動(dòng)態(tài)問題中存在性問題的解法攻略

張福寬

摘要：新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)生解決問題的要求越來越高，而要正確解決這些問題，就要求學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的總結(jié)與概括，并理解與學(xué)會(huì)正確運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)；中學(xué)數(shù)學(xué)；存在性問題；解題技巧

一直以來，數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)問題都以中考的壓軸題形式出現(xiàn)，而這些動(dòng)態(tài)問題解決與否就成為中考數(shù)學(xué)成績能不能提高的關(guān)鍵。

從教多年，本人對(duì)動(dòng)態(tài)問題有一定的了解，也總結(jié)出一些自己的解決方法。動(dòng)態(tài)問題中的靈魂是數(shù)形結(jié)合，而數(shù)形結(jié)合的載體是圖形變化，精髓是函數(shù)，最終結(jié)果是方程。很多學(xué)生在解題過程中對(duì)直接計(jì)算沒有多大的問題，但完成第一、第二問后，遇到存在性問題時(shí)就沒有思路了，只能是聽得懂老師的講解，而到自己解題時(shí)還是一頭霧水，沒有思路。其實(shí)存在性問題的分析是有規(guī)律、有步驟的，掌握了規(guī)律和步驟后，再分析問題時(shí)就會(huì)有明確的方向性，下面我就把這五個(gè)步驟詳細(xì)說明一下：

一、轉(zhuǎn)換特性為已知

也就是把要求證的特.『生當(dāng)作一個(gè)已知條件。一般情況下老師在講題時(shí)學(xué)生是體會(huì)不到這個(gè)步驟的。

二、試畫模擬圖形

這是一個(gè)很關(guān)鍵的步驟，也就是說將（一）中的特.『生存在的圖形的大致位置、形狀畫出來，在畫圖時(shí)一定要力求精確，因?yàn)槲覀兊姆治鏊悸肪褪窃趫D的指引下形成的。當(dāng)遇到畫不出圖時(shí)怎么辦呢？那就需要從動(dòng)的起點(diǎn)開始，一點(diǎn)一點(diǎn)地按照題干中動(dòng)的要求并進(jìn)，當(dāng)遇到特殊點(diǎn)（性質(zhì)發(fā)生變化的點(diǎn)）時(shí)要特別注意特性是否發(fā)生了變化。還有就是畫著畫著就畫不下去了，這時(shí)就需要回到你能準(zhǔn)確把握的臨界點(diǎn)處，再繼續(xù)向前探究。

三、確定一個(gè)與線段有關(guān)的等量關(guān)系

第三步是解決問題的核心步驟，也是一個(gè)連續(xù)的推理過程，題中要求存在的特性可以千差萬別，如t為何值時(shí)三角形是等腰三角形，求一個(gè)角與另一個(gè)角相等，兩個(gè)三角形相似等很多種問法，但是不管題中如何提問，我們都要有一個(gè)方向，就是把這種關(guān)系轉(zhuǎn)換成和線段有關(guān)的等量關(guān)系，例如，在處理坐標(biāo)系兩條動(dòng)線段相等時(shí)，我們通常是以這兩條動(dòng)線段為斜邊，構(gòu)成直角邊橫平豎直的直角三角形，然后再證兩個(gè)直角三角形全等，從而得出兩個(gè)三角形中橫直角邊相等或豎直角邊相等，也就是說，通過全等的運(yùn)用，把一對(duì)線段相等的問題轉(zhuǎn)換成另一對(duì)線段的相等。這對(duì)相等的線段也就是一個(gè)等量關(guān)系。這種方法可以解決：平行四邊形的存在性問題，等腰梯形的存在性問題等有關(guān)線段相等的問題。提到線段相等的問題，最有代表性的就是等腰三角形的問題了，歸納一下等腰三角形問題的解法有兩種：（1）按解題方式可分為幾何方法和代數(shù)方法；（2）按動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、三個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

下面我以動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為例說明一下解題方法：

1.當(dāng)構(gòu)成三角形的頂點(diǎn)中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)（設(shè)定點(diǎn)分別為A、B）：這時(shí)我們先做“兩圓一中垂”，也就是分別以兩定點(diǎn)為圓心，以兩定點(diǎn)確定的線段長為半徑作圓，再做這條定線段的垂直平分線，這樣就把一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)所有與這兩定點(diǎn)所組成等腰三角形的點(diǎn)動(dòng)畫出來了，其中以A為圓心的圓上的任意一點(diǎn)c（除B處）與AB連接時(shí)都能成為以A為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，以B為圓心的圓同A，在AB垂直平分線上的點(diǎn)（除AB中點(diǎn)處）的每一個(gè)點(diǎn)與A、B連結(jié)都能形成以AB為底的等腰三角形，在等量關(guān)系獲得過程中，代數(shù)方法、幾何方法并用，其中代數(shù)方法要求各頂點(diǎn)坐標(biāo)必須能夠準(zhǔn)確應(yīng)用同一個(gè)變量和數(shù)字表示，再利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出各邊長度，兩兩相等，列出三個(gè)方程，依次解出即可。當(dāng)頂點(diǎn)不能用同字母表示或表示出現(xiàn)根號(hào)時(shí)，就不能計(jì)算，這時(shí)我們就用幾何方法，由這對(duì)相等的邊開始推理，進(jìn)而得到一對(duì)新的相等線段作為等量關(guān)系，最常見的就是“三線合一”的應(yīng)用，在這里不做詳細(xì)敘述。

2.當(dāng)構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中出現(xiàn)兩點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)、一個(gè)點(diǎn)固定的情況時(shí)，多數(shù)情況是應(yīng)用幾何方法解決，也就是認(rèn)真畫圖，推導(dǎo)新的等量關(guān)系式構(gòu)造全等的直角三角形法。

3.當(dāng)構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在運(yùn)動(dòng)時(shí)，這時(shí)多數(shù)情況下是用代數(shù)方法來解決。

在實(shí)際解題中，根據(jù)問法也有幾個(gè)大的分類。如（1）等腰三角形問題；（2）相似問題；（3）垂直或直角三角形問題；（4）平行四邊形問題；（5）梯形問題；（6）幾何方法求最短問題；（7）面積的比例問題；（8）所屬問題；（9）軸對(duì)稱問題；（10）幾何計(jì)算問題等。

四、代入解方程

也就是（三）中得到的等量關(guān)系中的各個(gè)量，用題中所給的數(shù)字、字母或自己設(shè)的字母表示出來，這樣我們就得到一個(gè)方程。

五、解之并檢驗(yàn)

對(duì)上一步得到的方程進(jìn)行解方程，在正確解出根之后，還要對(duì)所得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，一般分為四種情況：（1）方程根本無解，說明假設(shè)存在的特性不存在。（2）有解，但與題干中的限制條件或自己分段的區(qū)間值矛盾，說明假設(shè)不存在，要舍去。（3）有解，但與生活實(shí)際矛盾，例如，求出的時(shí)間變量為負(fù)值，也說明假設(shè)不存在，要舍去。（4）有解，且適合所有限制條件，即得到所求的值。

以上就是存在性問題的五步分析法，如果需要概括一下的話，也就是說困擾學(xué)生多年的存在性問題的解法實(shí)際就是列一個(gè)與線段長度有關(guān)的方程，通過方程來證實(shí)某種特殊情況不存在，存在的話，變量值是多少。

以上為個(gè)人從教多年的一點(diǎn)心得，希望能給廣大學(xué)生一點(diǎn)兒幫助，也歡迎各位同行批評(píng)指正。