陳晨

[摘 要]數(shù)學(xué)思考力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的隱性學(xué)力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然訴求。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在情境中展開(kāi)“本質(zhì)性思考”、在探究中展開(kāi)“過(guò)程性思考”、在回顧中展開(kāi)“開(kāi)放性思考”，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法的精妙。

[關(guān)鍵詞]思考力；情境；探究；反思

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）11-0071-01

何謂“數(shù)學(xué)思考”？“數(shù)學(xué)思考”是指學(xué)生在一定的情境中能夠主動(dòng)從數(shù)學(xué)視角去觀察、分析問(wèn)題，運(yùn)用蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)信息以及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題。華東師范大學(xué)孔企平教授認(rèn)為，思考是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程的本質(zhì)特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征。

一、在情境中展開(kāi)“本質(zhì)性思考”

數(shù)學(xué)情境是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“催化劑”，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)活動(dòng)中。情境仿佛是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“實(shí)習(xí)場(chǎng)”，因此教師要保證學(xué)生在情境對(duì)話中突出對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)性思考。

例如，教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)問(wèn)題情境：“假設(shè)有兩條非常長(zhǎng)的繩子，其中的一條繩子可以繞地球赤道一圈，另一條繩子能夠在赤道上方的1米處繞地球一圈，想一想，哪一條繩子長(zhǎng)？長(zhǎng)多少米？”學(xué)生紛紛認(rèn)為“另一條繩子”長(zhǎng)，因?yàn)榱硪粭l繩子繞成的圓的直徑較長(zhǎng)，但至于長(zhǎng)多少米，學(xué)生很茫然，只是猜想應(yīng)該長(zhǎng)很多。當(dāng)教師告訴學(xué)生兩條繩子只相差6.28米時(shí)，學(xué)生非常意外，甚至震驚。為此，教師引導(dǎo)學(xué)生借助圓的周長(zhǎng)公式對(duì)問(wèn)題展開(kāi)“本質(zhì)性思考”。因?yàn)椤癈=πd”，d相當(dāng)于地球赤道的直徑，所以“另一條繩子”的長(zhǎng)度為π×（d+2），也就是（πd+2π）。不管d是多少，“πd+2π”都比“πd”多2個(gè)π。本質(zhì)性思考打破了學(xué)生的定式思維，在數(shù)學(xué)的理性思考面前，學(xué)生的探究潛能被激發(fā)出來(lái)，他們對(duì)問(wèn)題展開(kāi)積極的推導(dǎo)，由此形成理性化的結(jié)論。

二、在探究中展開(kāi)“過(guò)程性思考”

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)自主、能動(dòng)、有意義的建構(gòu)過(guò)程。為此，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)誕生的全部過(guò)程，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然、真實(shí)、真正地發(fā)生。

例如，教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師出示分別是8厘米、5厘米、4厘米、2厘米的一組小棒，運(yùn)用一組核心問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)探究：（1）從這組小棒中，每次選出3根小棒圍一圍，一共能圍多少種三角形？（2）操作后思考：怎樣的3根小棒能圍成三角形？（3）如果兩邊之和等于第三邊呢？通過(guò)操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有四種選法，其中“8厘米、5厘米、2厘米”和“8厘米、4厘米、2厘米”兩種選法不能圍成三角形。經(jīng)過(guò)小組交流，學(xué)生將思考的焦點(diǎn)聚集到小棒的長(zhǎng)度上：如果兩邊之和小于第三邊，在圍的時(shí)候就不能做到首尾相接，即不能圍成三角形；如果兩邊之和等于第三邊，因?yàn)樾“舨荒堋肮捌饋?lái)”，也就不能圍成三角形。在分別探究“兩邊之和小于第三邊”以及“兩邊之和等于第三邊”后，學(xué)生自主歸納出“三角形任意兩邊之和大于第三條邊就能圍成三角形”的數(shù)學(xué)結(jié)論。至此，學(xué)生通過(guò)分層探究，自然地掌握了三角形的三邊關(guān)系，在操作探究和嚴(yán)密的推理、歸納中形成了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)知。

三、在回顧中展開(kāi)“開(kāi)放性思考”

學(xué)生不僅是一個(gè)學(xué)習(xí)者，更是一個(gè)“反思性實(shí)踐者”。教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)的知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在回顧中自我發(fā)問(wèn)，如“我選擇的是怎樣的探究策略？”“我采用的數(shù)學(xué)方法能夠進(jìn)一步優(yōu)化嗎？”“通過(guò)探究這個(gè)問(wèn)題我有什么收獲？”“這樣的數(shù)學(xué)思想方法具有解決問(wèn)題的普適性嗎？”……

例如，教學(xué)“圓柱的體積”后，教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)反思。有學(xué)生認(rèn)為，要求圓柱的體積必須知道圓柱的底面積和高或者底面半徑和高。也有學(xué)生認(rèn)為，如果題目中已知圓柱底面的直徑、周長(zhǎng)，必須先求出圓柱底面半徑，然后根據(jù)圓柱的體積公式V=πr2h或者V=Sh來(lái)進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)，教師出示了一道習(xí)題：已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積是628平方厘米，底面半徑是10厘米，這個(gè)圓柱的體積是多少立方厘米？學(xué)生根據(jù)“S側(cè)=2πrh”，求出h=10，然后根據(jù)“V=πr2h”求出了圓柱的體積。教師沒(méi)有立刻結(jié)束，而是將圓柱的側(cè)面積改成了200平方厘米。當(dāng)學(xué)生再次計(jì)算時(shí)卻發(fā)現(xiàn)根據(jù)“h=S側(cè)÷（2πr）=200÷62.8”不好算，于是學(xué)生展開(kāi)反思，追本溯源，對(duì)圓柱的體積公式推導(dǎo)過(guò)程展開(kāi)“開(kāi)放性思考”。在對(duì)圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的過(guò)程中，有學(xué)生敏銳地發(fā)現(xiàn)：將長(zhǎng)方體換一個(gè)方向擺放，長(zhǎng)方體的底面積就是圓柱側(cè)面積的一半，長(zhǎng)方體的高就是圓柱的底面半徑。學(xué)生恍然大悟，運(yùn)用“V= S側(cè)÷2×r”，問(wèn)題迎刃而解。顯然，通過(guò)回顧與反思，學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)思想方法的精妙。

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在出校門一兩年后就忘了，唯有數(shù)學(xué)的思想方法與精神以及看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等卻隨時(shí)隨地發(fā)揮著作用。在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思考比數(shù)學(xué)知識(shí)更重要。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要正本清源，努力促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的生長(zhǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然訴求。

（責(zé)編 李琪琦）