☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 程建剛

數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課的“再思考”

☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 程建剛

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題教學(xué).習(xí)題講評(píng)一方面可以有效地提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，另一方面還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)已學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)、相關(guān)概念和運(yùn)算規(guī)則的理解，對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)有著積極的意義.但遺憾的是，有相當(dāng)數(shù)量的教師把獲得正確的解題結(jié)果、方法作為解題教學(xué)的終極目標(biāo)，好像是“題目解決了，任務(wù)就完成了”，而對(duì)于解題中出現(xiàn)的一些細(xì)節(jié)問(wèn)題缺乏關(guān)注與深入的思考.

最近，筆者觀(guān)摩了一堂二輪復(fù)習(xí)習(xí)題講評(píng)課，上課內(nèi)容是“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”，下面是其中一道題目的教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄.

例題：已知函數(shù)（fx）=-x3+|x-a|，x∈［0，1］.

（2）求（fx）的最大值.

解：（1）略.

①當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=-x3-x+a，x∈［0，1］，f（x）單調(diào)遞減，

所以［f（x）］max=f（0）=a.

②當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=-x3+x-a，x∈［0，1］，

③當(dāng)0≤a≤1時(shí)，分兩種情況討論如下：

由于分類(lèi)討論過(guò)程比較復(fù)雜，學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，這道題的講解耗費(fèi)了將近一節(jié)課.教師先幫助學(xué)生了解題意，然后分析方法，再對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)的板演，最后，對(duì)解題思想方法進(jìn)行了的總結(jié)，如圖1所示.

圖1

對(duì)于這道題目本身，教師講解已經(jīng)做到透徹到位，但對(duì)習(xí)題講評(píng)課來(lái)說(shuō)似乎還有些美中不足.

一、例題選擇要科學(xué)合理

例題選擇的好壞直接影響習(xí)題講評(píng)的有效性.不同的題目具有不同的作用，有的是為了理解和鞏固新知識(shí)；有的重在揭示某類(lèi)問(wèn)題的一般思路和方法；有的重在訓(xùn)練解題技能；有的是為了發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維等.教師在選擇習(xí)題時(shí)要根據(jù)教學(xué)目的選擇恰當(dāng)?shù)睦}.不僅如此，例題的難度還應(yīng)該貼近學(xué)生實(shí)際，教師要分析學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，然后在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)進(jìn)行例題的選擇，例題太難、太簡(jiǎn)單都不利于習(xí)題講評(píng)課的展開(kāi).

從本節(jié)課來(lái)看，一沒(méi)有變式，二沒(méi)有拓展，僅僅解了一道題目，雖然其中涉及了比較復(fù)雜的分類(lèi)討論，但從整堂課來(lái)看內(nèi)容還是過(guò)于單薄.受制于學(xué)生的認(rèn)知水平，教師不敢增加題目的容量也在情理之中，但反過(guò)來(lái)分析，既然學(xué)生接受能力不足，這樣的題目設(shè)計(jì)是否有必要？有沒(méi)有必要設(shè)置“三個(gè)層次”分類(lèi)討論，難度如果降低點(diǎn)，“兩個(gè)層次”的分類(lèi)討論是否已經(jīng)足夠？如果非要研究這類(lèi)問(wèn)題，那么在此之前是否應(yīng)該做好思維鋪墊工作，比如，從簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，然后通過(guò)變式，逐步進(jìn)入正題，這樣遠(yuǎn)比讓學(xué)生直接面對(duì)巨大的思維障礙好得多.

二、思想方法要一般化

解題不是目的，而是獲得數(shù)學(xué)技能與方法的一種手段.題目中所涉及的思想方法往往具有普遍適用性，因此，遠(yuǎn)比題目本身更具教育價(jià)值.以上述題目為例，其中所表現(xiàn)出的核心思想就是分類(lèi)討論思想，而在實(shí)際教學(xué)中，分類(lèi)討論思想往往是學(xué)生的“軟肋”，分類(lèi)遺漏、重復(fù)更是很多學(xué)生“心中永遠(yuǎn)的痛”.因此，教師要把握機(jī)會(huì)揭開(kāi)分類(lèi)討論思想的神秘面紗，在本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可以考慮增加如下內(nèi)容.

首先，明確分類(lèi)討論思想的實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生有足夠的心理準(zhǔn)備.分類(lèi)討論思想是序化思想的一種體現(xiàn).根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)，然后逐類(lèi)進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的結(jié)論.分類(lèi)討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設(shè)條件的解題策略.

其次，明確分類(lèi)原則，指導(dǎo)學(xué)生正確分類(lèi).分類(lèi)中需要遵循標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分類(lèi)完整不遺漏、分類(lèi)過(guò)程不重復(fù)等原則.分類(lèi)討論的關(guān)鍵是確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，確定分界點(diǎn).當(dāng)分類(lèi)討論需并列多次討論時(shí)，應(yīng)找出各次分類(lèi)的分界點(diǎn)，再確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；當(dāng)分類(lèi)討論需多層討論時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意逐層討論，或根據(jù)各層的分界點(diǎn)重新確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

最后，提煉分類(lèi)討論思想的解題步驟.一般來(lái)說(shuō)，分類(lèi)討論思想應(yīng)用分三步走，第一步是明確標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)分類(lèi)；第二步是歸納結(jié)論，合并同類(lèi)；第三步是把握整體，優(yōu)化分類(lèi).對(duì)這三個(gè)步驟的揭示遠(yuǎn)比“對(duì)a分三個(gè)層次討論”的總結(jié)更具有指導(dǎo)意義.

上述做法的最大好處在于：在解題的同時(shí)避免“就題論題”的局限性，學(xué)生可以獲得對(duì)分類(lèi)討論思想的一般化理解，并且有利于解題思路的自然形成.

三、解題方法要進(jìn)一步優(yōu)化

在上述解題過(guò)程中，一開(kāi)始雖然進(jìn)行了四種情況的分類(lèi)，但在最后結(jié)論中被歸結(jié)為兩種情況.這背后是否存在著“隱情”？可惜教師對(duì)這一細(xì)節(jié)并沒(méi)有給予應(yīng)有的關(guān)注.一般情況下，分類(lèi)討論情景由繁到簡(jiǎn)的突變往往預(yù)示著有更好、更快捷的解題方法的存在.這是教師進(jìn)行優(yōu)化解題方法，開(kāi)展一題多解的契機(jī).

圖2

解題的過(guò)程應(yīng)是解題方法與思維不斷優(yōu)化的過(guò)程，分類(lèi)討論確實(shí)是重要的思想方法，但在具體操作中，應(yīng)該盡量做到少討論或者不討論，因?yàn)榉诸?lèi)討論過(guò)于花費(fèi)時(shí)間，如何提高分類(lèi)討論的效率是解題中必須要思考的問(wèn)題.

四、要從解題中獲得復(fù)習(xí)線(xiàn)索

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)通常是以專(zhuān)題形式進(jìn)行的.“專(zhuān)題復(fù)習(xí)”有利于學(xué)生提升思維，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).在實(shí)際操作中，復(fù)習(xí)“專(zhuān)題”的設(shè)計(jì)往往存在著內(nèi)容過(guò)于寬泛、缺乏針對(duì)性的弊端.因此，正確設(shè)計(jì)專(zhuān)題，使復(fù)習(xí)專(zhuān)題更加符合學(xué)生的實(shí)際需求是保證二輪復(fù)習(xí)有效性的關(guān)鍵.那么，復(fù)習(xí)專(zhuān)題如何確定呢？從解題中獲得有用的復(fù)習(xí)線(xiàn)索是一個(gè)重要的途徑.

以本節(jié)課為例，題目中顯然涉及“|x-a|”類(lèi)函數(shù)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題，形式新穎、綜合性強(qiáng)、思維要求高，其中含參絕對(duì)值二次函數(shù)是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題不僅要求深刻理解題意，還要求具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和推理論證能力.

案例含參絕對(duì)值二次函數(shù)問(wèn)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)

例1（1）已知函數(shù)f（x）=x|x-2|-a有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）已知函數(shù)f（x）=x|x-a|在［2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例2已知函數(shù)f（x）=|x|（x-a）.

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

例3設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求函數(shù)f（x）的最小值.

意圖：三道例題的設(shè)計(jì)由易到難，層層鋪墊，環(huán)環(huán)相扣，基本上涵蓋了含參絕對(duì)值二次函數(shù)問(wèn)題的所有類(lèi)型.通過(guò)問(wèn)題的剖析與解決，學(xué)生了解并掌握這類(lèi)函數(shù)圖像（疊加）的基本特征與規(guī)律.

因此，在講解上述例題之前最好先對(duì)“|x-a|”類(lèi)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)化的研究，或者在后續(xù)的復(fù)習(xí)中補(bǔ)充這一內(nèi)容，然后在“|x-a|”類(lèi)函數(shù)問(wèn)題的認(rèn)知基礎(chǔ)上重新審視上述問(wèn)題的解題策略.這樣一來(lái)，上課效率就會(huì)得到進(jìn)一步提升，也不會(huì)出現(xiàn)一節(jié)課只講一道題的尷尬.

習(xí)題講評(píng)課中的“細(xì)節(jié)”不僅決定了課堂教學(xué)的有效性，更為重要的是，這些細(xì)節(jié)可以成為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，成為教學(xué)瓶頸的突破口.