李群霞，馬風(fēng)才, 張 群

(北京科技大學(xué)東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083)

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單生產(chǎn)商-多客戶供應(yīng)鏈提前訂貨行為的研究

李群霞，馬風(fēng)才, 張 群

(北京科技大學(xué)東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083)

本文假設(shè)允許所有客戶可以提前訂貨以及允許所有客戶存在缺貨現(xiàn)象，建立了由單一生產(chǎn)商和多個客戶組成的兩級供應(yīng)鏈提前訂貨庫存管理模型，并提出了一種聯(lián)合庫存優(yōu)化的方法，保證兩級供應(yīng)鏈含有最小庫存成本的基礎(chǔ)上，存在最優(yōu)的重訂貨點、最優(yōu)的生產(chǎn)時間間隔和最優(yōu)的訂貨次數(shù)。最后使用仿真分析方法分析訂貨提前期對最優(yōu)重訂貨點的影響以及重訂貨點對供應(yīng)鏈庫存成本的影響。

供應(yīng)鏈庫存; 單生產(chǎn)商多客戶;提前訂貨; 缺貨

1 引言

供應(yīng)鏈庫存管理是指將各個成員的庫存管理置于供應(yīng)鏈之中，以降低庫存成本和提高企業(yè)市場反應(yīng)能力為目的。因此供應(yīng)鏈庫存管理的特點需要各個成員服從聯(lián)合決策，通過對供應(yīng)鏈上的庫存進(jìn)行計劃、組織、控制和協(xié)調(diào)，將各階段庫存控制在最小限度，從而削減庫存管理成本，減少資源閑置與浪費，使供應(yīng)鏈上的整體庫存成本降至最低。

Goyal[1]是第一個研究批量訂貨模型的人。Shinn等[2]進(jìn)行了擴(kuò)展，貨運(yùn)費中考慮了數(shù)量折扣機(jī)制。Palsule-Desai[3]在供應(yīng)鏈庫存協(xié)調(diào)中研究收入分享合作機(jī)制。Hill[4]、Zhou Yongwu和Wang Shengdong[5]和Sarmah等[6]在供應(yīng)鏈管理模型中研究了最佳運(yùn)輸策略問題。Hwang和Shinn[7]假設(shè)付款可以延遲條件下，為零售商建立了最優(yōu)訂貨價格和訂貨次數(shù)策略。Zhao Xiande等[8]在供應(yīng)鏈庫存管理中研究早期訂貨承諾機(jī)制。Arkan和Hejazi[9]分析了信用期問題。李群霞和張群[10]研究缺貨和缺陷品對庫存成本的影響。Yang和Wee[11]建立了由生產(chǎn)商、渠道商和零售商構(gòu)成的三層供應(yīng)鏈。Pan等[12]在供應(yīng)鏈庫存模型中研究提前期、訂貨量和重訂貨點的優(yōu)化問題。

也有一些學(xué)者對提前訂貨和允許缺貨的供應(yīng)鏈庫存優(yōu)化管理進(jìn)行了研究。李怡娜等[13]等考慮了允許部分缺貨后補(bǔ)的情形，建立了可控提前期的供應(yīng)鏈庫存優(yōu)化模型。孫衍林[14]研究缺貨和提前期可變條件下的單制造商-單銷售商供應(yīng)鏈的生產(chǎn)庫存聯(lián)合優(yōu)化問題。桂華明[15]假設(shè)補(bǔ)貨提前期可以通過增加費用進(jìn)行壓縮以及部分缺貨可以補(bǔ)充，對一個供應(yīng)商與一個零售商組成的供應(yīng)鏈庫存進(jìn)行研究。Sajadieh等[16]假設(shè)供應(yīng)鏈只存在一個生產(chǎn)商和一個客戶，并且假設(shè)客戶訂貨提前期服從負(fù)指數(shù)分布。針對客戶的提前訂貨行為，建立了基于提前期的客戶庫存成本函數(shù)。針對生產(chǎn)商的生產(chǎn)行為，生產(chǎn)商按照“最遲開始生產(chǎn)”的生產(chǎn)策略生產(chǎn)產(chǎn)品，即生產(chǎn)商可延長一段時間再開始生產(chǎn)產(chǎn)品，從而建立生產(chǎn)商的庫存成本函數(shù)，最終將客戶的庫存成本函數(shù)和生產(chǎn)商的庫存成本函數(shù)納入到供應(yīng)鏈庫存決策中，在此基礎(chǔ)上，分析提前期對整個供應(yīng)鏈庫存成本的影響。

本文在Sajadieh等[16]的論文基礎(chǔ)上，對供應(yīng)鏈庫存問題進(jìn)一步深化，假設(shè)供應(yīng)鏈含有一個生產(chǎn)商和多個客戶，允許所有客戶都存在缺貨現(xiàn)象和提前訂貨現(xiàn)象，在多客戶和缺貨條件下，研究訂貨提前期對各成員、特別是客戶的庫存成本和庫存優(yōu)化決策的影響。

2 供應(yīng)鏈庫存描述

文中所涉及的變量及含義如表1所示，下面變量中下標(biāo)“m”表示生產(chǎn)商，下標(biāo)“b”表示客戶，下標(biāo)“bi”表示第i個客戶。

表1 變量及其含義

本文將研究多個客戶和一個生產(chǎn)商組成的兩級供應(yīng)鏈庫存管理系統(tǒng)。為了不讓生產(chǎn)商存在缺貨問題，對生產(chǎn)策略進(jìn)行了簡化，生產(chǎn)商采用“最早開始生產(chǎn)”策略的方法生產(chǎn)產(chǎn)品，即在供應(yīng)鏈周期一開始就開始生產(chǎn)產(chǎn)品，并且要求供需比k=Pm/Db>1，從而保證在整個供應(yīng)鏈周期Tm1內(nèi)生產(chǎn)商即使對所有客戶補(bǔ)貨后也不會出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象。圖1只給出三個客戶和一個生產(chǎn)商的庫存變化水平。當(dāng)客戶的庫存水平為rbi，客戶開始向生產(chǎn)商訂貨，因此rbi為重訂貨點的庫存水平。生產(chǎn)商響應(yīng)客戶的訂貨需求，在訂貨周期末，或在提前期Lbi末對客戶的庫存進(jìn)行瞬時補(bǔ)貨。從圖1可知，在訂貨周期末或提前期末，客戶已處在缺貨狀態(tài)，通過瞬時補(bǔ)貨，客戶的庫存水平得到了及時的補(bǔ)充。生產(chǎn)商一開始就以生產(chǎn)率Pm進(jìn)行生產(chǎn)，因此庫存水平在不斷的擴(kuò)大，當(dāng)對各個客戶進(jìn)行補(bǔ)貨后，庫存水平相應(yīng)地削減。當(dāng)時間到達(dá)Tm2時，生產(chǎn)商已生產(chǎn)能滿足所有客戶在Tm1周期內(nèi)所需的產(chǎn)品，因此停止了生產(chǎn)過程。當(dāng)時間到達(dá)Tm1時，生產(chǎn)商的庫存水平正好降為0。具體假設(shè)如下：

圖1 供應(yīng)鏈中各個成員的庫存水平變化情況

(1)客戶在重訂貨點提前訂貨，產(chǎn)品在訂貨周期末或在提前期末瞬時補(bǔ)貨；

(2)客戶的補(bǔ)貨量或訂貨量大于客戶在訂貨周期末或在提前期末的缺貨量，因此補(bǔ)貨后，所有客戶的庫存水平為正；

(3)客戶的需求為線性函數(shù)；

(4)客戶的單位缺貨成本要大于單位持有成本；

(5)生產(chǎn)商采用“最早開始生產(chǎn)”策略生產(chǎn)產(chǎn)品；

(6)不允許生產(chǎn)商存在缺貨現(xiàn)象，因此生產(chǎn)商的庫存水平永遠(yuǎn)大于等于0；

(7)生產(chǎn)商的生產(chǎn)率要大于所有客戶的總需求率，因此生產(chǎn)商的生產(chǎn)時間Tm2要小于生產(chǎn)商的生產(chǎn)時間間隔Tm1；

(8)生產(chǎn)商的生產(chǎn)量恰好等于所有客戶的總需求量，因此在生產(chǎn)時間間隔Tm1末，生產(chǎn)商的庫存水平為0。

(9)生產(chǎn)商一次生產(chǎn)恰好滿足所有客戶訂貨量的產(chǎn)品，生產(chǎn)完后停止生產(chǎn)，對設(shè)備進(jìn)行維護(hù)進(jìn)行下次生產(chǎn)的準(zhǔn)備。

3 供應(yīng)鏈提前訂貨庫存模型

3.1 提前訂貨庫存模型

客戶的提前訂貨庫存模型包括三項庫存成本：產(chǎn)品訂貨成本、庫存持有成本和庫存缺貨成本。

綜上所述，經(jīng)整理后，客戶的平均庫存成本為

(1)

3.2 生產(chǎn)庫存模型

生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存模型包括兩項庫存成本：生產(chǎn)準(zhǔn)備成本和庫存持有成本。

(2)平均庫存持有成本：生產(chǎn)商在周期Tm1中含有2個階段，前期即在Tm2

綜上所述，供應(yīng)商的總平均庫存成本為

(2)

3.3 供應(yīng)鏈提前訂貨庫存模型

根據(jù)式(1-2)，供應(yīng)鏈提前訂貨庫存模型為：

(3)

上式對rbi分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，有：

(4)

由式(4)的第二個等式大于0這個條件可知，式(3)存在最優(yōu)訂貨點庫存水平rbi*，保證式(3)存在最小的庫存成本值。令式(4)的第一個等式等于0，可得最優(yōu)訂貨點庫存水平rbi*：

(5)

將其代入式(3)，可得C：

(6)

由(6)可知，供應(yīng)鏈庫存成本已與變量Lbi無關(guān)。對上式對Tm1分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，有：

(7)

由式(7)的第二等式可知，二階導(dǎo)大于0，式(6)存在最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔Tm1*，保證式(6)存在最小的庫存成本值。令式(7)的第一等式為0，即一階導(dǎo)等于0，可得最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔Tm1*：

(8)

將其代入式(6)，可得C：

(9)

在式(9)中，繼續(xù)對訂貨次數(shù)mbi求一階導(dǎo)，并為0，即：

整理后可得：

(10)

設(shè)

(11)

將式(11)代入式(10)，并整理可得：

(12)

(13)

(14)

由式(10-12)整理式(8)，可得最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔Tm1*為：

(15)

由式(14-15)可知，最優(yōu)訂貨周期Tbi*和最優(yōu)訂貨量Qbi*：

(16)

將式(14-15)代入式(5)，可得最優(yōu)重訂貨點庫存水平rbi*：

(17)

(18)

將式(14-16)代入(1-3)可得客戶的最小庫存成本、生產(chǎn)商的最小庫存成本和供應(yīng)鏈的最小庫存成本：

(19)

由上式可知，庫存成本估計值與訂貨提前期Lbi無關(guān)。另外實際優(yōu)化值mbi*、Qbi*、rbi*分別為該參數(shù)四舍五入后取整后的值。

4 討論

如果對客戶進(jìn)行單獨優(yōu)化，即不考慮生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存成本模型，則根據(jù)式(1)可估計最優(yōu)重訂貨點庫存水平為：

(20)

用符號(s)表明是單獨優(yōu)化的結(jié)果，實際優(yōu)化值rbi*(s)為四舍五入后取整后的值。比較式(17)和(20)可知，訂貨點rbi*估計結(jié)果不一樣。在聯(lián)合優(yōu)化條件下，不僅與客戶的所有庫存參數(shù)有關(guān)，還與生產(chǎn)商的持有庫存參數(shù)hm有關(guān)。對于單獨優(yōu)化，訂貨提前期的約束條件為：

(21)

同理，訂貨提前期在單獨優(yōu)化下，與生產(chǎn)商的持有庫存成本hm無關(guān)。

5 仿真分析

假設(shè)供應(yīng)鏈由一個供應(yīng)商和三個客戶組成，其參數(shù)如下：

客戶1：Ab1=150元/次，db1=15000件/年，hb1=15元/件/年，sb1=30元/件/年；

客戶2：Ab2=200元/次，db2=10000件/年，hb2=20元/件/年，sb2=25元/件/年；

客戶3：Ab3=180元/次；db3=8000件/年，hb3=25元/件/年，sb3=35元/件/年；

生產(chǎn)商：Am=1000元/次；Pm=60000件/年；hm=8元/件/年。

由上面庫存參數(shù)和式(18)可知，在聯(lián)合優(yōu)化決策條件下，訂貨提前期約束條件為：

0.0111≤Lb1(j)≤0.0333，0.0203≤Lb2(j)≤0.0457，0.0186≤Lb3(j)≤0.0446

由上面庫存參數(shù)和式(21)可知，在分散優(yōu)化決策條件下，訂貨提前期約束條件為：

0.0149≤Lb1(s)≤0.0447，0.0267≤Lb2(s)≤0.0600，0.0231≤Lb3(s)≤0.0555

上面約束條件用括號符號s表明是單獨優(yōu)化結(jié)果，用括號符號j表明是聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果。取上面各成員訂貨提前期的交集作為區(qū)間，來分析重訂貨點庫存水平rbi*隨訂貨提前期的變化。如圖2所示，joint表示聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果，separate表示單獨優(yōu)化結(jié)果。訂貨提前期對重訂貨點的影響，客戶1最敏感，客戶2次之，客戶3最不敏感。最優(yōu)重訂貨點庫存水平隨著訂貨提前期的增加而變大。對于所有客戶，分散決策優(yōu)化的重訂貨點庫存水平要明顯高于聯(lián)合優(yōu)化決策的重訂貨點庫存水平。

圖2 訂貨提前期對重訂貨點的影響

客戶1客戶2客戶3生產(chǎn)商供應(yīng)鏈最優(yōu)訂貨次數(shù)mbi?433------最優(yōu)重訂貨點庫存水平rbi?584791------最優(yōu)訂貨周期Tbi?0．03240．04320．0432------最優(yōu)訂貨量Qbi?500457357------最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔Tm1?---------0．1297---最小成本(Cbi?、Cm?和C?)70006913．36636．32067341222

圖3 重訂貨點對客戶庫存成本的影響

圖4 重訂貨點對供應(yīng)鏈庫存成本的影響

假設(shè)Lb1=0.015，Lb2=0.025，Lb3=0.03，在聯(lián)合優(yōu)化決策條件下，最優(yōu)估計參數(shù)如下表所示。

從表2可知，Qb1*=500，Qb2*=457和Qb3*=357，設(shè)重訂貨點0≤rbi≤Qbi*，即0≤rb1≤500，0≤rb2≤457和0≤rb3≤357。下面分別針對每個客戶的重訂貨點區(qū)間，研究客戶重訂貨點對客戶庫存成本和供應(yīng)鏈庫存成本的影響。從圖3和圖4可知，對于客戶庫存成本和對應(yīng)的供應(yīng)鏈庫存成本都存在一個最小點，即圖中符號“*”的位置。其實最小點位置為表2所示的估計的最優(yōu)重訂貨點rbi*，當(dāng)訂貨點庫存水平rbi大于rbi*時，隨著rbi的增大，或者當(dāng)訂貨點庫存水平rbi小于rbi*時，隨著rbi的減少，客戶庫存成本和供應(yīng)鏈庫存成本變大。這種現(xiàn)象在右側(cè)更加明顯，即當(dāng)訂貨點庫存水平rbi大于rbi*的時候。另外從圖中表明，最優(yōu)重訂貨點是存在的，并且是唯一的，從側(cè)面說明本論文提出的聯(lián)合優(yōu)化方法是正確的。

6 結(jié)語

本文對由一個生產(chǎn)商和多個客戶組成的兩級供應(yīng)鏈庫存管理進(jìn)行了研究，假設(shè)客戶可以提前訂貨和允許客戶存在缺貨現(xiàn)象，并假設(shè)生產(chǎn)商采用“最早開始生產(chǎn)”的策略方法，建立了由重訂貨點、訂貨次數(shù)和生產(chǎn)時間間隔為變量的供應(yīng)鏈提前訂貨庫存成本管理模型。聯(lián)合優(yōu)化決策方法表明目標(biāo)函數(shù)存在這些變量的最優(yōu)估計值，保證目標(biāo)函數(shù)是最優(yōu)的，即供應(yīng)鏈聯(lián)合庫存成本是最小的。另外討論了分散優(yōu)化決策和聯(lián)合優(yōu)化決策條件下訂貨提前期約束條件的差異性。仿真表明，在相同的庫存參數(shù)條件下，聯(lián)合優(yōu)化決策條件下的重訂貨點庫存水平要明顯低于分散優(yōu)化決策。通過對重訂貨點對客戶庫存成本和供應(yīng)鏈庫存成本的仿真分析，了解存在唯一的最優(yōu)重訂貨點估計值，保證客戶庫存成本和供應(yīng)鏈庫存成本最低，這種現(xiàn)象與理論推導(dǎo)估計結(jié)果一致，驗證了本文提出的聯(lián)合優(yōu)化方法是正確的。

本文采用了“最早開始生產(chǎn)”的策略，只要生產(chǎn)商的生產(chǎn)率大于所有客戶的總需求率，就能保證生產(chǎn)商不存在缺貨現(xiàn)象的出現(xiàn)，從而簡化了供應(yīng)鏈提前訂貨庫存成本管理模型和優(yōu)化求解的方法。但是“最早開始生產(chǎn)”的策略相比不允許生產(chǎn)商缺貨現(xiàn)象的“最遲開始生產(chǎn)”的策略，生產(chǎn)商或者整個供應(yīng)鏈需要支付更多的庫存成本。下一步將研究“最遲開始生產(chǎn)”策略，研究最遲開始生產(chǎn)時間的約束條件和臨界值，以及對庫存最優(yōu)參數(shù)與庫存成本的影響。

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Lead-time Order Behavior Study in Two-echelon Supply Chain witha Single Manufacturer and Multiple Customers

LI Qun-xia, MA Feng-cai, ZHANG Qun

(Donlinks School of Economics and Management, University of Science andTechnology Beijing, Beijing 100083,China)

There are many researches focusing on the optimum inventory solution in the supply chain that the order is committed at the lead time and the inventory shortage can be allowed. More specifically, the lead-time is assumed as a negative exponential distribution and the optimum inventory solution is conducted in one-manufacturer and one-customer supply chain. Or, the lead-time is assumed that it can be changed according to the time, and the inventory shortage can be allowed in one-manufacturer and one-customer supply chain. Or, only part of the inventory shortage can be backordered. In first case, the shortage needs so long time to be backordered in some times, and probably can’t be backordered in the extreme condition.In this paper, the lead-time is assumed that it can be controlled. Once the order from the customer is provided, the shortage can be immediately backordered fully at the end of the order time. With such simple assumptions, the research is easily extended into the two-echelon supply chain consisting of a single manufacturer and multiple customers. The optimization process can be described as follows. Firstly, the separate inventory models respectively relating to the manufacturer and the customers are formulated according to the manufacturing stock behavior and order stock behavior. Then the joint inventory model of the supply chain is provided by combining the separate models together. Finally, with the joint optimization method, the optimum parameters, i.e. the optimum reorder point, the optimum production time interval and the optimum order time are derived to guarantee the joint inventory model has the minimal inventory cost. Similarly, we also provide the optimum results for separate inventory models for comparison to show the advantage of the joint optimization method.The simulation analysis shows that the result about the estimated lead-time is so different between the joint optimization method and the separate optimization method. The interval of the lead time is much narrower in the joint optimization method. With enlarging the value of the lead time, the reorder point increases consistently in linear relation. All the customers have the same following result, i.e. the reorder point is larger in the separate optimization method than in the joint optimization method. In addition, we also simulate the relation between the inventory cost and the reorder point for all the customers. All the customers have same quadratic curve shape and the optimum reorder point is existed and at the bottom of the quadratic curve. The optimum reorder point is unique and is existed. This result is evidently shown that the proposed joint inventory model and the related optimization method are correct. The research result of the paper is helpful for the researchers to study the inventory optimization problem in the more complicated supply chain and it can be useful for real-world supply chain operation and optimization management.

supply chain inventory; single-manufacturer multi-customers; Lead-time order; Shortage

2015-09-09；

2016-07-20

國家自然科學(xué)基金重點項目(71231001)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(FRF-TP-15-033A3);北京市社會科學(xué)基金研究基地項目(16JDGLB019)

李群霞(1977-), 女(漢族)，河北邢臺人，北京科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院管理科學(xué)與工程系副教授，博士，研究方向：供應(yīng)鏈管理、物流管理、應(yīng)用統(tǒng)計、資源效率管理，E-mail：kellylqx@163.com.

1003-207(2017)04-0052-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.007

F253

A