張艷紅, 楊啟貴

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510640)

具有唯一平衡點(diǎn)的四維超混沌Lü-like系統(tǒng)的研究*

張艷紅, 楊啟貴**

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510640)

基于三維Lü混沌系統(tǒng),利用反饋控制技術(shù),提出了一個(gè)具有5個(gè)參數(shù)和3個(gè)非線性項(xiàng)的新四維自治超混沌系統(tǒng)，并研究該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)；所得新系統(tǒng)具有唯一平衡點(diǎn),討論了對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,同時(shí)嚴(yán)格證明了Hopf分岔的局部動(dòng)力學(xué)行為;進(jìn)一步通過(guò)分岔圖、Lyapunov指數(shù)及Poincaré映射等數(shù)值分析,驗(yàn)證了系統(tǒng)的超混沌吸引子、混沌吸引子及周期吸引子的存在性。

Lü系統(tǒng)；四維超混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；穩(wěn)定性；Hopf分岔

自1963年美國(guó)科學(xué)家Lorenz首次發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子以來(lái),Lorenz系統(tǒng)[1]被認(rèn)為是第一個(gè)把混沌抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型,它在混沌學(xué)的發(fā)展中始終占有重要的地位,為現(xiàn)代混沌理論研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同時(shí)高維非線性系統(tǒng)中通常會(huì)產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象,此現(xiàn)象是由德國(guó)科學(xué)家R?ssler[2]于1979年發(fā)現(xiàn)的,他利用計(jì)算機(jī)仿真得到了第一個(gè)超混沌系統(tǒng),即R?ssler超混沌系統(tǒng),其系統(tǒng)維數(shù)是四維。由于超混沌系統(tǒng)吸引子的軌道在兩個(gè)或兩個(gè)以上的方向上擴(kuò)張,其動(dòng)力學(xué)行為比混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜,相應(yīng)的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性也更強(qiáng)。超混沌在非線性理論及電子技術(shù)等領(lǐng)域有著更廣泛的應(yīng)用,其研究方向涉及保密通信、非線性電路和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，從而超混沌系統(tǒng)的研究具有更廣闊的發(fā)展前景。迄今對(duì)超混沌系統(tǒng)的研究沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一有效的方法,因而討論超混沌系統(tǒng)是比較困難的,目前一些超混沌系統(tǒng)是在混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上通過(guò)加上一個(gè)線性反饋或其他方法得到的[3-5]。

現(xiàn)今超混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為還未能全部被科學(xué)家們所掌握，因而超混沌理論仍處于起步的階段,超混沌系統(tǒng)仍需進(jìn)一步更深入的研究。由于在連續(xù)自治系統(tǒng)中,超混沌系統(tǒng)的研究逐漸引起了數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的科學(xué)家的廣泛關(guān)注,人們利用各種方法實(shí)現(xiàn)了從混沌到超混沌系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化,得到了一系列超混沌系統(tǒng)。由于超混沌產(chǎn)生的最低維數(shù)是四維,因此,四維超混沌系統(tǒng)研究具有特殊意義,對(duì)于四維超混沌系統(tǒng)的研究,除了R?ssler超混沌系統(tǒng)外,1986年,Matsumoto等[6]在研究一個(gè)簡(jiǎn)單的四階電子電路時(shí)發(fā)現(xiàn)了超混沌現(xiàn)象,這也是第一次在實(shí)際的物理模型中發(fā)現(xiàn)的超混沌。后續(xù)研究還有Kapitaniak等[7]將兩個(gè)Chua電路耦合生成超混沌系統(tǒng)；Li等[8]在廣義Lorenz型系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,通過(guò)增加反饋控制項(xiàng)得到超混沌系統(tǒng)；利用反饋控制項(xiàng),Yang等[9-10]研究了Lorenz型超混沌系統(tǒng)。

對(duì)于混沌理論,平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)理解復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為具有重要的作用。到目前為止,大多數(shù)的超混沌系統(tǒng)研究的是有限或可數(shù)個(gè)孤立平衡點(diǎn)。本文在Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,通過(guò)設(shè)計(jì)反饋控制器,在其第一個(gè)方程上加一個(gè)線性反饋,在第二個(gè)方程上加上一個(gè)正弦擾動(dòng)項(xiàng)得到一個(gè)新的具有唯一平衡點(diǎn)的四維系統(tǒng),即具有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)的四維Lü-like超混沌系統(tǒng)。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的深入分析,研究了復(fù)雜的局部動(dòng)力學(xué)行為：平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分岔等.然后討論了新系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為,利用分岔圖、Lyapunov指數(shù)、Poincaré映射等數(shù)值驗(yàn)證特有的超混沌動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，當(dāng)選取適當(dāng)參數(shù)時(shí),超混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生超混沌吸引子、混沌吸引子和周期吸引子等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。

1 新四維超混沌系統(tǒng)的提出

基于Lü系統(tǒng)[11]：

(1)

當(dāng)參數(shù)取a=36,b=3,c=20 時(shí),系統(tǒng)(1)存在混沌吸引子,其相圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子：(a,b,c)=(36,3,20)Fig.1 Chaotic attractor of system (1): (a,b,c)=(36,3,20)

利用反饋控制技術(shù),在Lü系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程加一個(gè)線性反饋,在第二個(gè)方程加一個(gè)正弦擾動(dòng)項(xiàng)得到一個(gè)新的四維系統(tǒng):

(2)

其中，參數(shù)(a,b,c,e,f)∈R5并滿足b，c，f≠0。易知系統(tǒng)(2)存在唯一平衡點(diǎn)O(0，0，0，0)。

新四維系統(tǒng)(2)的散度是

當(dāng)滿足條件c

當(dāng)四維自治系統(tǒng)(2)的參數(shù)取(a,b,c,e,f)=(36,3,20,5,4.85),初始值為(0.1,0.1,0.1,0.1)時(shí),系統(tǒng)(2)存在超混沌吸引子,其在三維空間中的投影和Poincaré映射圖分別如圖2和圖3所示。

圖2 系統(tǒng)(2)的超混沌吸引子相圖在三維空間的投影:(a,b,c,e, f)=(36,3,20,5,4.85)Fig.2 Three-dimensional projections of hyperchaotic attractor of system (2):(a,b,c,e, f)=(36,3,20,5,4.85)

圖3 系統(tǒng)(2)超混沌吸引子的Poincaré映射：(a,b,c,e, f)=(36,3,20,5,4.85)Fig.3 Poincaré mapping of hyperchaotic attractor of system (2):(a,b,c,e, f)=(36,3,20,5,4.85)

經(jīng)過(guò)計(jì)算,此時(shí)系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為

根據(jù)混沌系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)定義：

進(jìn)一步在上述參數(shù)下,系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)O處的特征值為

因此O是一個(gè)雙曲鞍點(diǎn),有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形。

為方便,本文稱系統(tǒng)(2)為四維超混沌Lü-like系統(tǒng)。

2 局部動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

定理1 設(shè)△=a2+4f,a≠0,且b，c，f≠0,則超混沌系統(tǒng)(2)有下面結(jié)論：

(Ⅰ) 當(dāng)f>0時(shí),超混沌系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)O是雙曲鞍點(diǎn),且若b，c>0,則鞍點(diǎn)O有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；若b>0,c<0,則鞍點(diǎn)O有三維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；若b<0,c>0,則鞍點(diǎn)O有一維穩(wěn)定流形和三維不穩(wěn)定流形。

(Ⅱ) 當(dāng)f<0,△≥0時(shí),若a>0,b,c>0,則O是雙曲鞍點(diǎn),有三維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；若a<0,b,c>0,則O是雙曲鞍點(diǎn),有一維穩(wěn)定流形和三維不穩(wěn)定流形；若a<0,b>0,c<0,則O是雙曲鞍點(diǎn),有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；若a>0,b<0,c>0,則O是雙曲鞍點(diǎn),有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；若a<0,b<0,c>0,則O是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；若a>0,b>0,c<0,則O是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

(Ⅲ) 當(dāng)f<0,△<0時(shí)，若a>0,b,c>0,則O是鞍-焦點(diǎn),有三維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；若a<0,b,c>0,則O是鞍-焦點(diǎn),有一維穩(wěn)定流形和三維不穩(wěn)定流形；若a<0,b>0,c<0,則O是鞍-焦點(diǎn),有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；若a>0,b<0,c>0,則O是鞍-焦點(diǎn),有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；若a<0,b<0,c>0,則O是不穩(wěn)定結(jié)-焦點(diǎn)；若a>0,b>0,c<0,則O是穩(wěn)定結(jié)-焦點(diǎn)。

證明 設(shè)J是系統(tǒng)(2)在任一點(diǎn)P(x,y,z,w)的Jacobi矩陣,則

特別可得系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)O的Jacobi矩陣為

進(jìn)一步得矩陣Jo的特征方程為

本文提出了一種基于改進(jìn)的OCS調(diào)制方式，利用UFBG-AOTF光學(xué)生成多倍頻可調(diào)諧毫米波的方法.在調(diào)制指數(shù)m=2.5π的條件下，最高倍頻因子可達(dá)22.該方案通過(guò)控制UFBG-AOTF的聲波頻率實(shí)現(xiàn)FMF的線性調(diào)諧，僅使用一個(gè)DD-MZM，靈活、簡(jiǎn)單且成本較低，同時(shí)也降低了對(duì)振蕩器及調(diào)制器的頻率要求.此外，提高DD-MZM的調(diào)制系數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)更高倍頻因子毫米波信號(hào)的產(chǎn)生.同時(shí)，對(duì)倍頻因子為22時(shí)系統(tǒng)下行鏈路傳輸性能的分析表明，在只將基帶數(shù)據(jù)信號(hào)調(diào)制到其中一個(gè)邊帶上的OCS改進(jìn)方案中，信號(hào)可以進(jìn)行長(zhǎng)距離且性能更穩(wěn)定的傳輸，有效避免了色散所導(dǎo)致的碼元時(shí)移效應(yīng).

(3)

因而系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O處對(duì)應(yīng)的特征值為

(Ⅰ) 當(dāng)f>0時(shí),λ3,4是異號(hào)的實(shí)根,因此O是雙曲鞍點(diǎn)，且若b，c>0,則λ1,2是異號(hào)的實(shí)根,故鞍點(diǎn)O有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形；若b>0,c<0,則λ1,2是負(fù)的實(shí)根,故鞍點(diǎn)O有三維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；若b<0,c>0,則λ1,2是正的實(shí)根,故鞍點(diǎn)O有一維穩(wěn)定流形和三維不穩(wěn)定流形。

(Ⅱ) 當(dāng)f<0,△≥0時(shí)，若a>0,b，c>0,則λ1,2是異號(hào)的實(shí)根,特征值λ3,4與-a同號(hào),故O是雙曲鞍點(diǎn),有三維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；若a<0,b,c>0，則λ1,2是異號(hào)的實(shí)根,特征值λ3,4與-a同號(hào),故O是雙曲鞍點(diǎn),有一維穩(wěn)定流形和三維不穩(wěn)定流形；同理可證(Ⅱ)中的其他情形結(jié)論成立。

(Ⅲ) 當(dāng)f<0,△<0時(shí)，若a>0,b,c>0，則λ1,2是異號(hào)的實(shí)根，特征值λ3,4是一對(duì)共軛復(fù)數(shù),且實(shí)部與-a同號(hào),故O是鞍-焦點(diǎn),有三維穩(wěn)定流形和一維不穩(wěn)定流形；若a<0,b,c>0，則λ1,2是異號(hào)的實(shí)根,特征值λ3,4是一對(duì)共軛復(fù)數(shù),且實(shí)部與-a同號(hào),故O是鞍-焦點(diǎn),有一維穩(wěn)定流形和三維不穩(wěn)定流形。

同理可證(Ⅲ)中的其他情形結(jié)論成立。

下面給出新超混沌系統(tǒng)(2)的Hopf分岔的存在性定理。

定理2 (Hopf分岔的存在性) 若條件a=0,f<0成立,則當(dāng)參數(shù)a發(fā)生變化并通過(guò)臨界值a0=0時(shí),系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)O產(chǎn)生Hopf分岔。

證明 根據(jù)定理1的證明,可得特征方程(3)成立,設(shè)式(3)有一對(duì)純虛根λ=±iω(ω∈R+),將虛根iω代入式(3)易知,當(dāng)f<0 時(shí)，有

把a(bǔ)=a0=0代入式(3)可得

因此,當(dāng)a=0,f<0成立時(shí),Hopf分岔[12]的第一個(gè)條件滿足。

再根據(jù)式(3)和f<0,可得

從而求得

因此,Hopf分岔[12]的第二個(gè)條件也滿足,故系統(tǒng)(2) 存在Hopf分岔。

3 數(shù)值復(fù)雜動(dòng)力學(xué)

本節(jié)利用相圖、Lyapunov指數(shù)及分岔圖等工具,適當(dāng)選取系統(tǒng)的參數(shù),進(jìn)一步研究系統(tǒng)(2)的超混沌、混沌及周期等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。

當(dāng)系統(tǒng)(2)的參數(shù)取 (a,b,c,e)=(36,3,20,5)，f在區(qū)間[3.5,6.5] 變化時(shí), 系統(tǒng)(2)存在唯一平衡點(diǎn),此時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)和分岔圖分別如圖4和圖5所示。由圖中可以知道,系統(tǒng)在f∈[3.5,6.5]整個(gè)變化過(guò)程中都是超混沌的,其吸引子的Lyapunov指數(shù)有2個(gè)正的。

圖4 系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)圖:(a,b,c,e)=(36,3,20,5,), f∈[3.5,6.5]Fig.4 Lyapunov exponent of system (2):(a,b,c,e)=(36,3,20,5,), f∈[3.5,6.5]

特別選取參數(shù)：

可計(jì)算得對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為

且DL=3.071 2。進(jìn)一步,超混沌吸引子在三維空間中的投影如圖6所示，由定理1知,唯一平衡點(diǎn)O是雙曲鞍點(diǎn),且有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形。

圖6 系統(tǒng)(2)的超混沌吸引子的相圖：(a,b,c,e, f)=(36,3,20,5,6.4)Fig.6 Phase portraits of hyperchaotic attractor of system (2):(a,b,c,e, f)=(36,3,20,5,6.4)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取 (a,c,e,f)=(36,20,5,8)，b在區(qū)間[8.5,8.7] 變化時(shí),系統(tǒng)(2)有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,此時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)和分岔圖分別如圖7和圖8所示。

圖7 系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)圖：(a,c,e, f)=(36,20,5,8)，b∈[8.5,8.7]Fig.7 Lyapunov exponent of system (2):(a,c,e, f)=(36,20,5,8)，b∈[8.5,8.7]

圖8 系統(tǒng)(2)的分岔圖：(a,c,e, f)=(36,20,5,8)，b∈[8.5,8.7]Fig.8 Bifurcation diagram of system (2):(a,c,e, f)=(36,20,5,8)，b∈[8.5,8.7]

由圖7—8的數(shù)值分析，且通過(guò)仔細(xì)觀察，可知系統(tǒng)(2)存在混沌吸引子和周期吸引子。

特別地選取參數(shù)：

(a,b,c,e,f)=(36,8.598,20,5,8)

可得對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為

這表明系統(tǒng)(2)有一個(gè)混沌吸引子,對(duì)應(yīng)的相圖如圖9所示。

圖9 系統(tǒng)(2)的混沌吸引子在三維空間投影：(a,b,c,e, f)=(36,8.598,20,5,8)Fig.9 Three-dimensional projections of chaotic attractor of system (2):(a,b,c,e, f)=(36,8.598,20,5,8)

由定理1知,唯一平衡點(diǎn)O是雙曲鞍點(diǎn),有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形。

特別地選取參數(shù)：

(a,b,c,e,f)=(36,8.6674,20,5,8)

對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為

表明系統(tǒng)(2)有一個(gè)周期吸引子,對(duì)應(yīng)的相圖如圖10所示。

圖10 系統(tǒng)(2)的周期吸引子在三維空間投影：(a,b,c,e, f)=(36,8.6674,20,5,8)Fig.10 Three-dimensional projections of periodic attractor of system (2):(a,b,c,e, f)=(36,8.6674,20,5,8)

由定理1知,唯一平衡點(diǎn)O是雙曲鞍點(diǎn),且有二維穩(wěn)定流形和二維不穩(wěn)定流形。

[1] LORENZ E N.Deterministic Non-periodic Flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences,1963(20):130-141

[2] ROSSLER O E.An Equation for Hyperchaos[J]. Physics Letters A,1979(71):155-157

[3] CHEN Y M,YANG Q G.Dynamics of a Hyperchaotic Lorenz-type System[J].Nonlinear Dyn,2014(77):569-581

[4] CHEN Z Q,YANG Y,QI G Y.A Novel Hyperchaos System Only with One Equilibrium[J].Physics Letters A,2007(360):696-701

[5] XUE W,QI G Y,MU J J,et al.Hopf Bifurcation Analysis and Circuit Implementation for a Novel Four-Wing Hyperchaotic System[J].Chinese Physics B,2013(8):504-508

[6] MATSUMOTO T,CHUA L O,KOBAYASHI K.Hyperchaos:Laboralory Experiment and Numerical Confirmation[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,1986(11):1143-1147

[7] KAPITANIAK T,CHUA L O,ZHONG G Q.Experimental Hyperchaos in Coupled Chua’s Circuits[J].IEEE Transa-ctions on Circuits & Systems I-Fundamental Theory & Applications, 1994,41(7):499-503

[8] LI Y X,TANG W K S,CHEN G R.Hyperchaos Evolved from the Generalized Lorenz Equation[J].International Journal of Circuit Theory and Applications,2005,33(4):235-251

[9] YANG Q G, LIU Y J.A Hyperchaotic System from a Chaotic System with One Saddle and Two Stable Node-Foci[J].J Math Anal Appl,2009(36):293-306

[10] YANG Q G, ZHANG K M, CHEN G R.Hyperchaotic Attractors from a Linearly Controlled Lorenz System[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009(10):1601-1617

[11] LU J H, CHEN G R.A New Chaotic Attractor Coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002,12(3):659-661

[12] GUCKENHEIMER J, HOLMES P.Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Field[M].Springer,NY,1983

責(zé)任編輯：李翠薇

Study on a4D Hyperchaotic Lü-like System Only with One Equilibrium

ZHANG Yan-hong, YANG Qi-gui

(School of Mathematical Science, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

Based on three-dimensional (3D) Lü chaotic system, and with the help of feedback control techniques, this paper reports a new 4D autonomous hyperchaotic system with five parameters and three nonlinear items, analyzes the dynamic properties of the system, as the new system has only one equilibrium, and studies the stability of corresponding equilibrium. Meanwhile the local dynamics such as Hopf bifurcation is rigorous derived; in addition, numerical analysis of phase trajectories, bifurcation and Lyapunov exponents verifies the existence of the hyperchaotic attractor, chaotic attractor and periodic attractor.

Lü system; 4D hyperchaotic system; Lyapunov exponents; stability; Hopf bifurcation

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0003.010

2017-01-18；

2017-02-21. * 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11671149)；廣東省自然科學(xué)基金(2014A030313256).

張艷紅(1988-)，女，河南太康人，碩士研究生，從事混沌動(dòng)力學(xué)研究.

**通訊作者：楊啟貴(1965-)，男，重慶市人，教授，博士，從事混沌動(dòng)力學(xué)研究.E-mail：qgyang@scut.edu.cn.

O127

A

1672-058X(2017)03-0049-07