孫康 陳金勇

（中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊，050081）

基于波段指數(shù)的快速高光譜圖像波段選擇方法

孫康1陳金勇1

（中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊，050081）

波段選擇在高光譜圖像降維處理領(lǐng)域具有十分重要的作用，可以提高高光譜圖像的分類精度。波段選擇本質(zhì)上是最優(yōu)波段的組合優(yōu)化問題，因而往往具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，限制了波段選擇技術(shù)在高光譜圖像中的應(yīng)用。本文提出了一個(gè)基于協(xié)方差矩陣的快速波段選擇方法，該方法波段選擇的目標(biāo)是具有最大協(xié)方差矩陣行列式的波段集合。利用本文提出的一個(gè)前向遞推迭代技巧和波段指數(shù)，該方法具有極快的計(jì)算速度。此外，本文提出的波段指數(shù)還具有指示波段選擇所需波段數(shù)目的能力。

高光譜圖像，降維，特征提取，波段選擇，協(xié)方差矩陣

一、引言

高光譜圖像具有較大的數(shù)據(jù)體量，一般包含數(shù)百個(gè)連續(xù)的窄波段，因此在傳輸、儲(chǔ)存、計(jì)算以及統(tǒng)計(jì)建模等方面帶來很大的挑戰(zhàn)[1]。降維是解決高光譜維數(shù)災(zāi)難問題的一個(gè)有效手段，因此近年來獲得越來越多的關(guān)注和研究。

廣義上，根據(jù)原始特征和提取特征之間的關(guān)系，高光譜降維方法可以分為兩大類型：特征提取和特征選擇（也稱波段選擇）。特征提取通過原始特征的函數(shù)映射（一般為線性函數(shù)）或組合獲得新的特征，典型的方法有主成分分析、最小噪聲分離以及獨(dú)立成分分析等。這類方法的缺點(diǎn)是由于新的特征是原始特征的變換，因此破壞了原始光譜特征的物理意義，使得提取的特征不具有物理意義[2]。

另外一種典型的高光譜降維方法是波段選擇。波段選擇與特征提取最大的不同在于，它是通過選擇原始特征的子集來達(dá)到降維的目的，并沒有產(chǎn)生新的特征。與特征提取相比，波段選擇有兩個(gè)主要的優(yōu)點(diǎn)：一是，波段選擇得到的特征具備更強(qiáng)的物理意義；而是波段選擇對于高光譜數(shù)據(jù)獲取（比如對于動(dòng)態(tài)可配置的傳感器）、數(shù)據(jù)傳輸和數(shù)據(jù)儲(chǔ)存都具有重要意義。

本質(zhì)上，波段選擇是一個(gè)組合優(yōu)化的問題，一般而言具有極高的計(jì)算復(fù)雜度。由于波段選擇的主要目的之一是降低高光譜圖像處理的計(jì)算負(fù)荷，如何盡量降低波段選擇本身的計(jì)算復(fù)雜度顯得尤為重要。目前已經(jīng)有較多的研究聚焦于降低波段選擇的計(jì)算復(fù)雜度。比如，楊河等[3]提出使用GPU實(shí)現(xiàn)一個(gè)基于相似度量的波段選擇方法[4]；耿修瑞等提出了利用體積梯度降低波段選擇的計(jì)算復(fù)雜度[5],；孫康等提出了基于典型成分分析的波段選擇方法ECA[6]，著重研究了波段選擇算法的計(jì)算復(fù)雜度問題[7]。

本文提出了基于協(xié)方差矩陣的波段選擇方法FCMBS。FCMBS波段選擇的目標(biāo)是具有最大協(xié)方差矩陣行列式的波段集合。利用本文發(fā)現(xiàn)的一個(gè)迭代規(guī)律，F(xiàn)CMBS不僅大大降低了行列式的計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)還可以輔助確定波段選擇所需波段數(shù)目。

二、波段選擇準(zhǔn)則函數(shù)

波段選擇通常包含兩個(gè)典型步驟：準(zhǔn)則函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）確定以及子集搜索。準(zhǔn)則函數(shù)波段選擇的依據(jù)，定量地描述了波段選擇的條件；子集搜索是選擇使得目標(biāo)函數(shù)具有最優(yōu)取值的波段集合。目前有很多的波段選擇準(zhǔn)則函數(shù)，其中最經(jīng)典的一個(gè)是由Sheffield提出的最大橢球體體積準(zhǔn)則（MEV）)[8]，作者同時(shí)證明了MEV等價(jià)于協(xié)方差矩陣的行列式。更近一步地，已經(jīng)證明，選擇協(xié)方差矩陣行列式最大的波段子集完全等價(jià)于選擇具有最大聯(lián)合熵的波段子集。MEV準(zhǔn)則函數(shù)如下：

盡管具有完備的理論基礎(chǔ)以及出色的應(yīng)用效果，MEV的一個(gè)重要缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度極高。MEV原本是用于多光譜圖像波段選擇的方法，從7個(gè)波段中選擇3個(gè)波段用于彩色合成，總共個(gè)波段組合。這種情況下，使用窮舉搜索的方法可以很快地得到最優(yōu)解。然而對高光譜圖像而言，窮舉搜索的計(jì)算復(fù)雜度是不可能完成的。比如AVIRIS圖像具有224個(gè)波段，如果從中選擇15個(gè)波段，則總共可能的波段組合共計(jì)個(gè)，這樣的計(jì)算復(fù)雜度對于目前的計(jì)算機(jī)而言是不可能完成的。解決這個(gè)問題的方法是使用搜索方法得到次優(yōu)解，達(dá)到效率與效果的折中。常用的搜索方法包括序貫前向搜索（SFS）以及序貫后向搜索（SBS）。對MEV而言，由于涉及到頻繁的協(xié)方差矩陣矩陣，即使使用SFS進(jìn)行搜索，所需要的計(jì)算復(fù)雜度也是難以接受的。

三、子集搜索和選擇指數(shù)

本節(jié)介紹本文提出的FCMBS算法，F(xiàn)CMBS使用MEV的準(zhǔn)則函數(shù)，但具有極低的計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)具有輔助確定所需的波段數(shù)目的能力。FCMBS波段選擇的準(zhǔn)則函數(shù)與（1）相同，忽略常數(shù)項(xiàng)該準(zhǔn)則可以簡化為：

FCMBS使用SFS進(jìn)行子集搜索。SFS是貪婪算法的一種，更具體地，它是一個(gè)“自下而上”的算法，開始選擇一個(gè)波段，而后逐個(gè)增加選擇的波段，直至波段的數(shù)目符合要求。FCMBS需要先選擇一個(gè)波段作為初始解。本文選擇具有最大方差的波段作為入選的第一個(gè)波段，剩下的個(gè)波段依次作為第二個(gè)波段，這樣共產(chǎn)生波段個(gè)雙波段組合。根據(jù)式（2），這個(gè)雙波段組合中，具有最大協(xié)方差矩陣行列式的組合作為入選組合。這 個(gè)過程一直重復(fù)，直至入選的波段數(shù)目達(dá)到預(yù)先設(shè)置的數(shù)目。

可以看出，第 和 階協(xié)方差矩陣 和 具有如下迭代關(guān)系：

從式（6）中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)已經(jīng)選擇 個(gè)波段是，第 個(gè)入選的波段是使得取最大值的波段。由于對于剩余的波段而言是一個(gè)常數(shù)，因此是項(xiàng)決定了下一個(gè)入選的波段。由于該項(xiàng)定量描述了波段的入選可能性，本文將項(xiàng)定義為波段的選擇指數(shù)（SI）。SI的使用使得FCMBS無需計(jì)算復(fù)雜的協(xié)方差矩陣，因此計(jì)算復(fù)雜度大大降低。同時(shí)本文發(fā)現(xiàn)SI隨著入選波段數(shù)目的增加呈單調(diào)下降，這個(gè)規(guī)律可以用來確定波段選擇所需的波段數(shù)目。SI的這個(gè)性質(zhì)將于第5節(jié)詳細(xì)探討。

四、計(jì)算復(fù)雜度分析

本節(jié)主要對比分析FCMBS以及直接采用SFS的MEV算法（SFS-MEV）的理論計(jì)算復(fù)雜度。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，的行列式在幾何意義上等于所構(gòu)成的高維橢球體的體積，以此類推，相當(dāng)于和構(gòu)成的高維橢球體體積。根據(jù)式（6）所示和的關(guān)系，可以看出，選擇指數(shù)事實(shí)上就是構(gòu)成的超平面的距離。圖1給出了三維時(shí)的情況，假定現(xiàn)已選擇了兩個(gè)波段，這兩個(gè)波段構(gòu)成的橢球體是有軸1和軸2張成的橢圓。根據(jù)FCMBS的最大行列式（等價(jià)于最大體積）規(guī)則，第三個(gè)選擇的波段就是能與前兩個(gè)波段構(gòu)成最大橢球體積的波段，也就是距離前兩個(gè)波段構(gòu)成的橢圓最遠(yuǎn)的波段。

綜上，可以看出FCMBS與SFS-MEV的本質(zhì)區(qū)別在于，F(xiàn)CMBS只需計(jì)算距離，而SFS-MEV需要計(jì)算體積，因此FCMBS具有極大的效率優(yōu)勢。經(jīng)過簡單的定量分析可以得到，F(xiàn)CMBS需要的浮點(diǎn)操作次數(shù)而SFS-MEV需要的浮點(diǎn)操作次數(shù)為從理論上，F(xiàn)CMBS的計(jì)算速度是SFSMEV的倍。

五、試驗(yàn)分析

為了定量評估FCMBS方法的實(shí)際性能，本文使用由美國AVIRIS傳感器獲取的真實(shí)的高光譜數(shù)據(jù)-Indian Pines數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)空間大小為145×145像素，包含220個(gè)波段，波段范圍是400-2500nm。由于具有像素級的地面真值并且在互聯(lián)網(wǎng)可以免費(fèi)下載，該數(shù)據(jù)廣泛應(yīng)用于各類遙感試驗(yàn)。根據(jù)地面調(diào)查結(jié)果，這塊數(shù)據(jù)共包含16種不同的地物類型，如圖2所示。

5.1 波段選擇精度與計(jì)算時(shí)間比較

利用虛擬維數(shù)方法，可以確定這塊數(shù)據(jù)的維數(shù)為16，因此本試驗(yàn)將波段選擇數(shù)目設(shè)置為16。為了對FCMBS的性能進(jìn)行評價(jià)分析，本試驗(yàn)選擇IDBS[9]，MVPCA[10]以及SFS-MEV作為對比方法。分別比較各個(gè)波段選擇方法的波段選擇精度和計(jì)算時(shí)間。波段選擇精度的比較一般采用波段選擇后的分類精度進(jìn)行比較，本文使用SVM方法進(jìn)行分類，訓(xùn)練樣本根據(jù)圖2（b）所示的地面真值進(jìn)行隨機(jī)選取，訓(xùn)練樣本比例為10%，SVM核函數(shù)為RBF函數(shù)。波段選擇時(shí)間采取10次平均的方法計(jì)算得到。各個(gè)波段選擇方法獲取的分類精度和計(jì)算時(shí)間如圖3所示的雙軸圖。

從圖3中可以看出，本文方法FCMBS和SFS-MEV的分類精度一致并且最高（66.5%），因?yàn)槎叩牟ǘ芜x擇結(jié)果相同，但FCMBS的計(jì)算時(shí)間僅為0.12s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SFS-MEV的計(jì)算時(shí)間（4.91s），其加速比約為40倍。與IDBS和MVPCA相比，F(xiàn)CMBS的波段選擇結(jié)果具有更高的分類精度，分別比IDBS和MVPCA高出10.7百分點(diǎn)和4.2百分點(diǎn)。同時(shí)，F(xiàn)CMBS的計(jì)算時(shí)間也優(yōu)于這兩個(gè)波段選擇方法，對IDBS和MVPCA的計(jì)算時(shí)間加速比分別為16.6和3.7。

整體看來，對傳統(tǒng)方法相比，F(xiàn)CMBS能夠獲得更高的分類精度，同時(shí)具有明顯的加速效果。

5.2 SI的進(jìn)一步探討

對于選擇指數(shù)SI，本文還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，也即隨著選擇波段數(shù)目的增加，SI成單調(diào)下降趨勢，如圖3所示。從圖中可以看出，當(dāng)波段數(shù)目較小時(shí)，SI下降速度很快，而后逐步趨緩。在SI曲線中，有一個(gè)明顯的拐點(diǎn)（大約是16波段，圖中紅點(diǎn)所示），這個(gè)拐點(diǎn)與虛擬維數(shù)的結(jié)論基本一致。在拐點(diǎn)以前，SI下降速度非常迅速，而在拐點(diǎn)之后，SI趨于平緩。因此，SI可以看出是度量波段的重要程度的指標(biāo)，最重要的波段第一個(gè)被選出，而后選出的波段依次下降，當(dāng)拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)候，意味著已經(jīng)選擇了足夠多的波段。這樣SI事實(shí)上可以輔助確定所需的波段數(shù)目。

六、結(jié)論

本文提出了一個(gè)新的波段選擇方法FCMBS，該方法的選擇準(zhǔn)則是最大協(xié)方差矩陣行列式。利用本文新定義的選擇指數(shù)SI，F(xiàn)CMBS不僅大大減少了計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)可以輔助確定具有波段選擇所需的波段數(shù)目。試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的高效性以及確定波段數(shù)目的能力。

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河北省遙感中心《2014年度河北省海洋環(huán)境遙感監(jiān)測》項(xiàng)目入選中國遙感應(yīng)用協(xié)會(huì)科技進(jìn)步獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

根據(jù)《關(guān)于確定中國遙感應(yīng)用協(xié)會(huì)科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)辦法》（暫行）,中國遙感應(yīng)用協(xié)會(huì)2016年6月面向各分支機(jī)構(gòu)和會(huì)員單位征集申報(bào)項(xiàng)目；8月27日至28日組織中國遙感應(yīng)用協(xié)會(huì)科技進(jìn)步獎(jiǎng)評審委員會(huì)審查申報(bào)項(xiàng)目，形成了獲獎(jiǎng)候選項(xiàng)目建議；9月至12月經(jīng)征求各候選項(xiàng)目申報(bào)單位意見，形成一等獎(jiǎng)候選項(xiàng)目1項(xiàng)、二等候選項(xiàng)目3項(xiàng)和三等獎(jiǎng)候選項(xiàng)目5項(xiàng)。2017年3月3日己將將上述九項(xiàng)候選項(xiàng)目的相關(guān)情況提交給中國遙感應(yīng)用協(xié)會(huì)科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)委員會(huì)各位委員審議。河北省遙感中心《2014年度河北省海洋環(huán)境遙感監(jiān)測》項(xiàng)目入選三等獎(jiǎng)并已公示。該項(xiàng)目應(yīng)用于區(qū)域性海洋水色水溫環(huán)境要素遙感檢測技術(shù)、河北海洋海冰遙感檢測與精細(xì)化海冰分類技術(shù)、區(qū)域性秦皇島微微藻褐遙感檢測及赤潮的預(yù)警值。項(xiàng)目成果被河北省海洋環(huán)境監(jiān)測中心、河北省海洋預(yù)報(bào)臺(tái)、昌黎黃金海岸國家級自然保護(hù)區(qū)、秦皇島港股份有限公司、秦皇島海洋環(huán)境監(jiān)測中心站等多家單位應(yīng)用。