劉衛(wèi)鋒，常 娟，杜迎雪

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

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(語(yǔ)言)Heronian平均算子及其決策應(yīng)用

劉衛(wèi)鋒，常 娟，杜迎雪

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

多屬性決策中的許多集成算子假設(shè)屬性相互獨(dú)立，從而導(dǎo)致信息集成和決策結(jié)果出現(xiàn)不合理的情況。Heronian平均算子是一種體現(xiàn)屬性間相互作用的集成算子，因此研究和推廣Heronian平均算子具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。首先，針對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)中的加權(quán)Heronian平均算子不具有還原性，定義了一種具有還原性的廣義加權(quán)Heronian平均算子(GWHM)，隨后定義了三參量Heronian平均算子(TPHM)和三參量加權(quán)Heronian平均算子(TPWHM)，并分別研究了它們的冪等性、單調(diào)性和有界性等性質(zhì)。然后，將GWHM算子、TPHM算子和TPWHM算子分別推廣到語(yǔ)言決策中，給出了語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子(LWHM)以及三參量語(yǔ)言Heronian平均算子(TPLHM)和三參量語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子(TPLWHM)，并對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行了探討。最后，給出了利用(語(yǔ)言)Heronian平均算子進(jìn)行決策的方法，并通過(guò)兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明了方法的可行性。

集成算子；Heronian平均算子；語(yǔ)言Heronian平均算子；決策

1 引言

有效集成屬性值是多屬性決策的一個(gè)核心問(wèn)題。針對(duì)該問(wèn)題，人們進(jìn)行了積極地研究，提出了許多可行有效的集成算子，諸如WA算子[1]、WG算子[2]、OWA算子[3]、OWG算子[4]、OWH算子[5]、QOWA算子[6]、Bonferroni平均算子[7]、Heronian平均算子[8]，等等。為了適應(yīng)不同的決策環(huán)境，人們將這些集成算子推廣到不同決策領(lǐng)域，形成了具有不同特色、適合不同決策環(huán)境的各類集成算子。于是,按照決策信息環(huán)境不同，可以將集成算子大概分為以下幾類: (1)實(shí)數(shù)集成算子；(2)區(qū)間數(shù)集成算子；(3)模糊集成算子、(4)直覺(jué)模糊集成算子；(5)猶豫模糊集成算子；(6)語(yǔ)言集成算子；等。實(shí)數(shù)集成算子適用于屬性值為實(shí)數(shù)的決策環(huán)境，是最基本的信息集成算子，也是研究成果最為豐富的集成算子,其他類型集成算子一般由實(shí)數(shù)集成算子延拓?cái)U(kuò)展而得到。除了Harasnyi等[1-8]中常見(jiàn)的幾種實(shí)數(shù)集成算子，還包括Yager等[9-15]中分別定義的GBM平均算子、TPBM算子、TPGBM算子、TPGBGM算子、BGM算子以及PHM算子和GHM算子，等。區(qū)間數(shù)集成算子是實(shí)數(shù)集成算子的推廣，其能夠有效集成區(qū)間數(shù)決策信息。目前關(guān)于區(qū)間數(shù)集成算子的相關(guān)研究也取得了豐碩的成果[16-24],包括: UOWA算子、 UOWG算子、COWA算子、COWG算子、UBM算子、IHM算子，等。當(dāng)決策屬性值難以使用實(shí)數(shù)和區(qū)間數(shù)進(jìn)行表達(dá)以及考慮到?jīng)Q策者思維本身所具有的固有模糊性時(shí)，Bellman等[25]提出使用模糊數(shù)表達(dá)方案滿足屬性的程度評(píng)估值，于是出現(xiàn)了處理模糊信息的各種模糊集成算子[26-30]，模糊集成算子具有較強(qiáng)的靈活性和適用性，目前模糊集成算子主要有：FOWA算子、FOWG算子、TFOWA算子以及TFBM算子，等。直覺(jué)模糊集成算子適用于屬性值為直覺(jué)模糊數(shù)的決策環(huán)境，此類集成算子既能體現(xiàn)出決策者對(duì)方案滿足屬性的評(píng)估值，又能體現(xiàn)出決策者對(duì)方案不滿足屬性的評(píng)估值，因此直覺(jué)模糊集成算子較模糊集成算子更靈活，應(yīng)用范圍也更廣。目前常用的直覺(jué)模糊集成算子有[31-37]：IFOWA算子、IFOWG算子、IVFOWA算子、IVFOWG算子、IFBM算子、IVFBM算子以及IFHM算子和IVIFHM算子，等。盡管模糊集成算子和直覺(jué)模糊集成算子在處理決策模糊信息時(shí)較其他集成算子優(yōu)勢(shì)更明顯，但也會(huì)面臨一些問(wèn)題，比如，在實(shí)際決策過(guò)程中，決策者評(píng)估方案在屬性下的偏好時(shí)，可能出現(xiàn)在一些評(píng)估值之間猶豫不決的情況，此時(shí)使用模糊數(shù)與直覺(jué)模糊數(shù)表示偏好就無(wú)能無(wú)力了，但是使用符合決策實(shí)際的猶豫模糊數(shù)[38]就能夠輕而易舉解決此問(wèn)題。針對(duì)決策信息為猶豫模糊數(shù)的決策問(wèn)題，人們提出了許多猶豫模糊集成算子，主要有[39-44]：HFPA算子、HFG算子、HFBM算子、HFGBM算子和GHFBM算子，等。在多屬性決策中，人們常常喜歡直接使用“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”等語(yǔ)言對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的某種屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)，故研究以語(yǔ)言為屬性值的信息集成算子具有重要意義。目前關(guān)于語(yǔ)言集成算子的研究也取得了豐碩成果[45-54]，常用的集成算子有：LOWA算子，LHA算子，EOWA算子，EOWG算子，GILA算子，ULA算子，IULOWA算子，ULHM算子及2TLBA算子和W2TLBA算子，UPLHHA算子，等。最后，一些將不同信息進(jìn)行融合的集成算子也值得我們注意，比如，王堅(jiān)強(qiáng)和吳建文[55]通過(guò)定義區(qū)間灰色不確定語(yǔ)言及其運(yùn)算法則和距離公式，提出了區(qū)間灰色不確定語(yǔ)言的IGULOWC-OWA算子,并提出了相應(yīng)的決策方法；Liu Peide等[56]將直覺(jué)模糊與不確定語(yǔ)言Heronian平均相結(jié)合，提出了IULHM集成算子。

按照決策信息環(huán)境將集成算子進(jìn)行分類，有助于人們根據(jù)決策信息實(shí)際情況選擇合適的集成算子，但是也存在一定的局限性，比如,沒(méi)有考慮到屬性之間是否存在相互作用關(guān)系。而事實(shí)上，在決策應(yīng)用中，屬性之間往往并非相互獨(dú)立,而常常存在著相互作用的關(guān)系，因此按照集成算子屬性間是否具有相互作用關(guān)系來(lái)考慮集成算子的分類，以及研究反映屬性值之間相互作用關(guān)系的集成算子均具有十分重要的現(xiàn)實(shí)背景和理論意義。顯然，從屬性之間是否具有相互作用的角度來(lái)看,現(xiàn)有的集成算子可以分為兩大類:一類是屬性間相互獨(dú)立的集成算子；一類是考慮屬性間相互作用的集成算子。在實(shí)際決策應(yīng)用中，我們使用的大部分集成算子是假設(shè)屬性間相互獨(dú)立的，如Harasnyi等[1-6]中的實(shí)數(shù)集成算子以及由此拓展而得到區(qū)間數(shù)集成算子[16-22]、模糊集成算子[26-29]、直覺(jué)模糊集集成算子[31-34]、猶豫模糊集成算子[39-44]和語(yǔ)言集成算子[45-51，54]，等等。而B(niǎo)onferroni和Boliakov等[7,8]中定義的Bonferroni平均算子和Heronian平均算子以及由此而推廣的各種Bonferroni平均算子[9-13,24,30,35-36,41-43,53]和Heronian平均算子[14,15,23,37,52]，是兩類體現(xiàn)屬性間相互作用的集成算子，因此,當(dāng)屬性間存在相互作用時(shí)，由它們進(jìn)行集成決策信息會(huì)更加符合決策實(shí)際，結(jié)果也會(huì)更合理。

顯然，從Bonferroni平均算子和Heronian平均算子的定義來(lái)看，二者并不相同，但是在一定的條件下[11]，Heronian平均算子可以看作Bonferroni平均算子的特殊形式，因此關(guān)于二者的各種推廣以及決策應(yīng)用在一定程度上可以相互借鑒。

由于語(yǔ)言多屬性決策在經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。我們將加權(quán)Heronian平均算子以及三參量Heronian平均算子和三參量加權(quán)Heronian平均算子推廣到語(yǔ)言多屬性決策之中，提出了語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子以及三參量語(yǔ)言Heronian平均算子和三參量語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子，并研究了它們的性質(zhì)。

最后，提出了利用(語(yǔ)言)Heronian平均算子進(jìn)行多屬性決策的方法，并通過(guò)兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明了方法的可行性。

2 相關(guān)概念

定義2.1[8]設(shè)ai(i=1,2,…,n)是一組非負(fù)數(shù)，若：

則稱HM為Heronian平均算子。

定義2.2[14]設(shè)ai(i=1,2,…,n)是一組非負(fù)數(shù)，p,q≥0，若：

則稱GHM為廣義Heronian平均算子。

定義2.3[34,37]設(shè)αi=([ai,bi],[ci,di])

GIIFWHMp,q(a1,a2,…,an)=

則稱GIIFWHM為廣義區(qū)間值直覺(jué)模糊加權(quán)Heronian平均算子。

則稱GULWHM為廣義不確定語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子。

定義2.5[10]設(shè)ai(i=1,2,…,n)是一組非負(fù)數(shù)，p,q,r≥0，若：

則稱GBM為廣義Bonferroni平均算子。

則稱GWBM為廣義加權(quán)Bonferroni平均算子。

定義2.7[56]設(shè)S={sα|α=-L,…,L}為語(yǔ)言標(biāo)度，S中的術(shù)語(yǔ)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，且滿足下列條件：

(1) 若α>β，則sα>sβ；

(2) 存在負(fù)算子neg(sα)=s-α。

語(yǔ)言評(píng)估標(biāo)度的運(yùn)算法則定義如下：

(1)sα+sβ=sα+β；(2)λsα=sλα；

(3)sα×sβ=sαβ； (4) (sα)λ=sαλ。

3 Heronian平均算子

下面給出一種廣義加權(quán)Heronian平均算子，它不僅具有還原性，而且保持冪等性、單調(diào)性以及有界性等性質(zhì)。

定理3.1 GWHM平均算子具有性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n)，其中ai,bi(i=1,2,…,n)均為非負(fù)數(shù)，則：

(3)有界性

(2) 由ai≤bi(i=1,2,…,n)可知：

在GBM算子啟發(fā)下，我們提出：

定義3.2 設(shè)ai(i=1,2,…,n)是一組非負(fù)數(shù)，若

定理3.2 TPHM平均算子有如下性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

TPHMp,q,r(a,a,…,a)=a。

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n)，其中ai,bi(i=1,2,…,n)為非負(fù)數(shù)，則

TPHMp,q,r(a1,a2,…,an)≤TPHMp,q,r(b1,b2,…,bn)。

(3)有界性

下面給出一種體現(xiàn)屬性重要性的三參量加權(quán)Heronian平均算子。

定理3.3 TPWHM平均算子有如下性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n)，其中ai,bi(i=1,2,…,n)均為非負(fù)數(shù)，則：

(b1,b2,…,bn)。

(3)有界性

4 語(yǔ)言Heronian平均算子

下面我們將加權(quán)Heronian平均算子以及三參量Heronian平均算子和三參量加權(quán)Heronian平均算子推廣到語(yǔ)言決策之中。首先給出語(yǔ)言Heronian平均算子。

定義4.1 設(shè)ai(i=1,2,…,n)是一組語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，p,q≥0，若：

則稱LHM為語(yǔ)言Heronian平均算子。

定理4.1 設(shè)ai=sθi(i=1,2,…,n)是一組語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，p,q≥0，則：

定理4.2 LHM平均算子具有性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

LHMp,q(a,a,…,a)=a。

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n) ，其中ai,bi(i=1,2,…,n)均為語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，則

LHMp,q(a1,a2,…,an)≤LHMp,q(b1,b2,…,bn)。

(3)有界性

下面給出語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子。

即LWHM算子退化為L(zhǎng)HM算子，因此LWHM算子是LHM算子的推廣。

定理4.4 LWHM平均算子具有性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n)，其中ai,bi(i=1,2,…,n)均為語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，則：

(3)有界性

定義4.3 設(shè)ai(i=1,2,…,n)是一組語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，若：

定理4.5 設(shè)ai=sθi(i=1,2,…,n)是一組語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，則

定理4.6 TPLHM平均算子有如下性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

TPLHMp,q,r(a,a,…,a)=a。

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n)，其中ai,bi(i=1,2,…,n)為語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，則：

TPLHMp,q,r(a1,a2,…,an)≤TPLHMp,q,r(b1,b2,…,bn)。

(3)有界性

下面定義三參量語(yǔ)言加權(quán)Heronian平均算子。

定理4.8TPLWHM平均算子具有性質(zhì)：

(1)冪等性 若ai=a(i=1,2,…,n)，則：

(2)單調(diào)性 若ai≤bi(i=1,2,…,n)，其中ai,bi(i=1,2,…,n)均為語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，則：

(3)有界性

5 決策應(yīng)用

本節(jié)中，我們研究基于(語(yǔ)言)Heronian平均算子的多屬性決策方法。首先，分析決策方法的特點(diǎn)及適用范圍。然后，給出基于(語(yǔ)言) Heronian平均算子的多屬性決策方法。

步驟1 決策者給出方案xi關(guān)于屬性u(píng)j的屬性值為aij，得到?jīng)Q策矩陣為A=(aij)mn，其中aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)為非負(fù)實(shí)數(shù)或語(yǔ)言變量。

步驟2將決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化決策矩陣R=(rij)mn；若決策矩陣為語(yǔ)言變量決策矩陣，無(wú)需進(jìn)行規(guī)范化。

步驟3 根據(jù)Heronian平均算子或語(yǔ)言Heronian平均算子，計(jì)算各方案綜合評(píng)價(jià)值。

步驟4 根據(jù)各方案綜合評(píng)價(jià)值的大小對(duì)方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。

例5.1[57]某投資銀行對(duì)某市4家企業(yè)xi(i=1,2,3,4)進(jìn)行投資，評(píng)估指標(biāo)分別為：產(chǎn)值(u1)、投資成本(u2)、銷售額(u3)、國(guó)家收益比重(u4)和環(huán)境污染程度(u5)。該投資銀行考察了上年度4家企業(yè)的上述指標(biāo)情況(其中污染程度由有關(guān)環(huán)保部門(mén)檢測(cè)并量化)，所得評(píng)估結(jié)果如表5.1所示。各項(xiàng)評(píng)估指標(biāo)中投資成本和環(huán)境污染程度為成本型，其余為效益型。屬性權(quán)重為w=(0.36,0.16,0.16,0.16,0.16)。試確定最佳投資企業(yè)。

表5.1 決策矩陣

顯然, 企業(yè)的產(chǎn)值、投資成本、銷售額、國(guó)家收益比重和環(huán)境污染程度之間并非相互獨(dú)立，而是存在相互作用關(guān)系。比如,產(chǎn)值的高低會(huì)影響到投資成本和銷售額；環(huán)境污染程度必然對(duì)國(guó)家受益比重和投資成本帶來(lái)影響；類似可以分析每個(gè)屬性對(duì)其他兩個(gè)屬性均有影響。因此，考慮使用本文提出的TPWHM算子進(jìn)行信息集成。

首先，將原始決策矩陣規(guī)范化，得到規(guī)范化矩陣為：

表5.2 規(guī)范化決策矩陣

其次，使用TPWHM算子進(jìn)行集結(jié)(不妨取p=q=r=1)，此時(shí)：

于是有：

由方案的綜合屬性值大小可得方案排序?yàn)椋簒3?x4?x1?x2。所以最佳投資企業(yè)為x3。

為了與假設(shè)屬性相互獨(dú)立的集成算子進(jìn)行比較，我們分別使用OWA算子、OGW算子和OWH算子對(duì)各方案屬性值進(jìn)行集結(jié)。

通過(guò)OWA算子集成得方案綜合屬性值為：

z(x1)=0.8623,z(x2)=0.8712,z(x3)=0.8728,z(x4)=0.8731

于是，方案排序?yàn)閤4?x3?x2?x1,即最佳投資企業(yè)為x4。

通過(guò)OWG算子集成得方案綜合屬性值為：

z(x1)=0.8527,z(x2)=0.8599,z(x3)=0.8587,z(x4)=0.8469

故方案排序?yàn)閤2?x3?x1?x4,于是最佳投資企業(yè)為x2。

由OWH算子集成得方案綜合屬性值為：

z(x1)=0.8430,z(x2)=0.8483,z(x3)=0.8435,z(x4)=0.8128

從而得到方案排序?yàn)閤2?x3?x1?x4,即最佳投資企業(yè)為x2。

比較上述結(jié)果發(fā)現(xiàn)，使用考慮屬性間相互作用的TPWHM算子進(jìn)行集成，與使用OWA算子、OGW算子和OWH算子進(jìn)行集成，所得到的排序結(jié)果完全不同，這主要是OWA算子、OGW算子和OWH算子在集成信息時(shí)假設(shè)屬性獨(dú)立，而TPWHM算子考慮到了屬性間的相互作用,因此本文決策結(jié)果更加符合實(shí)際。

例5.2[58]某單位在對(duì)干部進(jìn)行考核選拔時(shí)，制定了6項(xiàng)考核指標(biāo)(屬性)：思想品德(u1)、工作態(tài)度(u2)、工作作風(fēng)(u3)、文化水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)(u4)、領(lǐng)導(dǎo)能力(u5)、開(kāi)拓能力(u6)，且權(quán)重向量為w=(0.22，0.11，0.19，0.10，0.16，0.22)。專家對(duì)各候選人按上述6項(xiàng)指標(biāo)利用語(yǔ)言標(biāo)度S={s-4=極差,s-3=很差,s-2=差,s-1=稍差,s0=一般,s1=稍好,s2=好,s3=很好,s4=極好}對(duì)5位候選人xi(i=1,2,3,4,5)進(jìn)行評(píng)估，并給出語(yǔ)言決策矩陣。試確定最佳候選人。

表5.3 語(yǔ)言變量決策矩陣

由于一個(gè)人的思想品德、工作態(tài)度、工作作風(fēng)、文化水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)以及領(lǐng)導(dǎo)能力和開(kāi)拓能力不是相互獨(dú)立的，而是相互影響的，比如，思想品德對(duì)工作態(tài)度和工作作風(fēng)產(chǎn)生積極地影響，而工作態(tài)度對(duì)工作作風(fēng)和開(kāi)拓能力具有促進(jìn)作用，等,類似地可以分析每個(gè)屬性對(duì)其他兩個(gè)屬性均有影響。故可使用本文提出的TPLWHM算子進(jìn)行信息集成，不妨取p=q=r=1。此時(shí)：

于是

由方案語(yǔ)言綜合屬性值大小，得到方案優(yōu)劣排序?yàn)椋簒4?x5?x1?x2?x3。故最佳候選人為x4。 為了進(jìn)一步分析TPLWHM算子中參數(shù)對(duì)集成結(jié)果以及方案排序的影響,我們令參數(shù)p,q,r取不同數(shù)值,然后計(jì)算出各方案相應(yīng)的綜合屬性值,并將綜合屬性值和方案排序列入下表(見(jiàn)表5.4)。

由表5.4可以看出，當(dāng)參數(shù)p=1，q,r增加時(shí)，方案綜合屬性值隨之遞增；而當(dāng)p=2或p=3時(shí)，q,r增加時(shí)，方案綜合屬性值沒(méi)有出現(xiàn)遞增情況。因此，方案綜合屬性值的變化與參數(shù)p,q,r的取值沒(méi)有明顯的規(guī)律。

由方案排序結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)參數(shù)p=q=r=1時(shí)，方案排序?yàn)閤4?x5?x1?x2?x3；當(dāng)參數(shù)p,q,r增大時(shí)，方案排序變?yōu)閤4?x1?x2?x5?x3或x4?x2?x1?x5?x3，且最優(yōu)方案一直不變。顯然，當(dāng)參數(shù)p,q,r變化時(shí)，雖然方案排序發(fā)生了變化，但是變化并不大，而且排序結(jié)果非常穩(wěn)定。此外，注意到TPWHM算子中，隨著參數(shù)p,q,r變大，λ值的逐漸變小，也給計(jì)算帶來(lái)極大的不便。因此，我們建議使用TPWHM算子進(jìn)行信息集成時(shí)，參數(shù)p,q,r可以取1，2等較小的數(shù)，此時(shí)既考慮到了屬性之間的相互作用，也使得計(jì)算非常簡(jiǎn)便。

表5.4 不同參數(shù)下方案綜合屬性值及方案排序

6 結(jié)語(yǔ)

提出了具有還原性的WHM算子，定義了TPHM算子和TPWHM算子，并研究了它們的性質(zhì)。然后，定義了LWHM算子，TPLHM算子和TPLWHM算子，并對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行了研究。最后，通過(guò)兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明了這些算子在多屬性決策中的應(yīng)用。本文研究進(jìn)一步推廣了Heronian平均算子，同時(shí)語(yǔ)言Heronian平均算子的提出和應(yīng)用，也拓展了Heronian平均算子的應(yīng)用范圍。

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(Linguistic) Heronian Mean Operators andApplications in Decision Making

LIU Wei-feng, CHANG Juan, DU Ying-xue

(School of Science, Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450015, China)

In information aggregation of multiple attribute decision making, some aggregation operators are defined based on the hypothesis in which all the attributes are mutually indenpent, resulting in unreasonable information aggregation and decision result. Heronian mean operator is an aggregation opeator in which can deal with the situation of interrelationshiop between attributes, and from the theoretical and and practical points of view, it is worth to study and generalize Heronian mean operator. Firstly, aiming at weighted Heronian mean operator without reducibility in related reference, the generalized weighted Heronian mean operator(GWHM) with reducibility is introduced. And then, the three parameters Heronian mean operator(TPHM) and the three parameters weighted Heronian mean operator(TPWHM) are defined, and their basic properties such as idempotency, monotonicity and boundness are studied. Further, in order to fulfill applications of Heronian mean operator in linguistic multiple attribute decision making, linguistic weighted Heronian mean operator(LWHM), three parameters linguisitic Heronian mean operator(TPLWHM) and three parameters linguisitic weighted Heronian mean operator(TPLHM) are dedined, and their properties such as idempotency, monotonicity and boundness are also discussed. Finally, an approach to multiple attribute decision making based on the (linguisitic) Heronian mean operators is proposed, and two practical examples are given to illustrate our results.

aggregation operator; Heronian mean operator; linguistic Heronian mean operator; decision making

2015-06-16；

2016-02-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11501525)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金(2016113001)

劉衛(wèi)鋒(1976-)，男(漢族)，河南沈丘人，鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系，副教授，研究方向:數(shù)學(xué)建模、模糊數(shù)學(xué)，E-mail:lwf0519@163.com.

1003-207(2017)04-0174-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.021

C934

A