例談利用對稱法解題的三種技巧

湖南省衡陽幼兒師范學(xué)校(421008)

丁白英●

?

例談利用對稱法解題的三種技巧

湖南省衡陽幼兒師范學(xué)校(421008)

丁白英●

對稱法是一種富有創(chuàng)造性的思維活動, 本文通過舉例的方法,介紹了在數(shù)學(xué)解題中恰當利用對稱的思想對三角、代數(shù)或幾何問題在內(nèi)部進行靈活轉(zhuǎn)化，會收到意想不到的效果.該方法打破了常規(guī)的數(shù)學(xué)解題思路,通過觀察、聯(lián)想,使復(fù)雜的問題簡單化,對學(xué)生解答數(shù)學(xué)難題,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有幫助.

對稱法;換元;結(jié)構(gòu);證明

一、利用對稱法對題設(shè)部分實施均值換元

例2 求函數(shù)Z=xy(x>0,y>0)滿足條件x+y=1的最大值.

二、利用對稱法對結(jié)論部分實施均值換元

分析 直接證明無從下手，觀察變量a,b,c可知：它們在條件及要證明的結(jié)論式中具有對稱性.

二、利用對稱法實施添補所求式的對稱式

有些數(shù)學(xué)問題，表面上看不具有對稱性，但用對稱的眼光去觀察、審視，通過形、式添補造成對稱，可得到巧妙解法.

例5 設(shè)a,b(a>b)是方程x2+x-1=0的兩實根，

求a4-3b的值.

例6 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

解 設(shè)x=sin10°sin30°sin50°sin70°,y=cos10°cos30°cos50°cos70°,

三、利用對稱法實施對稱坐標法

有些數(shù)學(xué)問題，若能洞察到問題所具有的對稱性，根據(jù)有關(guān)點的對稱性進行對稱坐標法可以簡化運算，特別是對一些解析幾何的問題會收到意想不到的效果.

求過點A(2，1)的弦P1P2的中點P的軌跡方程.

例8 直線l與圓相切，切點M恰為直線l交雙曲線(x-1)2-y2=1所得弦AB的中點，求直線l的方程.

解 設(shè)M(x,y),A(x-m,y-n),B(x+m,y+n).

總之,用對稱性解題的關(guān)鍵是敏銳地抓住事物在某一方面的對稱性，這些對稱性往往就是通往答案的捷徑,利用對稱法分析解決數(shù)學(xué)問題，可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)，直接抓住問題的實質(zhì)，出奇制勝，快速簡便地求解問題．

G632

B

1008-0333(2017)13-0036-02