變結(jié)構(gòu)原有的動(dòng)態(tài)特性，從而導(dǎo)致裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)分布發(fā)生變化，并最終影響裂紋的疲勞擴(kuò)展速率。兩者之間存在相互作用，并相互影響。因此，筆者采用同步分析方法，即裂紋懸臂梁的振動(dòng)模態(tài)分析與疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的估算同步進(jìn)行。假設(shè)在每一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)裂紋的相對(duì)深度是不變的，裂紋擴(kuò)展發(fā)生在每一個(gè)振動(dòng)周期結(jié)束時(shí)。

具體的步驟是，假設(shè)該裂紋梁每振動(dòng)一周計(jì)算出的動(dòng)應(yīng)力幅值為一個(gè)恒定值，利用式(22)計(jì)算周期載荷作用下，裂紋梁每振動(dòng)ΔNj周的任意條裂紋的疲勞擴(kuò)展增量

(23)

其中：Δaij為第i條裂紋第j次循環(huán)的裂紋增量；ΔNj=Nj-Nj-1。

取ΔNj=1，則有

da/dN≈Δaj/ΔNj

(24)

所以，裂紋梁上第i條裂紋第j次循環(huán)的裂紋增量的表達(dá)式為

(25)

結(jié)構(gòu)受到恒定振幅簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用時(shí)，裂紋的最終深度可通過(guò)疊加法計(jì)算，表達(dá)式為

(26)

其中：ai0為裂紋梁上第i條裂紋的初始深度；k為總振動(dòng)循環(huán)次數(shù)；aik為第i條裂紋振動(dòng)k次之后的裂紋總深度。

3.2.4 疲勞裂紋失效判據(jù)

為了判斷該裂紋懸臂梁是否失效，現(xiàn)采用以下準(zhǔn)則作為失效判據(jù)。

準(zhǔn)則1：如果該裂紋懸臂梁上任意條裂紋擴(kuò)展至梁的中面時(shí)，就認(rèn)為該結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞

ai≥ac

(27)

其中：ac為臨界裂紋長(zhǎng)度，取ac=h/2。

準(zhǔn)則2：如果該裂紋懸臂梁上任意一條裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子大于材料的斷裂韌性，就認(rèn)為該結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生失穩(wěn)斷裂

(28)

其中：Kc為材料的斷裂韌性；Kmax為最大應(yīng)力強(qiáng)度因子。

4 數(shù)值算例與結(jié)果分析

4.1 多處裂紋對(duì)梁固有頻率的影響

4.1.1 裂紋數(shù)目對(duì)梁固有頻率的影響

固定該裂紋懸臂梁上一條裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)1/L=0.1，初始裂紋深度為a10=0.002 m。

若該裂紋梁上僅有一條裂紋時(shí)，即為該固定的裂紋。若該裂紋梁上有兩條裂紋時(shí)，第1條裂紋為該固定裂紋；第2條裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)2/L=0.3，初始裂紋深度為a20=0.002 m。若該裂紋梁上有3條裂紋時(shí)，第1條裂紋為該固定裂紋；第2條裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)2/L=0.3，初始裂紋深度為a20=0.002 m；第3條裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)3/L=0.5，初始裂紋深度為a30=0.002 m。3種情況對(duì)應(yīng)的第1階固有頻率列入表1中。

若將該固定裂紋的相對(duì)位置改為L(zhǎng)1/L=0.15，其他情況不變。3種情況對(duì)應(yīng)的第1階固有頻率列入表1中。

若將該固定裂紋的相對(duì)位置改為L(zhǎng)1/L=0.2，其他情況不變。3種情況對(duì)應(yīng)的第1階固有頻率列入表1中。

表1 裂紋條數(shù)不同時(shí)裂紋梁的固有頻率

Tab. 1 Natural frequencies of the cracked beam with different number of cracks Hz

表1數(shù)據(jù)顯示，固定裂紋懸臂梁上某一裂紋的相對(duì)位置和深度，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁固有頻率逐步減小。在裂紋數(shù)目、相對(duì)位置和深度都相同時(shí)，隨著第1條裂紋遠(yuǎn)離懸臂梁固定端，該裂紋梁第1階固有頻率逐步增大。

4.1.2 裂紋相對(duì)位置和深度對(duì)裂紋梁固有頻率的影響

1) 假設(shè)該裂紋懸臂梁,僅有兩條橫向裂紋，第1條裂紋的深度為a10=0.002 m，第2條裂紋的深度為a20=0.002 m，兩條裂紋在不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)的固有頻率如圖2所示。

圖2 裂紋深度一定時(shí)，裂紋梁第1階固有頻率隨著裂紋相對(duì)位置的變化規(guī)律Fig.2 Variation of the first order natural frequencies of the cracked beam along with the position of the cracks

由圖2可以得到，隨著兩條裂紋中任意一條裂紋逐漸遠(yuǎn)離固定端，該裂紋梁的固有頻率均逐漸增大；當(dāng)兩條裂紋非常接近時(shí)，該裂紋梁的固有頻率相對(duì)較大。

2) 假設(shè)該裂紋懸臂梁僅有兩條橫向裂紋，第1條裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)1/L=0.1，第2條裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)2/L=0.5，兩條裂紋在不同深度時(shí)，該裂紋懸臂梁第1階固有頻率的變化規(guī)律如圖3所示。

由圖3可以得到，隨著該裂紋梁上兩條橫向裂紋中任意一條裂紋相對(duì)深度的逐步增大，該裂紋梁的第1階固有頻率逐步減小；第1條裂紋(靠近懸臂梁固定端的裂紋)的深度變化對(duì)該裂紋梁固有頻率的變化影響比較大，隨著第1條裂紋深度的增加，該梁第1階固有頻率減小的幅度較大。

4.2 多處裂紋對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

假設(shè)在該裂紋懸臂梁的自由端作用一個(gè)垂直方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)幅值為50 N，激勵(lì)頻率為裂紋梁的固有頻率。裂紋的條數(shù)、相對(duì)位置和深度與章節(jié)4.1.1完全相同，則得到第1條裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值列入表2中。

圖3 裂紋相對(duì)位置固定時(shí)，裂紋梁第一階固有頻率隨著裂紋深度的變化規(guī)律Fig.3 Variation of the first order natural frequencies of the cracked beam along with the depth of the cracks

表2 裂紋條數(shù)不同時(shí)，裂紋梁第1條裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子

Tab. 2 Stress intensity factors at the first crack tip of the cracked beam with different number of cracks

裂紋數(shù)目L1/L=0．1L1/L=0．15L1/L=0．217．6209×1076．9851×1076．3558×10727．6747×1077．0359×1076．4032×10737．6965×1077．0564×1076．4224×107

表2數(shù)據(jù)顯示，固定裂紋懸臂梁上第1條裂紋(靠近固定端的裂紋)的相對(duì)位置和深度隨著裂紋條數(shù)的增加，該裂紋梁第1條裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐步增大。在裂紋數(shù)目、相對(duì)位置和深度相同時(shí)，隨著第1條裂紋逐漸遠(yuǎn)離該懸臂梁固定端，該裂紋梁第1條裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子也逐步減小。

4.3 多處裂紋對(duì)梁疲勞壽命的影響

假設(shè)在該裂紋懸臂梁的自由端作用一個(gè)垂直方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)幅值為50 N，保持不變。

4.3.1 共振狀態(tài)下阻尼對(duì)梁疲勞壽命的影響

假設(shè)該裂紋懸臂梁僅有一條裂紋，且該裂紋的相對(duì)位置為L(zhǎng)1/L=0，初始裂紋深度為a10=0.002 m。則當(dāng)該裂紋懸臂梁處于共振狀態(tài)下，阻尼損耗因子分別為γ=0.005，γ=0.01，γ=0.05，γ=0.1時(shí)，該裂紋懸臂梁的疲勞壽命如圖4所示。

圖4 共振狀態(tài)下，不同阻尼時(shí)該裂紋梁的疲勞壽命Fig.4 Fatiguelives of the cracked beam with different damping loss factors at resonance conditions

由圖4可見(jiàn)，阻尼損耗因子對(duì)共振情況下裂紋梁的疲勞壽命影響非常大。其中當(dāng)阻尼損耗因子為γ=0.005和γ=0.01時(shí)，裂紋梁的疲勞壽命曲線出現(xiàn)重合，因此只顯示γ=0.01時(shí)的曲線。隨著阻尼損耗因子的逐漸減小，該裂紋梁的共振疲勞壽命逐漸較小。與文獻(xiàn)[12]得到的結(jié)論相同，同時(shí)圖4與文獻(xiàn)[12]中的圖3基本相同，只是在疲勞壽命的數(shù)值上有很小的誤差。因此，可以證明筆者提出的多裂紋梁疲勞壽命預(yù)測(cè)的方法是可行的。

4.3.2 共振狀態(tài)下裂紋條數(shù)對(duì)梁疲勞壽命的影響

假設(shè)裂紋的條數(shù)、相對(duì)位置和深度與4.1.1節(jié)完全相同，若該裂紋梁始終處于共振狀態(tài)下，得到疲勞壽命值列入表3中。

表3 共振狀態(tài)下裂紋條數(shù)不同時(shí)裂紋梁的振動(dòng)疲勞壽命

Tab.3 Fatigue lives of the beam with different number of cracks at resonance conditions 次

表3的數(shù)據(jù)顯示，固定裂紋梁上第1條裂紋的相對(duì)位置和深度，隨著裂紋條數(shù)的增加，該裂紋梁共振疲勞壽命逐步減小。根據(jù)4.2節(jié)的結(jié)論，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子逐步增大，由式(25)可以得到每循環(huán)的裂紋增量也相應(yīng)增大，導(dǎo)致疲勞壽命逐步減小。由于第1條裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子的值最大，所以第1條裂紋決定著該裂紋梁的疲勞壽命，表3中，隨著第一條裂紋遠(yuǎn)離懸臂梁的固定端，該裂紋梁的疲勞壽命逐步增大。

4.3.3 激勵(lì)頻率恒定的情況下裂紋條數(shù)對(duì)梁疲勞壽命的影響

假設(shè)裂紋的條數(shù)、相對(duì)位置和深度與4.1.1節(jié)完全相同，外激勵(lì)頻率為遠(yuǎn)離第1階固有頻率100，500，1 000和1 500 Hz得到的疲勞壽命值列入表4中。

表4 恒定激勵(lì)頻率下不同裂紋條數(shù)時(shí)裂紋梁的疲勞壽命

Tab.4 Fatigue lives of the cracked beam with different number of cracks under constant excitation frequencies 次

由表4的數(shù)據(jù)可以得到以下結(jié)論。

1) 裂紋梁上第1條裂紋的相對(duì)位置決定該梁的疲勞壽命。

2) 在外激勵(lì)頻率恒定的情況下，隨著第1條裂紋的相對(duì)位置遠(yuǎn)離該裂紋梁固定端，該梁的疲勞壽命逐步增大。

3) 在外激勵(lì)頻率恒定的情況下，當(dāng)外激勵(lì)頻率接近第1階固有頻率時(shí)，該裂紋梁的疲勞壽命顯著減小；當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離第1階固有頻率時(shí)，該裂紋梁的疲勞壽命顯著增大。

4) 在外激勵(lì)頻率小于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時(shí)的外激頻率逐步接近固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸減?。辉谕饧?lì)頻率大于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數(shù)的加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時(shí)的外激頻率逐步遠(yuǎn)離固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸增大。

5 結(jié)束語(yǔ)

在含多裂紋的梁上，在固定裂紋梁上某條裂紋的相對(duì)位置和深度時(shí)，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁固有頻率逐步減小。在含雙裂紋的梁上，隨著裂紋梁上的任意一條裂紋遠(yuǎn)離固定端，該裂紋梁固有頻率逐步增大；且第1條裂紋(靠近懸臂梁固定端的裂紋)的深度變化對(duì)該裂紋梁固有頻率的變化影響比較大。

在外激勵(lì)作用下，當(dāng)裂紋梁處于共振狀態(tài)時(shí)，固定裂紋懸臂梁上某一裂紋的相對(duì)位置和深度，隨著裂紋條數(shù)的增加，該裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐步增大；隨著第1條裂紋逐步遠(yuǎn)離固定端，該裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐步減小。在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，固定裂紋梁上第1條裂紋的相對(duì)位置和深度，隨著裂紋條數(shù)增加，該裂紋梁共振疲勞壽命逐步減小。

在恒定外激勵(lì)頻率小于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時(shí)的外激頻率逐步接近固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸減?。辉诤愣ㄍ饧?lì)頻率大于固有頻率的情況下，隨著裂紋條數(shù)的增加，裂紋梁的固有頻率逐步減小，使得此時(shí)的外激頻率逐步遠(yuǎn)離固有頻率，因而裂紋梁的疲勞壽命逐漸增大。

[1] Krawczuk M. Natural vibration of rectangular plates with a through crack[J]. Archive Applied Mechanics, 1993, 63(7): 491-504.

[2] Qian Guanliang, Gu Songnan, Jiang Jiesheng. The dynamic behaviour and crack detection of a beam with a crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 1990, 138(2): 233-243.

[3] Morassl A. Crack-induced changes in eigen-frequencies of beam structures[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1993, 119(9): 1768-1803.

[4] Ostachowicz W M, Krawczuk M.Analysis of the effect of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam[J]. Journal Sound and Vibration, 1991, 150(2): 191-201.

[5] Hu Jialou, Liang R Y. An integrated approach to detection of cracks using vibration characteristics[J]. Journal of the Franklin Institute, 1993, 330(5): 841-853.

[6] Shifrin E I, Ruotolo R. Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 222(3): 409-423.

[7] Paris P C, Erdogan F A. Critical analysis of crack propagation laws.[J]. Journal of Basic Engineering, 1963, 85(4):528-534.

[8] 張立軍. 寬帶隨機(jī)載荷下的疲勞壽命統(tǒng)一模型[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2014, 34(6):1022-1026.

Zhang Lijun. Unified model of fatigue life under wide-band random load[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis,2014,34(6):1022-1026. (in Chinese)

[9] Ponomarev P V, Lopatin A D.Calculation of the fatigue fracture under the influence of dynamic loads [J]. International Applied Mechanics, 1972, 8(6): 613-617.

[10] Shih Y S, Wu G Y. Effect of vibration on fatigue crack growth of an edge crack for a rectangular plate[J]. International Journal of Fatigue, 2002, 24(5): 557-566.

[11] Schlums D H. Fatigue testing and crack analysis of resonating structures[D]. Zürich: Swiss Federal Institute of Technology, 2001.

[12] 劉文光，陳國(guó)平.含裂紋懸臂梁的振動(dòng)與疲勞耦合分析[J].振動(dòng)與沖擊，2011，30(5)：140-144.

Liu Wengguang, Chen Guoping. Coupling analysis for vibration and fatigue of a cracked cantilever beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(5): 140-144. (in Chinese)

[13] Dimarogonas A D, Paipetis S A, Chondros T G. Analytical methods in rotor dynamics[M]. London: Applied Publishers, 2013：221-250.

[14] Tada H, Paris P C, Trwin G R. The stress analysis of cracks handbook[M]. Pennsylvania: Del Research Corporation Hellertown, 1973:82-232.

[15] Dentsoras A J, Dimarogonas A D. Resonance controlled fatigue crack propagation in a beam under longitudinal vibration[J]. International Journal of Fatigue, 1983, 23(1): 15-22.

*江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程基金資助項(xiàng)目(PAPD)

2015-03-26；

2015-05-21

TH114; V224

馬一江，男，1989年8月生，博士生。主要研究方向?yàn)閾p傷結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、損傷結(jié)構(gòu)壽命預(yù)測(cè)。 E-mail:yima@nuaa.edu.cn

陳國(guó)平，男，1956年7月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。 E-mail:gpchen@nuaa.edu.cn