福建省廈門市外國語學(xué)校湖里分校(361006)

徐玲玲●

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《軸對稱》易錯題剖析與經(jīng)驗總結(jié)

福建省廈門市外國語學(xué)校湖里分校(361006)

徐玲玲●

軸對稱是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，也是中考的重要考點之一，但是很多學(xué)生對該概念理解不清，并不能適時總結(jié)，導(dǎo)致各種各樣的問題出現(xiàn).

軸對稱；易錯題；總結(jié)

一、性質(zhì)模糊

例1 如右圖所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB⊥PC，D是AP上的一點，求證：∠BDP=∠CDP.

證明 ∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC

∴∠PAB=∠PAC(到角兩邊距離相等的點在這個角平分線上).

∵∠APB+∠PAB=90°,∠APC+∠PAC=90°,∴∠APB=∠APC.

總結(jié)：可以明顯看出，上述例題給出圖形為軸對稱圖形，該題可通過兩三角形全等的解題方式來求證，上述證明過程使用的軸對稱的性質(zhì)，然而通過角平分線的逆定理——“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”，得到“相等角對應(yīng)相等距離”的結(jié)論，從而進(jìn)行題目的證明.

二、正確使用中垂線性質(zhì)

例2 如右圖所示，AD垂直平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證DE=DF.

證明 ∵AD是BC的中垂線,∴B、C關(guān)于AD對稱.又∵A、D在直線AD上,∴A和它本身對稱，D也和它本身對稱,∴△ABD和△ACD關(guān)于AD對稱,故∠BAD和∠CAD能夠重合.∴∠BAD=∠CAD.又∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF.

總結(jié)：要證明DE=DF，只需要證明AD是∠BAC的平分線，而AD是BC中垂線可得B、C兩點關(guān)于AD對稱，故△ABD和△ACD關(guān)于AD對稱，則可得∠BAD=∠CAD.不能一看到中垂線就想先證明線段兩端距離相等，而是要認(rèn)真分析題意，看清該題到底需要什么結(jié)論.

3．等腰三角形與等邊三角形性質(zhì)

例3 如圖(1)，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線相交于點O.若點C沿EF(E在BC邊上，F(xiàn)在AC邊上)折疊后與點O恰好重合，則∠CEF的度數(shù)是( ).

A.56° B.50° C.46° D.44°

解 如圖(2)，連接OB、OC，由“三線合一”知AO⊥BC，從而有OB=OC.

總結(jié)：上述例題圍繞著等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形性質(zhì)來出題，在解題步驟上具有一定的固定性，需要掌握三大解題關(guān)鍵：①等邊對等角；②三角形一外角等于其他不相鄰內(nèi)角和；③根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列出相應(yīng)方程.

四、掌握輔助線的添加方法

例4 如右圖，AD為△ABC的中線，且DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F.求證：BE+CF>EF.

(遇到角平分線可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解題)

同理可證：CF=NF.

在△EFN中，EN+FN>EF(三角形兩邊之和大于第三邊),∴BE+CF>EF.

∴CM=BE(全等三角形對應(yīng)邊相等).

又∵∠BDE=∠ADE,∠ADF=∠CDF,而∠BDE+∠ADE+∠ADF+∠CDF=180°,

∴∠ADE+∠ADF=90°,即∠EDF=90°,

∴∠FDM=∠EDF=90°.

在△CMF中，CF+CM>EF，∴BE+CF>EF.

例5 如下圖，△ABC中，AB=AC，E在CA的延長線上，∠AEF=∠AFE.求證：EF⊥BC.

證法一 作BC邊上的高AD，D為垂足.

∵AB=AC,AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三線合一).又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∠AEF=∠AFE,∴∠CAD=∠E,∴AD∥EF.∵AD⊥BC,∴EF⊥BC.

證法三 過E作EH∥BC交BA的延長線于H.

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,∴∠H=∠B=∠C=∠AEH.∵∠AEF=∠AFE,∠H+∠AFE+∠FEH=180°,∴∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°,∴∠AEF+∠AEH=90°,即∠FEH=90°.∴EF⊥EH,又EH∥BC,∴EF⊥BC.

總結(jié)：上述兩個例題分別圍繞著角平分線性質(zhì)與等腰三角形性質(zhì)來出題，性質(zhì)的應(yīng)用是解決一些問題的關(guān)鍵，在解題過程中可通過輔助線的添加從而拓展問題內(nèi)部間關(guān)系.在解題過程中不同輔助線的添加將有不一樣的解題過程，所以也具有一定的優(yōu)劣性.

本文對軸對稱問題的幾個易錯點進(jìn)行了總結(jié)，望在學(xué)生們的學(xué)習(xí)過程中有一定的啟發(fā)作用.

[1]章穎．圖形與幾何系列:平移旋轉(zhuǎn)和軸對稱教學(xué)研究[M]．北京：教育科學(xué)出版社，2014.

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