利用帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù)構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線

李軍成, 宋來(lái)忠

(1. 湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院, 湖南 婁底 417000; 2. 三峽大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 宜昌 443002)

利用帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù)構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線

李軍成1, 宋來(lái)忠2

(1. 湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院, 湖南 婁底 417000; 2. 三峽大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 宜昌 443002)

利用現(xiàn)有勢(shì)函數(shù)構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線,此過(guò)渡曲線無(wú)法兼具擬高階連續(xù)性與形狀可調(diào)性. 針對(duì)這一問(wèn)題, 巧妙地從一種帶形狀參數(shù)的曲線模型出發(fā), 構(gòu)造一類帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù), 并研究該勢(shì)函數(shù)的性質(zhì). 所構(gòu)造的有理勢(shì)函數(shù)具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型, 不僅能使過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù), 而且還可通過(guò)修改形狀參數(shù)的值調(diào)整過(guò)渡曲線的形狀. 實(shí)例表明,通過(guò)調(diào)整有理勢(shì)函數(shù)的次數(shù)及形狀參數(shù)的取值可構(gòu)造出滿足不同擬連續(xù)性且形狀不同的過(guò)渡曲線, 以滿足實(shí)際應(yīng)用需要.

勢(shì)函數(shù); 形狀參數(shù); Metaball技術(shù); 過(guò)渡曲線; 形狀調(diào)整

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):307-313

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中, 曲線造型一直以來(lái)都是重要的研究課題. 隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展, 人們往往需要改變曲線的形狀以滿足實(shí)際工程的需要. 因此, 帶形狀參數(shù)的曲線造型方法逐漸成為研究熱點(diǎn). 這些方法的主要目的是在曲線模型中引入形狀參數(shù), 并通過(guò)修改形狀參數(shù)的取值實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線形狀的調(diào)整. 例如, 帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[1-2], 帶形狀參數(shù)的B樣條曲線[3-4], 帶形狀參數(shù)的三角曲線[5-6]等.

在曲線造型中, 過(guò)渡曲線的構(gòu)造在許多實(shí)際工程問(wèn)題中有著十分廣泛的應(yīng)用[7-9]. 為滿足過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)要求, 李凌豐等[10]提出了一種基于勢(shì)函數(shù)與Metaball技術(shù)構(gòu)造過(guò)渡曲線的方法, 該法采用WYVILL等定義的六次多項(xiàng)式勢(shì)函數(shù)構(gòu)造能光滑連接2條曲線的過(guò)渡曲線, 雖然對(duì)被連接曲線的種類沒有限制, 但所構(gòu)造的過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處的連續(xù)性較低，且其形狀無(wú)法調(diào)整. 為解決此問(wèn)題, 高暉等[11]構(gòu)造了2類勢(shì)函數(shù): 第1類為可使過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù)的多項(xiàng)式勢(shì)函數(shù); 第2類為可使過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬C1連續(xù)且具有形狀可調(diào)性的混合三角勢(shì)函數(shù). 文獻(xiàn)[11]構(gòu)造的第1類勢(shì)函數(shù)，雖然提高了過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處的擬連續(xù)性, 但仍然無(wú)法調(diào)整其形狀; 構(gòu)造的第2類勢(shì)函數(shù)，雖然過(guò)渡曲線的形狀可調(diào), 但在端點(diǎn)處的擬連續(xù)性較低. 另外, 2類勢(shì)函數(shù)構(gòu)造過(guò)程較為煩瑣，且均無(wú)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型, 因此需要重新構(gòu)造滿足不同情形的勢(shì)函數(shù). 與文獻(xiàn)[10-11]類似, 劉華勇等[12-14]研究了基于調(diào)配函數(shù)的過(guò)渡曲線構(gòu)造與連續(xù)性問(wèn)題, 并給出了可使過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處滿足擬Ck(k=0, 1, 2)連續(xù)的調(diào)配函數(shù). 注意到為了使過(guò)渡曲線在滿足一定連續(xù)性的條件下同時(shí)具有形狀可調(diào)性, 文獻(xiàn)[12-14]將2條被過(guò)渡曲線取為帶形狀參數(shù)的曲線模型. 由于所選取的2條被過(guò)渡曲線均帶有形狀參數(shù), 所以所構(gòu)造的過(guò)渡曲線在不改變幾何連續(xù)性的情形下，可通過(guò)其所帶的形狀參數(shù)進(jìn)行形狀調(diào)整. 然而, 在大量實(shí)際過(guò)渡曲線構(gòu)造問(wèn)題中, 2條被過(guò)渡曲線的模型往往并不特定. 為此, 李軍成等[15]構(gòu)造了一類帶參數(shù)的多項(xiàng)式勢(shì)函數(shù), 并研究了該勢(shì)函數(shù)在構(gòu)造過(guò)渡曲線中的應(yīng)用. 雖然文獻(xiàn)[15]提出的方法對(duì)2條被過(guò)渡曲線的種類沒有限制, 而且還可利用勢(shì)函數(shù)所帶的參數(shù)對(duì)過(guò)渡曲線的形狀進(jìn)行調(diào)整, 但所構(gòu)造的過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處僅能滿足擬C2連續(xù), 不適合連續(xù)性要求更高的場(chǎng)合.

為滿足更高要求的過(guò)渡曲線設(shè)計(jì), 本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上, 巧妙地從一種帶形狀參數(shù)的曲線模型出發(fā), 構(gòu)造一類帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù), 該勢(shì)函數(shù)不僅具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型, 而且可使過(guò)渡曲線同時(shí)具有擬Ck(k≥1)連續(xù)性和形狀可調(diào)性.

1 問(wèn)題的描述

在解決大量實(shí)際工程問(wèn)題的過(guò)程中, 常常需要將數(shù)段零散的曲線段連接成一個(gè)整體, 且要求不破壞曲線段的光滑度, 基于 Metaball 的過(guò)渡曲線構(gòu)造就能滿足這一要求[10]. 文獻(xiàn)[10-11]描述了基于Metaball構(gòu)造過(guò)渡曲線的問(wèn)題: 給定平面上相交于點(diǎn)C的2條參數(shù)曲線P(t)與Q(t), 2條曲線的端點(diǎn)分別記為A與B, 如圖1所示, 希望構(gòu)造1條能光滑連接A和B點(diǎn)的過(guò)渡曲線R(t).

圖1 構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線Fig.1 Construction of transition curves basedon Metaball technique

針對(duì)上述問(wèn)題,文獻(xiàn)[11]給出了過(guò)渡曲線的方程：

(1)

其中，0≤t≤1,f(t)為勢(shì)函數(shù).

由式(1)可知,為使所構(gòu)造的過(guò)渡曲線在2個(gè)端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù),勢(shì)函數(shù)f(t)(0≤t≤1)在端點(diǎn)處須滿足

(2)

由于構(gòu)造過(guò)渡曲線R(t)的目的是使曲線P(t)連續(xù)平滑地過(guò)渡到Q(t),因此過(guò)渡曲線R(t)在靠近曲線P(t)處應(yīng)與P(t)具有相似的形狀,而在靠近曲線Q(t)處則應(yīng)與Q(t)具有相似的形狀.由式(1)可知,當(dāng)給定曲線P(t)與Q(t)時(shí),過(guò)渡曲線R(t)的形狀完全由勢(shì)函數(shù)f(t)決定,故勢(shì)函數(shù)的選取是構(gòu)造過(guò)渡曲線的關(guān)鍵.本文的主要目的就是構(gòu)造一類同時(shí)具有多種特性的勢(shì)函數(shù),并將其用于構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線.

2 勢(shì)函數(shù)的構(gòu)造及其性質(zhì)

2.1 勢(shì)函數(shù)的構(gòu)造

構(gòu)造勢(shì)函數(shù)的主要思想:首先選取一種恰當(dāng)?shù)膸螤顓?shù)的曲線模型,然后利用曲線模型在端點(diǎn)處滿足性質(zhì)來(lái)構(gòu)造具有某種特定要求的勢(shì)函數(shù).

文獻(xiàn)[16]構(gòu)造了一種帶5個(gè)參數(shù)k,ωi,αi(i=1,2)的曲線,其表達(dá)式為

(3)

其中，0≤t≤1,Vi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)為給定的控制頂點(diǎn),bi(t)(i=0,1,2,3)為調(diào)配函數(shù),滿足

(4)

其中,

R(t)= (1-t)k+1+ω1(1-t)k+1t+

ω2(1-t)tk+1+tk+1,

整數(shù)k≥1,實(shí)數(shù)ωi>0(i=1,2),α1∈[0,1),α2∈(0,1].

由式(3)定義的曲線在端點(diǎn)處滿足

(5)

其中，1≤i≤k,Ai是與i,ω1,α1有關(guān)的常數(shù),Bi是與i,ω2,α2有關(guān)的常數(shù).

顯然,式(3)對(duì)應(yīng)的函數(shù)可表示為

f(t)=b0(t)y0+b1(t)y1+b2(t)y2+b3(t)y3，

(6)

其中,bi(t)(i=0,1,2,3)為由式(4)定義的4個(gè)調(diào)配函數(shù),yi∈R(i=0,1,2,3).

由式(5)可知,式(6)定義的函數(shù)在端點(diǎn)處滿足

(7)

為了使所構(gòu)造的過(guò)渡曲線在2個(gè)端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù),由式(2)和(7)則可得

(8)

由式(8)可得

(9)

將式(9)代入式(6),并令ω1=ω2=ω,可定義如下一類帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù).

定義1 對(duì)于整數(shù)k≥1,實(shí)數(shù)ω>0,稱關(guān)于變量t(0≤t≤1)的函數(shù)

(10)

為帶形狀參數(shù)ω的有理勢(shì)函數(shù).

2.2 勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)

帶形狀參數(shù)ω的有理勢(shì)函數(shù)fk(t)具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1 端點(diǎn)性:勢(shì)函數(shù)fk(t)在端點(diǎn)處滿足

fk(0)=1,fk(1)=0,

證明 由勢(shì)函數(shù)fk(t)的構(gòu)造過(guò)程可知,端點(diǎn)性顯然成立.

注1 由性質(zhì)1及式(1)可得R(0)=P(0),R(1)=Q(1).此即表明,在端點(diǎn)A處,僅曲線P(t)對(duì)過(guò)渡曲線R(t)有影響;而在端點(diǎn)B處,僅曲線Q(t)對(duì)過(guò)渡曲線R(t)有影響.

另外,由性質(zhì)1和式(1)并經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo)可得R(i)(0)=P(i)(0),R(i)(1)=Q(i)(1),i=1,2,…,k.表明勢(shì)函數(shù)fk(t)可使過(guò)渡曲線R(t)在兩端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck(k≥1)連續(xù).例如,使過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處分別達(dá)到擬C1,C2,C3連續(xù)的勢(shì)函數(shù)為

性質(zhì)2 中點(diǎn)性:fk(0.5)=0.5.

證明 由式(10)可得

注2 由性質(zhì)1及式(1)可得

表明在t=0.5處,曲線P(t)與Q(t)對(duì)過(guò)渡曲線R(t)有相同的影響.

性質(zhì)3 對(duì)稱性:fk(t)+fk(1-t)≡1.

證明 由式(10)可得

(11)

故由式(10)與式(11)易得

fk(t)+fk(1-t)≡1.

性質(zhì)4 單調(diào)性:固定k與ω時(shí),勢(shì)函數(shù)fk(t)關(guān)于變量t單調(diào)遞減.

證明 令

固定k與ω時(shí),由式(10)經(jīng)計(jì)算可得

(12)

其中，

(13)

當(dāng)k≥1,ω>0時(shí),由式(13)可得

(14)

圖2 ω=2時(shí)的勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)Fig.2 The potential function fk(t)(k=1,2,3) with ω=2

注3 由性質(zhì)4及式(1)可知,隨著t(0≤t≤1)的增大,曲線P(t)對(duì)過(guò)渡曲線R(t)的作用逐漸減小,而曲線Q(t)對(duì)過(guò)渡曲線R(t)的作用則逐漸增大.

性質(zhì)5 形狀可調(diào)性:固定k,當(dāng)0≤t≤0.5時(shí),勢(shì)函數(shù)fk(t)關(guān)于參數(shù)ω單調(diào)遞減;當(dāng)0.5

證明 令

固定k與t,由式(10)，計(jì)算得

(15)

圖3 參數(shù)ω取不同值時(shí)的勢(shì)函數(shù)f1(t)Fig.3 The potential function f1(t) with different values of the parameter ω

注4 由性質(zhì)5知,可通過(guò)修改參數(shù)ω(ω>0)的值調(diào)整勢(shì)函數(shù)fk(t)的形狀.于是,由式(1)知,當(dāng)曲線P(t)與Q(t)保持不變時(shí),過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處滿足擬Ck(k≥1)連續(xù)的情形下，可通過(guò)修改參數(shù)ω的值對(duì)其形狀進(jìn)行調(diào)整.

綜上所述,本文所構(gòu)造的有理勢(shì)函數(shù)fk(t)不僅與文獻(xiàn)[10-15]中的勢(shì)函數(shù)或調(diào)配函數(shù)性質(zhì)完全相同,而且還具有以下特性:

(1)可令過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck(k≥1)連續(xù).

(2)具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型.

相對(duì)于文獻(xiàn)[10-15]給出的勢(shì)函數(shù)或調(diào)配函數(shù),本文構(gòu)造的有理勢(shì)函數(shù)fk(t)具有如下優(yōu)勢(shì):

(1)文獻(xiàn)[10]所采用的勢(shì)函數(shù)雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,但所構(gòu)造的過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處僅滿足擬C1連續(xù),且無(wú)法調(diào)整過(guò)渡曲線的形狀.而有理勢(shì)函數(shù)fk(t)不僅可令過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù),而且過(guò)渡曲線的形狀還可通過(guò)所帶的形狀參數(shù)ω進(jìn)行調(diào)整.

(2)文獻(xiàn)[11]所構(gòu)造的2k+1次多項(xiàng)式勢(shì)函數(shù)雖然可令過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù),但無(wú)法調(diào)節(jié)過(guò)渡曲線的形狀,且滿足不同連續(xù)性要求的勢(shì)函數(shù)都需要通過(guò)求解方程組重新獲得.而有理勢(shì)函數(shù)fk(t)不僅具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型,而且在令過(guò)渡曲線在端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù)的情形下仍可通過(guò)修改形狀參數(shù)ω的值實(shí)現(xiàn)對(duì)過(guò)渡曲線形狀的調(diào)整.

(3)文獻(xiàn)[11]所構(gòu)造的幾類三角混合勢(shì)函數(shù)雖然可令過(guò)渡曲線具有形狀可調(diào)性,但過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處僅滿足擬C1連續(xù).而有理勢(shì)函數(shù)fk(t)不僅可實(shí)現(xiàn)過(guò)渡曲線的形狀可調(diào),而且還令過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck連續(xù).

(4)雖然文獻(xiàn)[12-14]所構(gòu)造的調(diào)配函數(shù)可令過(guò)渡曲線同時(shí)具有形狀可調(diào)性和在兩端點(diǎn)處滿足擬Ck(k=0,1,2)連續(xù)性,但都是將兩被過(guò)渡曲線取為特定的帶形狀參數(shù)的曲線.而利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)構(gòu)造過(guò)渡曲線時(shí),不僅實(shí)現(xiàn)了形狀可調(diào)和擬Ck連續(xù),而且兩被過(guò)渡曲線可取為任意參數(shù)曲線.

(5)文獻(xiàn)[15]所構(gòu)造的多項(xiàng)式勢(shì)函數(shù)，不僅對(duì)兩被過(guò)渡曲線的種類沒有限制,而且還可通過(guò)勢(shì)函數(shù)中所帶的參數(shù)調(diào)整過(guò)渡曲線的形狀,但過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處僅滿足擬C2連續(xù).而有理勢(shì)函數(shù)fk(t)不僅對(duì)兩被過(guò)渡曲線的種類沒有限制,而且在令過(guò)渡曲線在兩端點(diǎn)處達(dá)到擬Ck(k≥1)連續(xù)的情形下還可通過(guò)勢(shì)函數(shù)所帶的參數(shù)對(duì)其形狀進(jìn)行調(diào)整.

3 應(yīng)用實(shí)例

給出以下幾種情形下,利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)構(gòu)造基于Metaball過(guò)渡曲線的實(shí)例.

(1)直線與直線間的過(guò)渡曲線

設(shè)兩直線P(t)與Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時(shí),分別利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構(gòu)造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過(guò)渡曲線，如圖4所示.

圖4 直線與直線間的過(guò)渡曲線Fig.4 The transition curve between straight lines

(2)直線與圓弧間的過(guò)渡曲線

設(shè)直線P(t)與圓弧Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時(shí),分別利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構(gòu)造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過(guò)渡曲線，如圖5所示.

圖5 直線與圓弧間的過(guò)渡曲線Fig.5 The transition curve between straight line and arc

(3)圓弧與圓弧間的過(guò)渡曲線

設(shè)兩圓弧P(t)與Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時(shí),分別利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構(gòu)造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過(guò)渡曲線，如圖6所示.

圖6 圓弧與圓弧間的過(guò)渡曲線Fig.6 The transition curve between arcs

(4)直線與曲線間的過(guò)渡曲線

設(shè)直線P(t)與曲線Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時(shí),分別利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構(gòu)造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過(guò)渡曲線，如圖7所示.

圖7 直線與曲線間的過(guò)渡曲線Fig.7 The transition curve between straight line and curve

(5)圓弧與曲線間的過(guò)渡曲線

設(shè)圓弧P(t)與曲線Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時(shí),分別利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構(gòu)造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過(guò)渡曲線，如圖8所示.

圖8 圓弧與曲線間的過(guò)渡曲線Fig.8 The transition curve between arc and curve

(6)曲線與曲線間的過(guò)渡曲線

設(shè)兩曲線P(t)與Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時(shí),分別利用有理勢(shì)函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構(gòu)造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過(guò)渡曲線，如圖9所示.

圖9 曲線與曲線間的過(guò)渡曲線Fig.9 The transition curve between curves

上述實(shí)例表明,利用本文提出的帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù)構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線時(shí),可通過(guò)選取勢(shì)函數(shù)的次數(shù)及形狀參數(shù)值獲得連續(xù)的、形狀不同的過(guò)渡曲線,過(guò)渡曲線形狀自然,且均可光滑地連接2條被過(guò)渡曲線,能滿足不同的實(shí)際應(yīng)用需求.

4 結(jié) 語(yǔ)

為了滿足更高要求的過(guò)渡曲線設(shè)計(jì),本文巧妙地利用一種帶形狀參數(shù)的曲線模型，構(gòu)造了一類帶形狀參數(shù)的有理勢(shì)函數(shù).所構(gòu)造的勢(shì)函數(shù)不僅具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型,而且在利用該勢(shì)函數(shù)構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線時(shí),可令過(guò)渡曲線達(dá)到擬Ck(k≥1)連續(xù),還可通過(guò)修改形狀參數(shù)值調(diào)整過(guò)渡曲線的形狀.

[1]YANLL,LIANGQF.AnextensionoftheBéziermodel[J]. Applied Mathematics and Computation,2011,218(6):2863-2879.

[2] BASHIR U, ABBSA M, ALI J M. TheG2andC2rational quadratic trigonometric Bézier curve with two shape parameters with applications[J]. Applied Mathematics and Computation,2013,219(20):10183-10197.

[3] 王文濤,汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的均勻B樣條[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2004,16(6):783-788. WANG W T, WANG G Z. Uniform B-spline with shape parameter[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics,2004,16(6):783-788.

[4] 左傳桂,汪國(guó)昭.多形狀參數(shù)的四階均勻B樣條曲線設(shè)計(jì)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2007,34(4):401-404. ZUO C G, WANG G Z. Curve design of multi-parameter uniform B-spline blending function of order four[J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition,2007,34(4):401-404.

[5] HAN X L, ZHU Y P. Curve construction based on five trigonometric blending functions[J]. BIT Numerical Mathematics,2012,52(4):953-979.

[6] 徐迎博,喻德生.帶形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線形狀分析[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,40(1):35-41. XU Y B, YU D S. Shape analysis of quadratic trigonometric polynomial Bézier curves with a shape parameter[J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition,2013,40(1):35-41.

[7] 王健立,畢合春,劉奎豐.滾齒加工的齒輪齒根過(guò)渡曲線[J].機(jī)械傳動(dòng),2013,37(1):82-86. WANG J L, BI H C, LIU K F. Tooth root fillet curve of gear by hobbling[J]. Journal of Mechanical Transmission,2013,37(1):82-86.

[8] 郭蓓,趙遠(yuǎn)揚(yáng),李連生,等.旋葉式壓縮機(jī)的氣缸型線研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2003,37(3):256-259. GUO B, ZHAN Y Y, LI L S, et a1. Research on cylinder profile of rotary vane compressor[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University,2003,37(3):256-259.

[9] 宋立權(quán),趙學(xué)科,李智成,等.任意缸體旋葉式壓縮機(jī)的葉片型線設(shè)計(jì)理論研究及應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2011,47(15):143-148. SONG L Q, ZHAO X K, LI Z C, et a1. Study and application of the designing theory of the vane profile for any rotary vane compressor[J]. Journal of Mechanical Engineering,2011,47(15):143-148.

[10] 李凌豐,譚建榮,趙海霞.基于Metaball的過(guò)渡曲線[J].中國(guó)機(jī)械工程,2005,16(6):483-486. LI L F, TAN J R, ZHAO H X. Construction method of transition curve based on Metaball technique[J]. China Mechanical Engineering,2005,16(6):483-486.

[11] 高暉,壽華好.勢(shì)函數(shù)的構(gòu)造及基于Metaball的過(guò)渡曲線[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2015,27(5):900-906. GAO H, SHOU H H. Construction of potential function and transition curve based on Metaball technique[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics,2015,27(5):900-906.

[12] 劉華勇,張大明,李璐.基于參數(shù)連續(xù)HCBézier-like曲線的過(guò)渡曲線的構(gòu)造[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(1):69-74. LIU H Y, ZHANG D M, LI L. Constructing of blending HC Bézier-like curve preserving continuity[J]. Pure and Applied Mathematics,2011,27(1):69-74.

[13] 劉華勇,張大明,李璐,等.幾何連續(xù)的Bézier-like曲線的形狀調(diào)配[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,47(3):51-55. LIU H Y, ZHANG D M, LI L, et al. Shape blending Bézier-like curve with geometric continuity[J]. Journal of Shandong University: Natural Science,2012,47(3):51-55.

[14] 劉華勇,段小娟,張大明,等.基于三角Bézier-like的過(guò)渡曲線構(gòu)造[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,40(1):42-46. LIU H Y, DUAN X J, ZHANG D M, et al. Constructing of blending trigonometric Bézier-like curve[J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition,2013,40(1):42-46.

[15] 李軍成,宋來(lái)忠,劉成志.帶參數(shù)的多項(xiàng)式勢(shì)函數(shù)與構(gòu)造基于Metaball的過(guò)渡曲線[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào),2016,21(7):893-900. LI J C, SONG L Z, LIU C Z. The polynomial potential function with a parameter and transition curve based on Metaball technology[J]. Journal of Image and Graphics,2016,21(7):893-900.

[16] 嚴(yán)蘭蘭,韓旭里.形狀及光滑度可調(diào)的自動(dòng)連續(xù)組合曲線曲面[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2014,26(10):1654-1662. YAN L L, HAN X L. Automatic continuous composite curve and surface with adjustable shape and smoothness[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics,2014,26(10):1654-1662.

Construction of transition curves based on Metaball technique using rational potential function with a shape parameter.

LI Juncheng1, SONG Laizhong2

(1.CollegeofMathematicsandFinances,HunanUniversityofHumanities,ScienceandTechnology,Loudi417000,HunanProvince,China; 2.CollegeofScience,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,HubeiProvince,China)

Using the existing potential functions to construct transition curve based on Metaball technique, it can not have both quasi high order continuity and shape adjustability. To solving this problem, a rational potential function with a shape parameter is constructed ingeniously from a curve with shape parameters. Some properties of the rational potential function are studied. The rational potential function is expressed as a unified mathematical model, which can not only make the transition curve achieve quasiCkcontinuity at the end points, but also adjust the shape of the transition curve by modifying the value of the shape parameter. Some examples showed that the transition curves with different continuities and shapes could be constructed by changing the degree and the shape parameter of the rational potential function, which could be used to meet different needs of the practical application.

potential function; shape parameter; Metaball technique; transition curve; shape adjustment

2016-01-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171181);湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目(14B099).

李軍成(1982-),ORCID：http://orcid.org/0000-0002-1904-4068，男,博士,副教授,主要從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究，E-mail:lijuncheng82@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.011

TP 391

A

1008-9497(2017)03-307-07