周啟忠， 謝永樂， 徐娟

(1.宜賓學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，四川 宜賓 644000； 2.電子科技大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，四川 成都 611731)

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模擬電路的故障診斷與參數(shù)辨識(shí)代數(shù)方法

周啟忠1，2， 謝永樂2， 徐娟1

(1.宜賓學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，四川 宜賓 644000； 2.電子科技大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，四川 成都 611731)

針對模擬電路難以實(shí)現(xiàn)故障參數(shù)辨識(shí)的問題，從代數(shù)算法角度，提出一種基于主本征值和Frobenius范數(shù)的模擬電路故障診斷與參數(shù)辨識(shí)法。該方法把被測電路輸出響應(yīng)的采樣序列組成一個(gè)方陣；求解該方陣的主本征值和Frobenius范數(shù)；根據(jù)測前仿真獲得的每個(gè)可能發(fā)生故障的器件相對應(yīng)的主本征值和Frobenius范數(shù)變化趨勢線，以最小誤差為判據(jù)，確定最可能發(fā)生故障的器件，實(shí)現(xiàn)故障定位和參數(shù)辨識(shí)。實(shí)測結(jié)果表明：該方法可將故障定位和參數(shù)辨識(shí)一體化處理，與已有的幾種經(jīng)典算法相比，具有計(jì)算效率高、故障定位準(zhǔn)確率高、參數(shù)辨識(shí)精度高的優(yōu)點(diǎn)。

模擬電路；參數(shù)辨識(shí)；故障診斷；本征值；Frobenius范數(shù)；故障定位

當(dāng)今電子系統(tǒng)中80%的器件是數(shù)字的，但80%的故障發(fā)生在模擬器件上，而模擬電路的測試成本占總測試成本的80%[1]，所以模擬電路故障診斷的重要性日益突出。除故障定位外，在電路系統(tǒng)剩余壽命估計(jì)、故障辨識(shí)、元件失效機(jī)理分析等環(huán)節(jié)中，還需要對故障元件參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí)以提供更豐富的信息。目前，高質(zhì)量的模擬電路參數(shù)辨識(shí)方法鮮有報(bào)道。

早期的故障診斷方法可分為測前仿真法(simulation before test，SBT)和測后仿真法(simulation after test， SAT)[2]。近年來，人工智能算法和數(shù)字信號處理(digital signal processor， DSP)算法廣泛應(yīng)用到故障診斷上，出現(xiàn)了既不屬于SBT，也不屬于SAT的智能算法，如：小波分析法具有良好的時(shí)頻分辨率，但計(jì)算復(fù)雜[3-4]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力快速簡單地完成診斷過程，但需要充足的訓(xùn)練樣本[5]。支持向量機(jī)的學(xué)習(xí)策略靈活，但在選擇典型特征進(jìn)行訓(xùn)練分類上存在困難[6]。遺傳算法收斂性好，魯棒性高，計(jì)算時(shí)間少，但計(jì)算過程中的參數(shù)選擇依靠經(jīng)驗(yàn)確定，容易影響診斷效果[7]。模糊算法計(jì)算量小，缺點(diǎn)是依靠經(jīng)驗(yàn)獲得的算子和判斷準(zhǔn)則會(huì)降低故障診斷準(zhǔn)確率[8]。專家系統(tǒng)法能快速獲得最佳診斷結(jié)果，但依賴于知識(shí)的獲得和累積過程，需要較強(qiáng)的專家系統(tǒng)的學(xué)習(xí)能力和自適應(yīng)能力[9]。這些方法在模擬電路的故障檢測和故障定位方面取得了較好效果，但對模擬電路進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的效果有待進(jìn)一步提高。

代數(shù)學(xué)具有理論推導(dǎo)嚴(yán)密的特點(diǎn)，在實(shí)際工程問題的解決中得到廣泛應(yīng)用，為了獲得較好的模擬電路故障定位和參數(shù)辨識(shí)效果，本文從代數(shù)角度提出了模擬電路故障診斷與參數(shù)辨識(shí)的新方法。

1 診斷和參數(shù)辨識(shí)的代數(shù)方法原理

后面稱這個(gè)方陣為響應(yīng)矩陣A，它的行元素代表k倍下抽樣頻率的采樣值，列元素代表一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的連續(xù)采樣值。因此，響應(yīng)矩陣的元素能體現(xiàn)輸出響應(yīng)的變化，隨器件參數(shù)的變化而變化。記ΔY(nTs)為響應(yīng)矩陣A的元素的擾動(dòng)，矩陣擾動(dòng)理論中的Rouché′s理論[10]表明：矩陣的本征值是矩陣元素的連續(xù)函數(shù)。若矩陣A=(aij)∈Cn×n，定義變量

那么，蓋爾圓盤定理[10]證明了矩陣A的所有本征值λ(A)滿足:

(1)

式(1)表明矩陣本征值的變化范圍由矩陣的元素決定，矩陣元素變化會(huì)引起矩陣本征值隨之變化。Ostrowski定理[10]給出了矩陣本征值擾動(dòng)的上界與矩陣元素?cái)_動(dòng)量之間的關(guān)系，即

(2)

式中:λ′是矩陣(A+εB)的本征值，λ是矩陣A的本征值，ε是任意大于0的常數(shù)， n是矩陣的階。

式(1)和(2)表明：矩陣元素的變化量與矩陣本征值變化量之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。因?yàn)楸粶y電路的響應(yīng)矩陣元素受器件參數(shù)影響，所以器件參數(shù)與響應(yīng)矩陣的本征值之間具有一定的對應(yīng)關(guān)系。那么，利用通過測前仿真獲得響應(yīng)矩陣本征值隨故障器件參數(shù)變化而變化的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型后，根據(jù)實(shí)際電路輸出響應(yīng)矩陣的本征值，可算出實(shí)際電路的器件參數(shù)值，從而實(shí)現(xiàn)故障診斷和參數(shù)辨識(shí)的一體化處理。

n階方陣有n個(gè)本征值，把所有本征值都納入計(jì)算，會(huì)增加計(jì)算成本。如果只用一部分本征值進(jìn)行計(jì)算，又會(huì)丟失部分信息，降低故障診斷準(zhǔn)確率和參數(shù)辨識(shí)精度。另外，因?yàn)闇y試誤差的影響和被測信號的多樣性，即使響應(yīng)矩陣的元素全為實(shí)數(shù)，也可能存在非實(shí)數(shù)本征值而難以建立故障模型。如果直接用相應(yīng)矩陣本征值進(jìn)行故障診斷和參數(shù)辨識(shí)理論上可行，但實(shí)際效果不佳。

因?yàn)轫憫?yīng)矩陣A的元素隨被測電路中可診斷器件參數(shù)的變化而變化，為了解決響應(yīng)矩陣的本征值多而且本征值可能有虛部的問題，本文把響應(yīng)矩陣的主本征值和Frobenius范數(shù)聯(lián)合，進(jìn)行故障診斷與參數(shù)辨識(shí)。

量子力學(xué)理論表明可觀測物理量可以用一個(gè)厄密爾算符表示，并且該算符的主本征值是實(shí)數(shù)本征值[11]。另外，主本征值隨矩陣元素變化而變化的靈敏度較大。所以，用主本征值作為故障特征能獲得較好的參數(shù)辨識(shí)靈敏度，也能解決響應(yīng)矩陣的本征值存在虛部的問題。

矩陣的Frobenius范數(shù)‖A‖F(xiàn)(下文簡稱F范數(shù))可表示為

即F范數(shù)的大小由矩陣的所有元素ai，j共同決定，而ai，j隨器件參數(shù)變化而變化，所以，F(xiàn)范數(shù)隨器件參數(shù)的變化而變化，用F范數(shù)作為故障特征既能體現(xiàn)輸出響應(yīng)的變化，又能在一定程度上減少隨機(jī)誤差的影響。

可觀測物理量的響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值都是實(shí)數(shù)，被測電路的故障響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值均以被無故障響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值為中心上下偏移。被測電路的器件參數(shù)改變時(shí)，F(xiàn)范數(shù)和主本征值同時(shí)進(jìn)行相同變化的概率比其中只有一個(gè)量變化相同的概率小。所以，聯(lián)合響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值進(jìn)行故障診斷和參數(shù)辨識(shí)能獲得的故障診斷性能，比只用本征值或F范數(shù)作為故障特征獲得的故障診斷性能更好。

2 故障診斷和參數(shù)辨識(shí)的數(shù)學(xué)模型

把被測電路中n個(gè)待診斷的器件參數(shù)用n個(gè)向量x1，x2，…，xn組成的向量系X表示。設(shè)器件的標(biāo)稱值為(x1，0，x2，0，…，xn，0)，電路在j時(shí)刻的n個(gè)器件的實(shí)際參數(shù)狀態(tài)記為x1，j，x2，j，…，xn，j，那么電路在第j時(shí)刻對應(yīng)的m個(gè)輸出響應(yīng)觀測量表示為Yi，j，(i=1，2，…，m)，這里的m個(gè)輸出響應(yīng)觀測量既可以是一個(gè)測試點(diǎn)上的多個(gè)輸出響應(yīng)(如電壓、相位或頻率等)，又可以是多個(gè)測試點(diǎn)上的輸出響應(yīng)。被測電路在輸入激勵(lì)信號u=(u1，u2，…，ur)的作用下，輸出響應(yīng)矢量Yi，j可以表示為

Yi，j=fi，j(x1，j，x2，j，…，xn，j，u1，u2，…，ur)

(3)

從式(3)求解x1，j，x2，j，…，xn，j后，若發(fā)現(xiàn)其中某一xi，j偏離其標(biāo)稱值xi，0的范圍大于容差值上限，則該元件故障，故障參數(shù)為xi，j。當(dāng)電路的測試點(diǎn)或測試觀測量較少時(shí)，即當(dāng)m

考慮到實(shí)際電路發(fā)生故障往往是先從單個(gè)器件或單獨(dú)模塊開始，假設(shè)電路中的第i個(gè)器件的參數(shù)xi偏離標(biāo)稱值大于容差范圍，其余各元件的參數(shù)都在標(biāo)稱值的容差允許范圍內(nèi)，激勵(lì)信號u保持不變，則式(3)可近似表示為

Yi=fi(x1，0，x2，0，…，xi，…，xn，0)

(4)

式(4)中只有一個(gè)未知參數(shù)xi，可以降低計(jì)算復(fù)雜程度。但實(shí)現(xiàn)參數(shù)辨識(shí)還存在三個(gè)問題： 1)實(shí)測電路中xi的位置信息是未知的，這需要進(jìn)行更復(fù)雜的計(jì)算才有可能實(shí)現(xiàn)故障定位；2)受器件容差的影響，即使只有一個(gè)器件xi發(fā)生故障，器件參數(shù)實(shí)際值不等于(x1，0，x2，0，…，xi，…，xn，0)；3)函數(shù)fi(·)由電路結(jié)構(gòu)和元件特性確定，獲得準(zhǔn)確的fi(·)比較困難。

Li，j=V[xi，j]

(5)

(6)

(7)

(8)

3 減少容差影響的措施

3.1 減少容差對主本征值的影響

模擬器件的實(shí)際參數(shù)與標(biāo)稱值之間存在容差。要確保故障診斷方法的有效性，必須考慮容差的影響。

響應(yīng)矩陣A由被測電路輸出響應(yīng)決定，設(shè)故障參數(shù)集為X，則A可以看是有限維實(shí)歐幾里得空間X上的實(shí)對稱線性映射。對X的任意j維線性子空間S(滿足dimS=j)， X滿足以下j-1個(gè)線性條件：

(x，fi)=o，i=1，…，j-1，

(9)

式中：fi是A的第i個(gè)本征值所對應(yīng)的本征向量。根據(jù)：X的子空間在線性映射T下的像是U的子空間，如果dimU

式中：x∈X，標(biāo)量積(x，Ax)和(x，x)是雙線性映射函數(shù)，取A的本征值從小到大依次為λ1，λ2，…，λn，則滿足

(10)

因?yàn)閷θ我鈏≤j，都有λi≤λj，故由式(10)可得

(11)

根據(jù)式(10)和(11)得

(12)

不等式(12)說明響應(yīng)矩陣本征值的變化與器件參數(shù)x的變化之間具有較好的線性對應(yīng)關(guān)系，所以可以通過線性校正，減少容差對主本征值的影響。

3.2 減少容差對F范數(shù)的影響

(13)

(14)

4 故障診斷與參數(shù)辨識(shí)過程

為了便于理解，首先根據(jù)故障模型方程(13)和(14)，對被測電路中僅有兩個(gè)待診斷器件(分別記為器件1和器件2)的情況進(jìn)行介紹。

診斷原理如圖1所示(圖中虛線L1和L2表示與方程(13)對應(yīng)的F范數(shù)隨被診斷器件參數(shù)的變化而變化的兩條趨勢線。實(shí)線L3和L4表示與方程(14)對應(yīng)的主本征值隨被診斷器件參數(shù)的變化而變化的兩條趨勢線)。其中L1和L4是器件1的參數(shù)變化時(shí)響應(yīng)矩陣的一對F范數(shù)和主本征值曲線，L2和L3是器件2的參數(shù)變化時(shí)的另一對F范數(shù)和主本征值的變化曲線。L1～L4均通過仿真和線性校正獲得。圖中橫坐標(biāo)為器件參數(shù)歸一化值，所以沒有單位。采用歸一化值可把實(shí)際電路中不同類型的器件統(tǒng)一到一個(gè)模型上處理?？v坐標(biāo)為F范數(shù)和主本征值，也沒有單位。通過在如圖1所示的多對曲線上找到與被診斷電路輸出響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值最匹配的一對曲線來實(shí)現(xiàn)故障診斷和參數(shù)辨識(shí)的過程包括三個(gè)步驟。

圖1 診斷和辨識(shí)原理圖Fig.1 Diagnosis and identification diagram

3)故障定位和參數(shù)辨識(shí)。如果最可能發(fā)生故障的器件1的參數(shù)在其容差允許范圍內(nèi)，則電路無故障，否則，電路發(fā)生故障，故障定位結(jié)果為器件1故障，故障參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為步驟2)，由y1和曲線L1對應(yīng)的方程(14)求出器件1的參數(shù)x1。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

5.1 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用國際標(biāo)準(zhǔn)電路Tow-Thomas帶通濾波器[12]作為被仿真電路。該濾波器的原理電路和器件參數(shù)標(biāo)稱值如圖2所示。激勵(lì)信號是幅度為5 V，頻率為5 kHz的正弦電壓信號。無源器件的最大允許容差是標(biāo)稱參數(shù)的±5%，C1、R4和R5組成待診斷的故障集，選節(jié)點(diǎn)Vout為輸出響應(yīng)測試點(diǎn)，在3 GHz處理器、1GB隨機(jī)存取器的電腦上用Matlab工具軟件中進(jìn)行響應(yīng)信號處理。

圖2 Tow-Thomas帶通濾波器標(biāo)準(zhǔn)電路Fig.2 Tow-Thomas band-pass filter

參數(shù)器件1(C1)器件2(R4)器件3(R5)ai-0.0029-0.3184-1.4836bi0.3707-0.68834.3946ci2.02503.4020-0.5185a'i0.37785.8507-2.4321b'i1.4305-20.377513.3525c'i7.238423.5762-1.8741y2.39252.39252.3925y09.04569.04569.0456y'2.41432.41422.4141y'09.31789.31769.3177di2.04683.4237-0.4968d'i7.510623.8482-1.6021

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，保持激勵(lì)信號和采樣頻率125kHz不變，對3個(gè)被診斷的器件分別以8%的步進(jìn)從器件標(biāo)稱值的76%～124%改變的診斷結(jié)果如表2所示，表中↑表示器件故障類型為參數(shù)比標(biāo)稱值大，↓表示器件故障類型為參數(shù)比標(biāo)稱值小。診斷結(jié)果表明：21個(gè)參數(shù)狀態(tài)的故障定位全部正確，參數(shù)辨識(shí)的最大誤差為0.68%。

表2 故障定位和參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

5.2 實(shí)測電路結(jié)果

選取國際標(biāo)準(zhǔn)電路中的跳蛙低通濾波器電路作為實(shí)測電路[12]。電路中器件的標(biāo)稱值和電路結(jié)構(gòu)如圖3所示。濾波器的截止頻率是1.4 kHz。用信號源YB1603產(chǎn)生的正弦激勵(lì)信號頻率為1 kHz，幅度為6 V。Vout為響應(yīng)測試端，用NI公司USB-9201數(shù)據(jù)采集器獲取輸出響應(yīng)信號采樣值。

把器件C4、R4、R5和R7的參數(shù)分別在其標(biāo)稱值的70%～130%內(nèi)以3%的步進(jìn)變化的84種參數(shù)狀態(tài)作為故障集。計(jì)算得到的誤差判據(jù)ΔLi的結(jié)果如圖4所示。圖4表明：當(dāng)電路發(fā)生故障時(shí)，ΔLi中的最小元素與故障器件對應(yīng)，用ΔLi中的最小元素能準(zhǔn)確地進(jìn)行故障定位。故障定位結(jié)果和故障參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表3所示，84個(gè)故障集的故障定位全部正確，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果最大誤差為1.21%。結(jié)果表明，所提出的方法的故障定位和故障參數(shù)辨識(shí)精度高。

將本方法與近年提出的幾種方法進(jìn)行比較的結(jié)果如表5所示，比較結(jié)果表明本方法的計(jì)算時(shí)間少、參數(shù)辨識(shí)能力強(qiáng)。

圖3 跳蛙低通濾波器標(biāo)準(zhǔn)電路Fig.3 Leapfrog low-pass filter

圖4 誤差判據(jù)ΔLi的取值情況Fig.4 The results of error criterion ΔLi

器件實(shí)際值參數(shù)辨識(shí)結(jié)果定位結(jié)果C1R4R5R7(√)0.70000.70800.71120.71090.7104(√)0.73000.72880.73900.73290.7285(√)0.76000.76840.77030.76460.7682(√)0.79000.78480.79630.79940.7977(√)0.82000.83060.83110.82990.8308(√)0.85000.84350.84760.85550.8578(√)0.88000.87460.88990.89010.8910(√)0.91000.90470.92010.90040.9156(√)0.94000.93220.94760.93060.9344(√)0.97000.96320.99890.96230.9645(√)1.00000.99021.00450.99140.9966(√)1.03001.03991.03541.02091.0375(√)1.06001.06861.07121.05481.0678(√)1.09001.09941.08051.08241.0986(√)1.12001.13111.13011.12741.1145(√)1.15001.15781.16201.15981.1557(√)1.18001.17121.18961.18841.1879(√)1.21001.22091.23211.20781.2189(√)1.24001.24781.24471.23471.2499(√)1.27001.28011.27891.26121.2688(√)1.30001.29041.31051.30971.2385(√)

表4 不同方法的比較結(jié)果

6 結(jié)論

本文提出一種模擬電路故障診斷和參數(shù)辨識(shí)代數(shù)方法。仿真結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)得出以下結(jié)論：

1)利用響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值隨器件參數(shù)變化而變化的關(guān)系建立故障模型，可用線性補(bǔ)償?shù)姆椒p少容差影響，實(shí)現(xiàn)故障定位和參數(shù)辨識(shí)的一體化處理，能夠減少參數(shù)辨識(shí)的計(jì)算時(shí)間，降低測試成本。

2)聯(lián)合響應(yīng)矩陣的F范數(shù)和主本征值進(jìn)行故障診斷的準(zhǔn)確率和參數(shù)辨識(shí)精度較高。

3)由于滿足單故障診斷的方法可以推廣到多

故障診斷上，所以本方法可以通過增加測試點(diǎn)或劃分模糊故障集等方式進(jìn)行多故障診斷。

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Algebraic method for fault diagnosis and parametric identification of analog circuits

ZHOU Qizhong1，2， XIE Yongle2， XU Juan1

(1. School of Physics and Electronic Engineering， Yibin University， Yibin 644000， China; 2.School of Automation Engineering， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 611731， China)

To solve problems regarding fault parameter identification in analog circuits， a method for fault diagnosis and parametric identification of analog circuits based on dominant eigenvalues and Frobenius norm was proposed in the point of view of algebraic algorthm. A matrix was built using the sampled time series from the output of the circuit under test (CUT). The dominant eigenvalues and Frobenius norm corresponding to this matrix were obtained. According to the trend lines of the dominant eigenvalues and Frobenius norm of each component， which were obtained based on the simulation before test (SBT)， the component most likely to fail was identified. The faults were located and parameters were identified in terms of the least error criteria. Experimental results indicate that the proposed method can simultaneously locate the faults and identify the parameters. Compared with several known methods， the proposed method performs well in fault location and parameter identification and has lower computation costs.

analog circuit; parameter identification; fault diagnosis; eigenvalues; Frobenius norm; fault location

2016-01-25.

日期：2017-03-18.

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(2014CB744206)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61371049)；校博士基金項(xiàng)目(2016QD06).

周啟忠(1976-)， 男， 副教授； 謝永樂(1969-)， 男， 教授， 博士生導(dǎo)師.

周啟忠，E-mail：zhouxu0813@163.com.

10.11990/jheu.201601083

TP206

A

1006-7043(2017)04-0595-07

周啟忠， 謝永樂， 徐娟.模擬電路的故障診斷與參數(shù)辨識(shí)代數(shù)方法[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 38(4): 595-601.

ZHOU Qizhong， XIE Yongle， XU Juan. Algebraic method for fault diagnosis and parametric identification of analog circuits[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(4): 595-601.

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