郝亞非

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院物理系 浙江 金華 321004)

動量守恒定律和角動量守恒定律辨析

郝亞非

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院物理系 浙江 金華 321004)

辨析了系統(tǒng)動量守恒和角動量守恒的適用條件，旨在加深學生對動量守恒定律和角動量守恒定律的理解.以3個例題為例，根據(jù)實際條件選擇參數(shù)，計算了系統(tǒng)的內(nèi)力和外力的數(shù)值，分析了系統(tǒng)所受合外力(外力力矩的矢量和)遠小于系統(tǒng)內(nèi)力(內(nèi)力矩)的條件.結(jié)果表明，只定性地根據(jù)物體的質(zhì)量很小就得出物體的重力遠小于系統(tǒng)內(nèi)力的結(jié)論是不充分的，質(zhì)量很小的物體的重力是否遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力還取決于碰撞前物體的速度；而外力力矩的矢量和是否遠小于內(nèi)力矩不僅取決于碰撞前物體的速度，還取決于碰撞的位置.

動量 角動量 守恒 力矩 力

動量守恒定律、角動量守恒定律和機械能守恒定律是力學的三大守恒定律.其中，角動量守恒定律適用的條件是[1,2]：

(1)系統(tǒng)相對于參考點的外力力矩的矢量和為零，即Mex=0.

如果滿足如下條件，也可以應(yīng)用角動量守恒定律.

(2)系統(tǒng)相對于參考點的外力力矩的矢量和不為零，即Mex≠0，但是過程進行的時間極短，且外力力矩的矢量和Mex遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力矩Min，即Mex?Min，外力力矩可以忽略不計，系統(tǒng)的角動量也可以看作守恒.

條件(1)很容易把握，只要判斷出系統(tǒng)所受的合外力相對于參考點的外力力矩的矢量和為零，即可得出系統(tǒng)角動量守恒的結(jié)論.條件(2)比較抽象，很多學生很難準確地理解和把握.以下我們先以力學中常見的兩個例題(例1，例2)為例，通過數(shù)值計算，直觀地給出過程進行時間極短的情況下，外力力矩的矢量和與內(nèi)力矩的相對大小，分析應(yīng)用角動量守恒定律的條件(2).

圖1 例1示意圖

解題思路：將蟲與桿作為一個系統(tǒng)，先運用角動量守恒定律求解得到蟲與桿碰撞后的角速度，該角速度即為蟲向桿端點爬行時桿的恒定角速度，然后運用角動量定理求解蟲的爬行速度.

要解決該問題首先需要判斷出系統(tǒng)關(guān)于O點的角動量守恒，而判斷系統(tǒng)關(guān)于O點角動量守恒，需要分析系統(tǒng)所受外力和內(nèi)力.系統(tǒng)所受外力：支撐點O對桿的力、桿的重力、蟲的重力，其中支撐點對桿的力和桿的重力的作用線均過O點，相對O點的力矩均為零，所以外力矩只有蟲的重力矩，大小為

系統(tǒng)的內(nèi)力為蟲和桿的碰撞力，內(nèi)力矩大小為

這是一種外力力矩的矢量和不為零的情況，系統(tǒng)相對于O點的角動量是否守恒取決于外力力矩的矢量和是否遠小于內(nèi)力矩.這和文獻[3]中的情況不同，文獻[3]中外力和內(nèi)力相對于參考點的力臂不同，外力的力臂遠小于內(nèi)力的力臂，可以得出合外力的力矩遠小于內(nèi)力矩的結(jié)論.本文中，蟲的重力和碰撞內(nèi)力相對于O點的力臂相同，蟲的重力和碰撞內(nèi)力相對于O點的力矩的大小取決于蟲的重力和碰撞內(nèi)力的相對大小.通常的分析是：蟲的重力很小，遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力，所以系統(tǒng)角動量守恒.但是，這樣分析讓學生很迷茫，mg和Fin都是符號，學生很難直觀地得出蟲的重力遠小于碰撞內(nèi)力的結(jié)論.如果能夠給出Fin的數(shù)值，再分析蟲的重力mg和系統(tǒng)內(nèi)力Fin的相對大小就很容易了.

可以先假定系統(tǒng)相對于O點的角動量守恒，即

J蟲ω0=(J桿+J蟲)ω

得到蟲和桿碰撞后的角速度大小為

線速度大小為

然后對蟲運用動量定理求解蟲受到桿的碰撞內(nèi)力.分析蟲的受力，蟲受重力和桿對它的碰撞內(nèi)力，根據(jù)動量定理，有

碰撞時間很短，可以取Δt=0.001 s，求得平均碰撞內(nèi)力大小為

圖2 例2示意圖

【例2】一個沙袋用質(zhì)量忽略不計的繩懸掛于O點，一顆子彈以水平速度v0擊入沙袋，并和沙袋以同樣的速度運動，子彈和沙袋構(gòu)成的系統(tǒng)動量和角動量是否守恒？(不考慮子彈和沙袋的大小)示意圖如圖2所示.

解題思路：子彈要擊入沙袋，v0需要達到一定數(shù)值才可以，取v0=200 m·s-1.根據(jù)對例1的分析，這種情況下，子彈和沙袋構(gòu)成的系統(tǒng)關(guān)于O點的角動量守恒.因為沙袋的重力和繩子的拉力相對于O點的力矩為零，系統(tǒng)的外力力矩的矢量和為子彈的重力矩，遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力矩.

系統(tǒng)的動量是否守恒呢？

動量守恒定律適用的條件是[1,2]：

(1)系統(tǒng)所受的合外力為零，即Fex=0，系統(tǒng)的總動量保持不變.

(2)系統(tǒng)所受的合外力不為零，即Fex≠0，但是合外力在某個坐標軸上的分量為零，系統(tǒng)的總動量雖不守恒，但沿該坐標軸的分動量卻是守恒的.

在實際問題中，如果滿足如下條件，也可以應(yīng)用動量守恒定律.

(3)系統(tǒng)所受的合外力不為零，即Fex≠0，但是過程進行的時間極短，且合外力遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力Fin，即Fex?Fin，可以忽略外力對系統(tǒng)的作用，認為系統(tǒng)的總動量守恒，如碰撞、打擊、爆炸.

首先，例2符合條件(2)，沿x軸方向系統(tǒng)所受合外力為零，沿x軸方向的動量守恒.在碰撞前后瞬間，系統(tǒng)沿y軸方向的速度為零，系統(tǒng)的總動量是否守恒呢？這需要用條件(3)來判斷，該條件也很抽象，學生也不容易理解和把握.

接下來，我們?nèi)砸粤W中常見的兩個例題(例2，例3)為例，通過數(shù)值計算，直觀地給出過程進行時間極短的情況下，系統(tǒng)所受的合外力和內(nèi)力的相對大小，分析應(yīng)用動量守恒定律的條件(3).

子彈擊入沙袋前的速率取v0=200 m·s-1，子彈質(zhì)量mz=0.01 kg，沙袋質(zhì)量ms=10 kg，碰撞時間Δt=0.01 s，繩長L=1 m.根據(jù)角動量守恒定律，有

Jzω0=(Jz+Js)ω

可求得子彈擊入沙袋后的角速度大小為

ω=0.2 rad·s-1

線速度大小為

v=Lω=0.2 m·s-1

求得

圖3 例3示意圖

【例3】一個長度為L的剛性桿懸掛于O點，可繞O點自由轉(zhuǎn)動，一顆子彈以水平速度v0擊入桿，并和桿以同樣的速度運動，子彈和桿構(gòu)成的系統(tǒng)動量和角動量是否守恒？(不考慮桿的橫向線度)示意圖如圖3所示.

解題思路：根據(jù)前兩個例題的分析可知，子彈和桿構(gòu)成的系統(tǒng)角動量守恒.

系統(tǒng)動量是否守恒呢？

求得O點對桿的水平作用力Fx=1 N.所以沿水平方向系統(tǒng)所受的合外力遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力，系統(tǒng)沿水平方向的動量守恒.

綜上所述，判斷系統(tǒng)所受合外力(外力力矩的矢量和)是否遠小于系統(tǒng)內(nèi)力(內(nèi)力矩)時，只定性地根據(jù)物體的質(zhì)量很小就得出物體的重力遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力的結(jié)論是不充分的，質(zhì)量很小的物體的重力是否遠小于系統(tǒng)的內(nèi)力還取決于碰撞前物體的速度，而外力力矩的矢量和是否遠小于內(nèi)力矩不僅取決于碰撞前物體的速度，還取決于碰撞的位置.本文通過3個例題，計算了系統(tǒng)的內(nèi)力，并和系統(tǒng)所受的合外力進行比較，分析系統(tǒng)所受合外力(外力力矩的矢量和)遠小于系統(tǒng)內(nèi)力(內(nèi)力矩)的條件.本文中所舉的3個例題都是力學中常見的例題，通過數(shù)值計算的方法，能夠加深學生對動量守恒定律和角動量守恒定律的理解，對學生剖析、深刻理解相關(guān)物理規(guī)律在類似問題中的應(yīng)用也是有所幫助的.

1 馬文蔚, 解希順, 周雨青. 物理學. 北京: 高等教育出版社, 2006

2 趙近芳, 王登龍. 大學物理學(第4版). 北京: 北京郵電大學出版社, 2015

3 邱曉燕, 唐志海. 一道力學碰撞問題中動量守恒與角動量守恒辨析. 物理教學探討, 2011, 29(433): 40～41

4 王宗昌. 木棒和子彈組成系統(tǒng)的動量守恒問題. 南陽師范學院學報, 2005, 4(9): 36～37

AnalysisontheConservationLawsofMomentumandAngularMomentum

HaoYafei

(PhysicsDepartment,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua,Zhejiang321004)

This paper analyzes the application conditions of the conservation laws of momentum and angular momentum, helping students to come to a better understanding of these two laws. By analyzing three examples, and choosing parameters, the values of internal force and resultant external force are calculated, and the conditions that resultant external force (resultant external moment) is far less than internal force (internal moment) are analyzed. The results show that it is imprecise to come to the conclusion that the gravity of the object with very small mass is far less than internal force, whether the gravity of object is far less than internal force also depends on the preceding collision velocity of the object. Whether the resultant external moment is far less than internal moment depends on not only preceding collision velocity of the object but also the collision location.

momentum; angular momentum; conservation; moment; force

郝亞非(1980- )，女，副教授，主要從事物理教學研究工作，研究方向為材料物理.

2016-10-18)