幫你歸納—冪函數(shù)圖象

云南省紅河州蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

蘇保明●

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幫你歸納—冪函數(shù)圖象

云南省紅河州蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

蘇保明●

冪函數(shù)是初等函數(shù)的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是高考命制題型的重要內(nèi)容，其中主要體現(xiàn)在對(duì)冪函數(shù)圖象的考查，而高考題呈現(xiàn)方式卻是對(duì)冪函數(shù)與其他函數(shù)圖象的綜合考查.由于冪函數(shù)圖象的多樣性和復(fù)雜性，導(dǎo)致給同學(xué)們帶來學(xué)習(xí)上的一些困難，為了幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí)冪函數(shù)的圖象，本文對(duì)冪函數(shù)的圖象進(jìn)行了綜合歸納，希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

知識(shí)回顧：形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)，所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過定點(diǎn)(1，1).冪函數(shù)隨著α的不同，其定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，從而其圖象也隨之發(fā)生變化，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得出圖象可歸納為以下幾類：

一、當(dāng)α>1時(shí)

特例：(1)畫y=x2的圖象(如圖1)；(2)畫y=x3的圖象(如圖2)；

(3)畫y=x3/2的圖象(如圖3).

歸納 (1)當(dāng)α=2,4,6,8,…，即α為大于1的偶數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)，且單調(diào)遞增，圖象為拋物線凹型；因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可畫出其在第二象限內(nèi)的圖象(形狀大致與圖1相近).(2)當(dāng)α=3,5,7,9,…，即α為大于1的奇數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)，且單調(diào)遞增，圖象為拋物線凹型；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可畫出其在第三象限內(nèi)的圖象(形狀大致與圖2相近).(3)當(dāng)α為大于1的分?jǐn)?shù)，且分母是偶數(shù)、分子是奇數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)，且單調(diào)遞增，圖象為拋物線凹型；因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有偶次方根，所以其函數(shù)只在第一象限內(nèi)有圖象(形狀大致與圖3相近).(4)當(dāng)α為大于1的分?jǐn)?shù)，且分母是奇數(shù)、分子是偶數(shù)(如y=x4/3)時(shí)，函數(shù)圖象的形狀大致與圖1相近.(5)當(dāng)α為大于1的分?jǐn)?shù)，且分母與分子都是奇數(shù)(如y=x5/3)時(shí)，函數(shù)圖象的形狀大致與圖2相近.

二、當(dāng)0<α<1時(shí)

特例：(1)畫y=x2/3的圖象(如圖4)；(2)畫y=x1/3的圖象(如圖5).

(3)畫y=x1/2的圖象(如圖6).

歸納 (1)當(dāng)0<α<1的分?jǐn)?shù)，且分母是奇數(shù)、分子是偶數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)，且單調(diào)遞增，圖象為拋物線凸型；因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可畫出其在第二象限內(nèi)的圖象(形狀大致與圖4相近).

(4)當(dāng)0<α<1的分?jǐn)?shù)，且分子是奇數(shù)、分母是偶數(shù)(y=x3/4)時(shí)，函數(shù)圖象的形狀大致與圖6相近.

(5)當(dāng)0<α<1的分?jǐn)?shù)，且分子與分母都是奇數(shù)(y=x3/5)時(shí)，函數(shù)圖象的形狀大致與圖5相近.

三、當(dāng)α<0時(shí)

特例：(1)畫y=x-1的圖象(如圖7)；(2)畫y=x-2的圖象(如圖8)；

(3)畫y=x-3/2的圖象(如圖8).

歸納 (1)當(dāng)α=-2,-4,-6,-8,…，即a為小于0的偶數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且單調(diào)遞減，圖象為雙曲線型；因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可畫出其在第二象限內(nèi)圖象(形狀大致與圖7相近).

(2)當(dāng)α=-1,-3,-5,-7,-9,…，即a為小于0的奇數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減，圖象為雙曲線型；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可畫出其在第三象限內(nèi)的圖象(形狀大致與圖8相近).

(3)當(dāng)α是負(fù)分?jǐn)?shù)，且分子是奇數(shù)、分母是偶數(shù)時(shí).在第一象限內(nèi)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且單調(diào)遞減，圖象為雙曲線型.因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有偶次方根，所以其函數(shù)只在第一象限內(nèi)有圖象(形狀大致與圖9相近).

(4)當(dāng)α是負(fù)分?jǐn)?shù)，且分子是偶數(shù)、分母是奇數(shù)(如y=x-2/3)時(shí)，函數(shù)圖象的形狀大致與圖7相近.

(5)當(dāng)α是負(fù)分?jǐn)?shù)，且分子與分母都是奇數(shù)(如y=x-5/3)時(shí)，函數(shù)圖象的形狀大致與圖8相近.

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