張君霞

【摘 要】小學(xué)四、五年級學(xué)生讀圖水平相對較高，自己畫圖的水平較低?？磮D寫分?jǐn)?shù)時，由面積模型的圖形寫分?jǐn)?shù)比線段模型的圖形寫分?jǐn)?shù)的正確率要高。同是面積圖形，“拆分圖”比“擴(kuò)充圖”學(xué)生更能理解兩個分?jǐn)?shù)的相等。教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)多元圖式、引導(dǎo)畫圖驗(yàn)證、鼓勵主動溝通。

【關(guān)鍵詞】等值分?jǐn)?shù) 圖式思維 水平差異

圖式思維是一個動手作圖、觀察讀圖、思考想圖、動筆畫圖、開口表達(dá)等數(shù)學(xué)理解活動的過程，其中幾何直觀、數(shù)形結(jié)合是核心思想。圖式思維對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)理解到底有什么幫助呢？學(xué)生分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)圖式水平差異在哪？哪些因素影響圖式思維水平？如何通過分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)圖式思維呢？本文將圍繞上述問題展開研究，主要從讀圖、畫圖、表征互譯的維度展開相關(guān)的實(shí)證研究。在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)之前進(jìn)行測查。前測在有一定代表性的5所學(xué)校（其中城區(qū)2所，鄉(xiāng)鎮(zhèn)3所）近1000名學(xué)生中進(jìn)行，年級跨度從四年級到五年級，時間跨度從2015年到2017年，現(xiàn)將相關(guān)結(jié)果呈現(xiàn)如下。

一、“圖式思維”水平差異呈現(xiàn)

（一）有多少學(xué)生具備了基本的讀圖能力

讀圖是圖式思維的第一步，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識的重要方法與技能，通過讀圖活動讓學(xué)生感知理解等值分?jǐn)?shù)，建立直觀表象。

本測試題共12空，每空1分（具體題目見下文表5），具備讀圖能力的學(xué)生達(dá)到79.3%，也就是說，大部分學(xué)生已經(jīng)具備了等值分?jǐn)?shù)的讀圖能力，為性質(zhì)的表達(dá)、概括、解決實(shí)際問題打下良好的基礎(chǔ)。

（二）從讀圖到畫圖存在多大的認(rèn)知跨度

“讀圖”到“畫圖”的跨越，預(yù)示著學(xué)生的思維從感知走向理解，引發(fā)學(xué)生對知識進(jìn)行深層次的思考，使外在指尖操作轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的邏輯思維。

圖式水平從讀圖到讀畫結(jié)合，最后到畫圖表征，正確率呈下降趨勢，可見會讀圖并不代表會畫圖。在理解圖式過程中，學(xué)生還不能夠熟練、有序地完成性質(zhì)的直觀可視化理解。

（三）學(xué)生能用圖像表征說明分?jǐn)?shù)相等嗎

表征是指信息或知識在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式。四、五年級的學(xué)生圖像表征能力究竟如何？

上表數(shù)據(jù)以真分?jǐn)?shù)為例，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明“能正確說明兩個分?jǐn)?shù)為什么相等”的比例在百分之五十左右。

學(xué)生能用圖像表征等值分?jǐn)?shù)的意義嗎？在前測中，我們發(fā)現(xiàn)自主選用圖形說明的比例高達(dá)59.5%，其中能正確作圖的占39.5%（見下文圖6）?？梢娭庇^圖式是學(xué)生最主要的表征形式。利用圖式表征有利于學(xué)生對性質(zhì)進(jìn)行直觀化理解，讓表達(dá)方式更深刻、多元。

大量的數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生已經(jīng)具有一定的圖式思維意識與能力，但我們也可以看到他們的圖式思維水平存在著明顯的差異，那么形成差異的原因是什么呢？

二、“圖式思維”成因分析

學(xué)生存在差異的原因是多種多樣的，除了學(xué)生自身的認(rèn)知水平對圖式思維能力有影響，學(xué)習(xí)材料是否也有影響？影響有多大？什么樣的學(xué)習(xí)材料更有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)呢？

（一）哪種圖式更有利于學(xué)生理解等值分?jǐn)?shù)

看圖寫分?jǐn)?shù)并判斷大小，我們發(fā)現(xiàn)面積模型正確率最高。如果再進(jìn)行單項(xiàng)分析，我們發(fā)現(xiàn)針對“看圖寫分?jǐn)?shù)”這個要求，面積模型的正確率最高，而實(shí)物圖式對于判斷大小的幫助最大。指向線段圖的題目則正確率最低。顯然，模型的抽象度的不同，其可視功能亦有差異。

（二）同是面積圖，對圖式思維影響有差異嗎

不同的圖式，會影響讀圖水平，那么同是面積圖還會有差異嗎？我們先來看教材對面積圖的運(yùn)用，例如北師大版教材（如圖1），通過從合并圖到擴(kuò)充圖，讓學(xué)生來理解分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充，再從擴(kuò)充圖到合并圖，讓學(xué)生來理解分?jǐn)?shù)的約分，從合并到擴(kuò)充，采用兩幅或多幅對比圖理解分子分母的變化。

再看臺灣部編版教材（如圖2），在同一個圖上擴(kuò)充份數(shù)來理解等值分?jǐn)?shù)。那么，哪一種圖式更利于學(xué)生理解呢？

從中我們看出利用拆分圖涂色，正確判斷大小的比例為92.6%，遠(yuǎn)高于利用合并、拆分對比圖判斷大小68.18%的正確率（數(shù)據(jù)見表3）。

為什么拆分圖會更利于學(xué)生理解等值分?jǐn)?shù)呢？如圖3，學(xué)生想到[12]是容易的，因?yàn)殛幱懊娣e帶給學(xué)生直觀的視覺沖擊，是顯性的，但是對于圖4，學(xué)生要想到[816]卻是不容易的，因?yàn)檫@是隱性的，需要經(jīng)過重新拆分的思維。

（三）不同的分?jǐn)?shù)例子對圖式水平的影響有多大

對比國內(nèi)幾套教材，除北師大版外，都以[12為]例題，這是為什么呢？也許你要說肯定是因?yàn)樗唵巍Ｕ\然，[12]是最簡單、最貼近學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的例子，但我們還要追問，它究竟為什么簡單？又簡單在哪些方面呢？我們先一起來看看不同的分?jǐn)?shù)例子對圖式思維水平的影響。

從表6我們可以看出，與[12]相關(guān)的題，正確率最高。此外在前測中我們也發(fā)現(xiàn)，它的表征形式也更多元，學(xué)生出現(xiàn)的答案有“它們都表示物體的一半”“結(jié)果都等于0.5”等，圖形樣式也更豐富。其實(shí)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的最初認(rèn)知就是從“一半”開始，通過對折、對折、再對折進(jìn)行操作強(qiáng)化，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)從“[12]”開始，切合學(xué)生的現(xiàn)有知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)。另外，假分?jǐn)?shù)教材都沒出現(xiàn)在第一課時，這是為什么呢？從前測看，假分?jǐn)?shù)的正確率最低，說明理解更難。北京師范大學(xué)發(fā)展心理研究所的韓玉蕾指出，理解假分?jǐn)?shù)的等值性處于最高的第四水平。

三、基于圖式思維水平差異實(shí)證研究的教學(xué)啟示

（一）創(chuàng)設(shè)多元圖式，完善多維理解

讀圖其實(shí)質(zhì)是對知識編碼的過程，經(jīng)歷從操作到表象的體驗(yàn)過程，教學(xué)過程中可以通過提供多元化圖式，將尋找等值分?jǐn)?shù)的過程可視化。多元化分?jǐn)?shù)類型，激發(fā)多元表征的創(chuàng)造力，逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了解、理解、掌握及至運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的過程。

（二）引導(dǎo)畫圖驗(yàn)證，提升表征水平

多元表征是對知識的精加工。當(dāng)學(xué)生用自創(chuàng)的符號解釋數(shù)學(xué)時，其實(shí)質(zhì)是對知識的重構(gòu)理解，體現(xiàn)從被動模仿到自主探究的創(chuàng)作過程。我們認(rèn)為，可以增加“舉例驗(yàn)證”“畫圖說明”的數(shù)學(xué)探究過程，從而培養(yǎng)圖像表征水平，提升利用畫圖解決問題的能力，發(fā)展思維水平。

502班和503班為實(shí)驗(yàn)班級，前測顯示，這兩個班能用圖式正確表征等值分?jǐn)?shù)的比例顯然高于對比班。他們基本能通過繪畫等操作活動，以去情境的面積圖、線段圖為主，會用自創(chuàng)的符號系統(tǒng)表征等值分?jǐn)?shù)（如圖5）。但對比班更多是用“因?yàn)榉肿臃帜竿瑫r擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，所以分?jǐn)?shù)大小不變”這樣的方法循環(huán)說明，學(xué)生不知道“采用什么方式解釋為什么陳述為真”，只注重性質(zhì)的機(jī)械運(yùn)用，直觀水平或表征意識不足，不會或不習(xí)慣畫圖表征，并不能表示他們已經(jīng)真正理解了知識的本質(zhì)。

但從前測中我們也發(fā)現(xiàn)，只有少數(shù)學(xué)生的作圖水平能達(dá)到抽象與關(guān)聯(lián)的高水平階段，即能進(jìn)行知識以及知識之間的關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形化表征，比如我們發(fā)現(xiàn)也有學(xué)生利用分?jǐn)?shù)墻發(fā)現(xiàn)[35]=[610（如圖7）]，直觀表征他們之間的聯(lián)系。另外，有20%的孩子存在圖式單位不統(tǒng)一的錯誤（如圖6）。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)本質(zhì)是構(gòu)造分?jǐn)?shù)單位不同但大小相等的分?jǐn)?shù)，其核心在于“分?jǐn)?shù)單位”，在“度量”中尋找等值分?jǐn)?shù)。因此在教學(xué)中，我們要強(qiáng)調(diào)比大小是在統(tǒng)一單位“1”的前提下進(jìn)行，還應(yīng)注重圖式與語言之間的聯(lián)系，以圖8為例，可以讓學(xué)生先觀察[159]和[53]表示數(shù)軸上的同一個點(diǎn)，直觀理解什么是等值分?jǐn)?shù)，再觀察將數(shù)軸上的三份并作一份，直觀理解分子分母同時除以3的規(guī)律，從而概括分子分母同時除以3分?jǐn)?shù)大小不變的規(guī)律。如此分兩步圖式理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，為學(xué)生理解性質(zhì)搭建逐級上升的腳手架。

（三）鼓勵主動溝通，提升概括水平

思維最顯著的特征是概括性。蘇聯(lián)心理學(xué)家魯賓斯坦就把概括分為初級的“經(jīng)驗(yàn)概括”和高級的“理論概括”。從大量的舉例驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)中概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)為經(jīng)驗(yàn)概括，而在此基礎(chǔ)上，通過演繹解釋，判斷分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與商不變規(guī)律之間的必然聯(lián)系，達(dá)到現(xiàn)象間的規(guī)律性認(rèn)識為理論概括。前測數(shù)據(jù)顯示（如表8），學(xué)生在這方面的能力不高，尤其是理論概括。從表中不難看出，通過三個例子概括分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的正確率只有百分之二十多一點(diǎn)。

過分強(qiáng)調(diào)形象思維容易形成思維的單一性，我們在日常教學(xué)中應(yīng)更多設(shè)置“概括”環(huán)節(jié)，培養(yǎng)“概括”能力，強(qiáng)化文字、符號與圖像的互化，提升圖式語言與抽象邏輯語言之間的互譯能力，將圖式思維趨向深刻。

（本文受到葛素兒老師的悉心指導(dǎo)，在此表示衷心感謝?。?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]葛素兒.通過圖像表征促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)理解教學(xué)[J].課程教學(xué)研究，2012，（12）.

[2]（美）基思·德夫林著，林恩譯.數(shù)學(xué)思維導(dǎo)論——像數(shù)學(xué)家一樣思考[M].北京：人民郵電出版社.2016，（1）.

（浙江省麗水市實(shí)驗(yàn)學(xué)校小學(xué)部 323000）