涂昌因

【摘要】三角函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)學(xué)科中最重要的一部分內(nèi)容，對(duì)學(xué)生思維認(rèn)知水平的提高起著重要的作用。在初中數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)是教學(xué)中最難攻克的環(huán)節(jié)，也是為后期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)的主要環(huán)節(jié)。三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中比較抽象并難以理解的內(nèi)容，初中生容易在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中因?yàn)檫^于困難而放棄學(xué)習(xí)，致使后面的學(xué)習(xí)嚴(yán)重跟不上教學(xué)進(jìn)度。本文從三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合解題舉例、農(nóng)村九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與三角函數(shù)簡(jiǎn)化公式出發(fā)，對(duì)課題進(jìn)行闡述。望能為相關(guān)教學(xué)工作帶來(lái)實(shí)質(zhì)性的建議。

【關(guān)鍵詞】義務(wù)教育；初中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)應(yīng)用

在初中課程中，三角函數(shù)是重中之重，有效把握三角函數(shù)圖像與性質(zhì)是處理數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵所在。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，有諸多學(xué)生仍對(duì)圖形解題不能深刻的理解與掌握，這就需要數(shù)學(xué)教師們更為全面的考慮學(xué)生的情況，因材施教。數(shù)學(xué)教學(xué)中最主要就是利用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決圖形問題，而三角函數(shù)這一章內(nèi)容又需要大量使用數(shù)形結(jié)合。

一、三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合應(yīng)用理念

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一條重要接入點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想促使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用范圍寬廣，利用抽象的數(shù)學(xué)概念與數(shù)量關(guān)系直觀具體的展示出圖形想要表達(dá)的意思。具體的圖形轉(zhuǎn)換為代數(shù)也更有助于定量分析，從而也證實(shí)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)與形的結(jié)合、靈活的轉(zhuǎn)換，不單可以拓展教學(xué)研究的思路，還能讓一些看似困難的題目變得清晰，從解題的過程中還能發(fā)現(xiàn)解題的新技巧，從中找到可能忽視的條件。數(shù)與形是互相矛盾的存在，但同時(shí)又是辯證統(tǒng)一的。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種重要思想，在初中函數(shù)解題中是主要解決辦法。我們可以參考?xì)v年中考試卷，幾乎可以發(fā)展在很多三角函數(shù)題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用十分寬泛，在很多時(shí)候都可以使用函數(shù)圖形對(duì)題目加以分析，從而降低題目難度[1]。有效使用數(shù)形結(jié)合解決問題，能讓抽象的事物變得更為具體，讓解題事半功倍。

數(shù)形結(jié)合一直以來(lái)是數(shù)學(xué)研究中的重要思路與方式，我們通過數(shù)形結(jié)合的方式可以將一些較為抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言用一種直觀的表達(dá)形式表現(xiàn)出來(lái)，以達(dá)到讓抽象思維與具體思維相結(jié)合，讓解題變得更為簡(jiǎn)便。初中三角函數(shù)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合可以作為一種輔助手段來(lái)幫助教師與學(xué)生解決問題。

二、農(nóng)村九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

（一）用三角函數(shù)圖形解方程

數(shù)形結(jié)合在初中三角函數(shù)解題中的應(yīng)用表現(xiàn)在兩個(gè)方面：定性分析與定量分析，這兩種情況都可以利用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)輔助解題步驟。下面就舉出一個(gè)題目來(lái)詮釋數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。

例題：已知方程|X2_4X+3|=m，試分析在不同m取值情況下，方程根的個(gè)數(shù)[2]。

解題分析：這樣的題目，如果不借助函數(shù)圖形的話，就需要針對(duì)函數(shù)f（x）=|X2_4X+3|進(jìn)行X不同取值下，f（x）對(duì)應(yīng)函數(shù)值的討論，要分很多情況，討論復(fù)雜容易出錯(cuò)。由圖1函數(shù)圖形我們可以看出，方程的根是直線y=m與函數(shù)f（x）=|X2_4X+3|圖形的交點(diǎn)。不同m取值就對(duì)應(yīng)方程根的不同個(gè)數(shù)，畫出圖形之后，將y=m進(jìn)行上下平移，可以看出，在m<0時(shí)，二者沒有交點(diǎn)，m=0時(shí)，二者有4個(gè)交點(diǎn)，在m=1時(shí)二者有3個(gè)交點(diǎn)，在m>1時(shí)，二者沒有交點(diǎn)，這樣就很容易借助圖形來(lái)得到題目的正確答案。

從中可以發(fā)現(xiàn)，一些函數(shù)的題目在使用數(shù)形結(jié)合方式之后，就變得簡(jiǎn)單許多。比方說這道題，通過方程與函數(shù)的圖形結(jié)合轉(zhuǎn)換，就獲得了新的解決思路，從而能夠使題目得到快速的解決。

（二）用三角函數(shù)證邊（角）之等、和、差關(guān)系

如圖2，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過M作ME⊥CD與點(diǎn)E，∠1=∠2。（1）若CE=1，求BC的長(zhǎng)；（2）求證AM=DF+ME。

解析：（1）在菱形ABCD中由∠1=∠ACD=∠2得CM=DM。又ME⊥CD得BC=CD=2CE=2；（2）記菱形ABCD邊長(zhǎng)為a，由（1）可得，從而，又在中， ，故AM=DF+ME 。

在平面幾何的證明中，最讓學(xué)生感到不解的是如何添加輔助線。本體欲證明線段AM之長(zhǎng)等于另兩線段DF與ME之和，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，因題中條件有F為邊BC的中點(diǎn)，所以通過中點(diǎn)倍長(zhǎng)法，即可通過延長(zhǎng)DF交AB的延長(zhǎng)線于G證明即可。這種方法具有一定的解題技巧，如果利用銳角三角函數(shù)，用參數(shù)表示圖形中的各條線段，能夠確定線段之間的關(guān)系，精簡(jiǎn)明了。

（三）用三角函數(shù)求圖形面積

如圖3，點(diǎn)D是△ABC邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不于點(diǎn)B重合），以BD、BF為領(lǐng)邊作平行四邊形BDEF，又AP（）BE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與 的面積之比為0。

解析：連接EP，可得E、F、P三點(diǎn)共線，由條件設(shè)AB=EP=4a，BD=EF=a，則PF=3a，過點(diǎn)A、P分別作AM⊥BC，PN⊥BC （見圖4），垂足M、N記∠ABC=∠PFC=a，則 AM=4asina，從而△ PBC的面積與△ABC面積之比為，故正確答案為D。

在初中階段，有關(guān)三角形的面積問題，一般分為兩類，一種是類似三角形的面積比等于相似比的平方，第二種是同底（或等高）的三角形面積比等于高（或底）之比。本題所求問題是同底的兩三角形面積之比，重點(diǎn)是要計(jì)算它們的高之比。本題求得E、F、P三點(diǎn)共線后，發(fā)現(xiàn)AB與FP之間不僅存在著位置關(guān)系，而且存在著數(shù)量關(guān)系，從而選擇三角函數(shù)表示。

三、三角函數(shù)的簡(jiǎn)化公式

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，簡(jiǎn)化公式是一大難點(diǎn)。無(wú)論是從教材還是教師口中都曾提及一個(gè)理念：奇變偶不變，符號(hào)看象限，但初中生對(duì)此的理解卻十分有限。因此，在此提出一種情況對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)化公式進(jìn)行理解[3]。

形如180°+α（或π+α）簡(jiǎn)化為α型。如圖5所示，需要簡(jiǎn)化的角為180°+α，可由角α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到。

由圖中可知，旋轉(zhuǎn)后的角在第三象限，且三角形A0X1與三角形A'0（-Y1）為全等三角形，所以 的坐標(biāo)為（-X1，-Y1）。由任意角的三角函數(shù)值可得：

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)具有很高的綜合性以及靈活性，能促使學(xué)生更加便捷的使用。初中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，學(xué)生很容易在數(shù)形結(jié)合的引導(dǎo)下，順利的解決問題，讓學(xué)生將具體思維與抽象思維向結(jié)合，進(jìn)一步拓展學(xué)生的空間想象力。

參考文獻(xiàn)

[1]朱文英. 三角函數(shù)在建筑力學(xué)中的應(yīng)用與反思——以《三角函數(shù)的應(yīng)用》一課為例[J]. 黑龍江科技信息，2016，21：22-23.

[2]林義祿. 淺談中職數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接措施[J]. 科技信息，2011，15：311+301.

[3]吳舒靜. 初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略分析[J]. 赤子（上中旬），2015，22：278.