王年華 張來平 趙 鐘 赫 新

?(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽621000)?(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心空氣動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川綿陽621000)

基于制造解的非結(jié)構(gòu)二階有限體積離散格式的精度測(cè)試與驗(yàn)證1)

王年華?,2)張來平?,?趙 鐘?赫 新?,?

?(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽621000)?(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心空氣動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川綿陽621000)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)步，計(jì)算流體力學(xué)得到迅猛發(fā)展，數(shù)值計(jì)算雖能夠快速得到離散結(jié)果，但是數(shù)值結(jié)果的正確性與精度則需要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒▉磉M(jìn)行驗(yàn)證和確認(rèn).制造解方法和網(wǎng)格收斂性研究作為驗(yàn)證與確認(rèn)的重要手段已經(jīng)廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)代碼驗(yàn)證、精度分析、邊界條件驗(yàn)證等方面.本文在實(shí)現(xiàn)標(biāo)量制造解和分量制造解方法的基礎(chǔ)上，通過將制造解方法精度測(cè)試結(jié)果與經(jīng)典精確解(二維無黏等熵渦)精度測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步證實(shí)了制造解精度測(cè)試方法的有效性，并將兩種制造解方法應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格二階精度有限體積離散格式的精度測(cè)試與驗(yàn)證，對(duì)各種常用的梯度重構(gòu)方法、對(duì)流通量格式、擴(kuò)散通量格式進(jìn)行了網(wǎng)格收斂性精度測(cè)試.結(jié)果顯示,基于Green-Gauss公式的梯度重構(gòu)方法在不規(guī)則網(wǎng)格上會(huì)出現(xiàn)精度降階的情況，導(dǎo)致流動(dòng)模擬精度嚴(yán)重下降，而基于最小二乘(least squares)的梯度重構(gòu)方法對(duì)網(wǎng)格是否規(guī)則并不敏感.對(duì)流通量格式的精度測(cè)試顯示,所測(cè)試的各種對(duì)流通量格式均能達(dá)到二階精度，且各方法精度幾乎相同；而擴(kuò)散通量離散中界面梯度求解方法的選擇對(duì)流動(dòng)模擬精度有顯著影響.

驗(yàn)證與確認(rèn)，制造解方法，精確解方法，網(wǎng)格收斂性研究，有限體積離散方法，數(shù)值模擬精度

引言

自從20世紀(jì)中葉計(jì)算流體力學(xué)(computational fluidynamics,CFD)誕生以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和CFD方法的迅速發(fā)展，CFD數(shù)值模擬技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于以航空航天為代表的諸多領(lǐng)域，革命性地改變了這些領(lǐng)域內(nèi)傳統(tǒng)的研究和設(shè)計(jì)方法[1].但是CFD數(shù)值模擬的先天不足在于控制流動(dòng)的偏微分方程組的可解性以及解的唯一性沒有得到任何理論證明，因此CFD數(shù)值結(jié)果的可信度就非常值得關(guān)注.驗(yàn)證與確認(rèn)(verificatio and validation,V&V)是評(píng)價(jià)CFD數(shù)值結(jié)果可信度的重要手段，驗(yàn)證的目的在于驗(yàn)證離散格式、數(shù)值方法、程序代碼離散并求解控制方程的正確性；而確認(rèn)的意義在于確認(rèn)所求解的控制方程及邊界條件真實(shí)地反映了實(shí)際物理流動(dòng)問題.

二十世紀(jì)八九十年代，國外就開始對(duì)驗(yàn)證與確認(rèn)的研究給予高度重視，并逐步開展相關(guān)研究工作.1998年，AIAA在總結(jié)之前工作的基礎(chǔ)上發(fā)布了第一部系統(tǒng)闡述CFD驗(yàn)證與確認(rèn)的指南[2].而國內(nèi)在驗(yàn)證與確認(rèn)方面起步較晚，2007年，國內(nèi)學(xué)者建議在國內(nèi)廣泛開展驗(yàn)證與確認(rèn)研究，以推動(dòng)國內(nèi)CFD可信度研究[3].

在CFD可信度研究中，驗(yàn)證工作可以采用精確解方法和制造解方法，結(jié)合網(wǎng)格收斂性測(cè)試研究微分方程的求解精度及精度階.傳統(tǒng)V&V通常采用精確解方法(method of exact solutions,MES)[45]，這種方法一般將流動(dòng)控制方程的精確解與數(shù)值解進(jìn)行比較.但是遺憾的是，復(fù)雜的非線性方程少有精確解，一般能得到的都是經(jīng)過簡化之后的方程解析解，而簡化后的方程并不能完整地體現(xiàn)原控制方程中的各項(xiàng)，因此也不能研究相應(yīng)項(xiàng)的數(shù)值特性以及驗(yàn)證代碼的正確性.相反，制造解方法(method of manufactured solutions,MMS)[67]不尋找控制方程的精確解，而是人為制造一個(gè)解，并使之滿足添加源項(xiàng)之后的修正控制方程.制造解不一定是真實(shí)物理解，而僅僅是為了研究與驗(yàn)證控制方程中各項(xiàng)的數(shù)值特性和計(jì)算精度而人為設(shè)計(jì)的，因而比精確解方法更具有實(shí)用性.

文獻(xiàn)[5]總結(jié)出了多種利用精確解進(jìn)行CFD代碼驗(yàn)證的算例，如膨脹波、斜激波、不可壓層流邊界層、庫埃特流動(dòng)、Burgers方程等.在分析了制造解方法和精確解方法的優(yōu)缺點(diǎn)之后，指出采用制造解方法進(jìn)行代碼驗(yàn)證和數(shù)值算法測(cè)試具有很高的準(zhǔn)確性.

采用制造解方法和網(wǎng)格收斂性測(cè)試進(jìn)行代碼驗(yàn)證最早由Roache和 Steinberg[6]提出.Roache[78]在總結(jié)代碼和計(jì)算方法驗(yàn)證的文章中強(qiáng)調(diào),通過制造解方法和網(wǎng)格收斂性測(cè)試進(jìn)行驗(yàn)證非常具有嚴(yán)謹(jǐn)性和說服力.2008年在Lisbon舉辦的第三屆CFD Uncertainty Analysis Workshop[9]上要求首次參加研討會(huì)的與會(huì)者必須對(duì)二維湍流近壁流動(dòng)形式的制造解進(jìn)行制造解方法的測(cè)試，這表明制造解方法作為代碼驗(yàn)證和精度測(cè)試的手段已得到認(rèn)可.

同時(shí)，國外利用制造解方法開展V&V工作已有很多.首先，一些學(xué)者將制造解方法應(yīng)用到數(shù)值方法的代碼驗(yàn)證中.在CFD領(lǐng)域，針對(duì)Euler方程[10]、RANS(Reynolds averaged Navier-Stokes)方程[11]及直接數(shù)值模擬(direct numerical simulation,DNS)[1213]、高階方法[14]求解代碼的驗(yàn)證，MMS方法均有相關(guān)應(yīng)用.此外，MMS還成功應(yīng)用于浸入邊界法精度驗(yàn)證[15]，等離子體流動(dòng)模擬代碼驗(yàn)證[1617]，多相流動(dòng)求解驗(yàn)證[1819]，化學(xué)非平衡流動(dòng)數(shù)值模擬驗(yàn)證[20]等計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域.一些In-house軟件，如Wind-US[21]和Loci-CHEM[22]均通過了制造解方法的精度階驗(yàn)證；Marshall[23]甚至基于MMS方法專門開發(fā)了針對(duì)代碼驗(yàn)證的C++函數(shù)庫.

其次，制造解方法在邊界條件的驗(yàn)證中也得到應(yīng)用[2426].如Bond等[24]通過制造解方法驗(yàn)證并辨別出了邊界條件和梯度重構(gòu)公式上的缺陷；又如Folkner等[25]也利用MMS方法和精確解方法對(duì)格點(diǎn)型和格心型有限體積法的各種邊界條件進(jìn)行了驗(yàn)證.

再次，采用制造解方法進(jìn)行數(shù)值算法研究與測(cè)試也得到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注. 如 Katz和Sankaran[2728]利用MMS方法研究了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)格點(diǎn)型和格心型有限體積算法計(jì)算精度的影響.類似的，Diskin和Thomas[2930]通過MMS方法求解線性對(duì)流方程和泊松方程分別分析了網(wǎng)格類型和網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)無黏通量和黏性通量計(jì)算精度的影響.Vedovoto等[31]通過MMS方法研究了基于壓力的有限體積格式的數(shù)值精度特征.一些新算法在提出之后，通常采用MMS方法對(duì)其代碼正確性和算法精度進(jìn)行驗(yàn)證和分析[32-33].

此外，針對(duì)制造解方法要在一系列網(wǎng)格上求得收斂解代價(jià)較大的問題，Burg和 Murali[34]提出了類似于 Taylor展開的殘差型制造解精度分析方法.Brglez[35]也對(duì)原始的MMS方法提出改進(jìn)，以提高方法的易用性和簡潔性.除了在光滑流場(chǎng)中得到應(yīng)用之外，MMS方法還被拓展到具有間斷特征的流場(chǎng)求解驗(yàn)證中[3638].以上的綜述表明，制造解方法作為驗(yàn)證與確認(rèn)的重要手段已經(jīng)廣泛應(yīng)用于代碼驗(yàn)證、精度分析、邊界條件驗(yàn)證等方面，并逐步得到發(fā)展和完善.

相較于國外的蓬勃發(fā)展，國內(nèi)在MMS方法的研究和應(yīng)用上與國外還有較大差距.王瑞利等[3940]較早開展了這方面的研究，但是要在國內(nèi)真正推廣使用制造解方法還需要更多工作.本文在實(shí)現(xiàn)一種標(biāo)量制造解和分量制造解方法的基礎(chǔ)上，通過將制造解方法精度測(cè)試結(jié)果與經(jīng)典精確解(二維無黏等熵渦)精度測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步證實(shí)了制造解精度測(cè)試方法的有效性，并重點(diǎn)將這兩種制造解方法應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格二階精度有限體積離散方法的精度驗(yàn)證，對(duì)非結(jié)構(gòu)有限體積離散方法中各種常用的梯度重構(gòu)方法、對(duì)流通量格式、擴(kuò)散通量格式進(jìn)行了網(wǎng)格收斂性精度測(cè)試，得到了一些有指導(dǎo)意義的結(jié)論.

1 制造解方法

通常需要一個(gè)精確解進(jìn)行測(cè)試離散格式的計(jì)算精度.但是大多數(shù)可壓縮黏性流動(dòng)的精確解都過于簡單，不能完整地體現(xiàn)控制方程的所有項(xiàng).為了解決這個(gè)問題，Roache和Steinberg[6]提出了制造解方法.

1.1 制造解方法理論

制造解方法的基本思路是選擇任意的“制造解”代入原始的控制方程(如Navier-Stokes(NS)方程或者Euler方程等).一般情況下，制造解不能滿足原始的控制方程，代入控制方程后，右端項(xiàng)不為零，可以將引入的右端項(xiàng)設(shè)為源項(xiàng).因此，制造解可以理解為帶源項(xiàng)的修正方程的精確解,如下所示

式中，Q為守恒變量，F(xiàn)=Fi+Gj+Hk為對(duì)流通量項(xiàng)，F(xiàn)v=Fvi+Gvj+Hvk為擴(kuò)散通量項(xiàng).在離散網(wǎng)格上利用數(shù)值方法求解修正的控制方程，得到數(shù)值解，數(shù)值解與制造解的差值即為離散誤差(不考慮舍入誤差).結(jié)合網(wǎng)格收斂性測(cè)試便可以分析驗(yàn)證不同離散格式、計(jì)算方法的精度(或稱誤差)、數(shù)值精度階以及代碼編寫的正確性.文獻(xiàn)[27]指出,只要制造解源項(xiàng)的處理方式與控制方程的離散方法在數(shù)值精度上相容，MMS方法是評(píng)價(jià)數(shù)值格式特性的有效方法.

式(1)既可以針對(duì)標(biāo)量模型方程進(jìn)行制造解方法研究，也可以針對(duì)流動(dòng)控制方程組進(jìn)行制造解方法研究.對(duì)于標(biāo)量模型方程，通常采用以下定義[28]

標(biāo)量模型方程的最終形式為

式中，φ為任意標(biāo)量場(chǎng)，A=(a,b,c).可以看到,標(biāo)量模型方程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)帶源項(xiàng)的線性對(duì)流擴(kuò)散方程.A和ν分別為線性對(duì)流項(xiàng)和線性擴(kuò)散項(xiàng)的常系數(shù).

而對(duì)于NS方程，方程(1)中各項(xiàng)可以表示為如下形式[28]

式中,ρ,u,v,w,e,h0,p分別為密度、3個(gè)速度分量、總能量、總焓和壓強(qiáng)，此外τ和q分別為黏性應(yīng)力張量和熱傳導(dǎo)矢量.

制造解方法進(jìn)行精度驗(yàn)證可以總結(jié)為以下 6步[41]：(1)選擇控制方程的形式；(2)選擇制造解的形式；(3)推導(dǎo)修正后的控制方程；(4)在多套依次加密的網(wǎng)格上求解離散形式的修正控制方程得到數(shù)值解；(5)計(jì)算數(shù)值解的離散誤差；(6)計(jì)算得到數(shù)值精度階，進(jìn)行精度分析和驗(yàn)證.

針對(duì)上述標(biāo)量方程和NS方程，常用的制造解主要有標(biāo)量制造解和分量制造解，以下給出文獻(xiàn)[27-28,41]中所采用的幾種制造解，制造解流場(chǎng)云圖如圖1所示.本文的研究僅采用式(6)和式(7)所示的Euler制造解進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證工作；控制方程采用不考慮黏性項(xiàng)的Euler方程，以及標(biāo)量對(duì)流擴(kuò)散方程，不同測(cè)試算例采用的控制方程和制造解形式在算例中均有相應(yīng)說明.制造解源項(xiàng)采用Mathematica數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行公式推導(dǎo)精確求得，消除源項(xiàng)離散誤差.

圖1 兩種類型的制造解流場(chǎng)云圖Fig.1 Contours of two types of manufactured solutions

1.2 制造解方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上一節(jié)中制造解精度測(cè)試方法的有效性，本節(jié)采用經(jīng)典精確解——二維無黏等熵渦流動(dòng)和Euler制造解方法對(duì)同一離散方法、同一網(wǎng)格在相同條件下進(jìn)行精度對(duì)比驗(yàn)證.二維無黏等熵渦的初始流場(chǎng)由式(8)給出[42]，需要指出的是，等熵渦流動(dòng)實(shí)質(zhì)上是制造解的一個(gè)特例，其制造解源項(xiàng)為零.

圖2 二維無黏等熵渦流場(chǎng)云圖Fig.2 Contour of a 2D inviscid isentropic vortex

分別在圖 3所示的 4種網(wǎng)格上利用等熵渦流動(dòng)、分量Euler制造解、標(biāo)量Euler制造解對(duì)Euler方程和對(duì)流方程進(jìn)行網(wǎng)格收斂性測(cè)試，得到離散方法的數(shù)值精度階，并進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示.關(guān)于數(shù)值精度階的測(cè)試方法詳見文獻(xiàn)[43]，測(cè)試的計(jì)算平臺(tái)為課題組自主研制的HyperFLOW軟件[4445].

從表1可以看到，在4種不同類型的網(wǎng)格上，等熵渦流動(dòng)精度測(cè)試、分量Euler制造解精度測(cè)試、標(biāo)量Euler制造解精度測(cè)試得到的流動(dòng)求解精度階完全一致.這證實(shí)了前述的標(biāo)量制造解方法和分量制造解方法是CFD方法驗(yàn)證有效工具的論斷.需要說明的是，這里采用的是格心型非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積離散格式，流動(dòng)變量的重構(gòu)采用GG-Cell梯度重構(gòu)方法[42,46]，對(duì)流通量離散采用Roe格式.利用其他方法也能得到制造解和精確解數(shù)值精度階一致的結(jié)果.

表1 制造解方法的驗(yàn)證Table 1 Verificatio of the MMS procedure

2 制造解方法在精度驗(yàn)證中的應(yīng)用

在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積離散格式中，基于梯度重構(gòu)的迎風(fēng)格式是最受歡迎的對(duì)流通量離散格式，如矢通量分裂格式：AUSM格式，Van Leer格式，Steger-Warming格式；通量差分分裂格式：Roe格式等.通常這些通量離散格式需要至少一階精度的梯度重構(gòu)以確保二階精度的有限體積離散.

一般來說，在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上，通常有基于Green-Gauss(GG)公式的梯度重構(gòu)方法和基于最小二乘(least squares,LSQ)的梯度重構(gòu)方法.根據(jù)面心值求解方式的不同GG方法又可以分為4種,如表2所示[42].

表2 不同種類的GG梯度重構(gòu)方法Table 2 Di ff erent types of GG gradient reconstruction methods

LSQ方法則根據(jù)是否加權(quán)、是否采用擴(kuò)充模板又分為加權(quán)的最小二乘梯度重構(gòu)WLSQ，不加權(quán)的最小二乘梯度重構(gòu)LSQ，以及相應(yīng)擴(kuò)充模板(extended)或者基本模板 (basic)的 WLSQ和 LSQ方法[42,46]，如表3所示.

而擴(kuò)散通量計(jì)算精度主要取決于控制體交界面梯度的計(jì)算方法.根據(jù)單元梯度值的加權(quán)方式、界面值是否連續(xù)、以及是否引入差分修正項(xiàng)，界面梯度的計(jì)算方法分為很多種[47].

表3 不同種類的LSQ梯度重構(gòu)方法Table 3 Di ff erent types of LSQ gradient reconstruction methods

本文僅考慮兩種非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格界面梯度求解方法，以說明制造解方法在驗(yàn)證擴(kuò)散通量計(jì)算方法中的應(yīng)用，這兩種界面梯度的求解方法公式分別如式(9)～式(11)所示.

(1)Aver method取左右單元梯度的平均值.

(2)Edge correction method[48]在取平均值的基礎(chǔ)上，在相鄰格心連線方向引入差分修正.

文獻(xiàn)[48]指出,雖然aver method簡單易實(shí)現(xiàn)，不需要額外的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)，但是會(huì)在四邊形網(wǎng)格或六面體網(wǎng)格上導(dǎo)致奇偶失聯(lián)，而edge correction method則能夠在四面體、三棱柱及六面體網(wǎng)格上形成強(qiáng)耦合的模板，本文將從計(jì)算精度角度對(duì)這兩種方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.

網(wǎng)格收斂性測(cè)試選取5套依次加密的網(wǎng)格，數(shù)值模擬制造解流動(dòng)，邊界條件為Dirichlet邊界，消除邊界條件離散的誤差，測(cè)試離散誤差隨網(wǎng)格尺度減小時(shí)的收斂情況.通過密度離散誤差的L1模隨網(wǎng)格尺度(mesh size)的收斂結(jié)果來研究各種方法的模擬精度及數(shù)值精度階.

2.1 單元梯度重構(gòu)方法的驗(yàn)證

本節(jié)通過分量Euler制造解考察表2中4種GG方法，以及表3中的WLSQ-basic和WLSQ-extended方法在圖3所示的4種網(wǎng)格上求解Euler方程的計(jì)算精度.對(duì)流通量采用Roe格式進(jìn)行離散.

圖4中曲線“1st”表示采用常量重構(gòu)的流動(dòng)模擬結(jié)果，即認(rèn)為單元內(nèi)流動(dòng)變量為常數(shù)，單元界面左右狀態(tài)直接取為左右單元的值，而不經(jīng)過梯度重構(gòu)得到；“1st order ref.”和 “2nd order ref.”分別代表一階精度和二階精度參考曲線，給出一階精度和二階精度曲線參考斜率，即離散誤差下降的速率.

圖4(a)和圖4(c)顯示，對(duì)于規(guī)則網(wǎng)格Grid 1和Grid 3，所有梯度重構(gòu)方法在求解Euler方程時(shí)均能達(dá)到二階精度，滿足二階有限體積法的預(yù)期.而圖4(b)和圖4(d)顯示，在非規(guī)則網(wǎng)格Grid 2和Grid 4上，采用GG-Cell和GG-Node梯度重構(gòu)方法會(huì)使流動(dòng)模擬降階到一階，在同樣的網(wǎng)格尺度下，流動(dòng)模擬精度明顯下降.因此梯度重構(gòu)方法的選擇對(duì)流動(dòng)模擬精度有非常重要的影響，甚至決定了離散方法的精度階，而精度階直接反應(yīng)了離散誤差在網(wǎng)格加密時(shí)的下降速率.

圖4 不同梯度重構(gòu)方法的分量Euler制造解精度測(cè)試結(jié)果Fig.4 Testing on di ff erent gradient methods with vector Euler MMS

圖4 不同梯度重構(gòu)方法的分量Euler制造解精度測(cè)試結(jié)果(續(xù))Fig.4 Testing on di ff erent gradient methods with vector Euler MMS(continued)

GG-Cell及GG-Node方法流動(dòng)模擬精度降階的原因在于在非規(guī)則網(wǎng)格上面心值插值未能達(dá)到二階精度，導(dǎo)致梯度重構(gòu)精度為0階，從而導(dǎo)致流動(dòng)模擬只有一階精度，而其他能夠保證面心值二階插值精度的方法如GG-LSQ和GG-WTLI，以及LSQ方法均能保持梯度一階精度，從而保證流動(dòng)模擬的二階精度，具體分析可參見文獻(xiàn)[49].

2.2 對(duì)流通量離散的驗(yàn)證

本節(jié)通過分量Euler制造解考察4種對(duì)流通量格式(AUSM+,Roe,Steger-Warming,Van Leer)對(duì)Euler方程模擬精度的影響.

采用規(guī)則四邊形網(wǎng)格Grid 1和非規(guī)則四邊形網(wǎng)格Grid 2；單元梯度重構(gòu)分別采用GG-Cell方法和WLSQ-basic方法，同樣采用5套依次加密的網(wǎng)格，進(jìn)行網(wǎng)格收斂性測(cè)試.

圖5顯示，不同的通量格式對(duì)流動(dòng)模擬精度影響不大，各種通量格式離散誤差非常接近.實(shí)際上，圖5的結(jié)果再次證實(shí)梯度重構(gòu)方法的選擇是Euler方程模擬精度的主要影響因素，圖5(a)和圖5(b)顯示,采用GG-Cell方法在規(guī)則和非規(guī)則網(wǎng)格上進(jìn)行梯度重構(gòu)出現(xiàn)了精度階上的差異，而圖5(c)和圖5(d)顯示,WLSQ-basic方法對(duì)網(wǎng)格是否規(guī)則并不敏感，各種對(duì)流通量均能保持二階精度，且絕對(duì)誤差相差很小.這與上一節(jié)中關(guān)于梯度重構(gòu)方法的驗(yàn)證結(jié)論一致.

圖5 不同通量格式的分量Euler制造解精度測(cè)試結(jié)果Fig.5 Testing on di ff erent inviscid flu schemes with vector Euler MMS

圖5 不同通量格式的分量Euler制造解精度測(cè)試結(jié)果(續(xù))Fig.5 Testing on di ff erent inviscid flu schemes with vector Euler MMS(continued)

2.3 擴(kuò)散通量離散的驗(yàn)證

本節(jié)通過標(biāo)量Euler制造解對(duì)標(biāo)量擴(kuò)散方程(方程(3)中取對(duì)流項(xiàng)系數(shù) A=0)進(jìn)行精度測(cè)試，驗(yàn)證不同界面梯度計(jì)算方法對(duì)擴(kuò)散通量離散精度的影響.網(wǎng)格收斂性測(cè)試采用規(guī)則網(wǎng)格Grid 1和Grid 3，梯度重構(gòu)分別采用GG-Cell方法和WLSQ梯度重構(gòu)方法.需要說明的是，由于在擾動(dòng)網(wǎng)格Grid 2和Grid 4上，網(wǎng)格擾動(dòng)會(huì)導(dǎo)致GG-Cell方法單元梯度重構(gòu)精度降階到零階[49]，從而引入單元梯度重構(gòu)精度這一多余影響因素，故在此不考慮Grid 2和Grid 4.

圖6顯示，無論是規(guī)則四邊形網(wǎng)格(Grid 1)還是規(guī)則三角形網(wǎng)格(Grid 3)，采用aver method求解界面梯度值都會(huì)導(dǎo)致標(biāo)量擴(kuò)散方程求解精度下降.如圖6(a)和圖6(c)所示，在Grid 1上，當(dāng)界面梯度采用aver method時(shí)，流動(dòng)模擬精度隨著網(wǎng)格加密逐漸降階到一階；而圖6(b)和圖6(d)顯示在Grid 3上，采用GG-Cell單元梯度重構(gòu)的aver method會(huì)降階到一階，而采用WLSQ-basic單元梯度重構(gòu)的aver method會(huì)降階到零階，離散誤差顯著增大.相反，采用edge correction method則在兩種網(wǎng)格上，對(duì)于兩種單元梯度重構(gòu)方法(GG-Cell和WLSQ-basic)均能保證擴(kuò)散方程求解的二階精度，離散的絕對(duì)誤差也明顯比aver method更小.因此，擴(kuò)散通量中界面梯度的計(jì)算方法對(duì)流動(dòng)模擬精度有較大影響.而擴(kuò)散方程求解精度降階的原因還有待進(jìn)一步分析.

圖6 不同界面梯度計(jì)算方法的標(biāo)量Euler制造解精度測(cè)試結(jié)果Fig.6 Testing on di ff erent interface gradient methods with scalar Euler MMS

圖6 不同界面梯度計(jì)算方法的標(biāo)量Euler制造解精度測(cè)試結(jié)果(續(xù))Fig.6 Testing on di ff erent interface gradient methods with scalar Euler MMS(continued)

3 結(jié)論

本文在實(shí)現(xiàn)一種分量制造解和標(biāo)量制造解方法的基礎(chǔ)上，通過將制造解精度測(cè)試結(jié)果與典型精確解算例——二維無黏等熵渦精度測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步證實(shí)了制造解精度測(cè)試方法進(jìn)行CFD方法和代碼驗(yàn)證的可行性和有效性.

本文成功地將標(biāo)量制造解和分量制造解應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格梯度重構(gòu)方法、對(duì)流通量格式、擴(kuò)散通量格式的驗(yàn)證.結(jié)果表明,梯度重構(gòu)方法的選擇對(duì)Euler方程模擬精度有明顯影響，在非規(guī)則網(wǎng)格上采用GG-Cell和GG-Node方法進(jìn)行單元梯度重構(gòu)會(huì)導(dǎo)致流動(dòng)模擬精度降階，離散誤差明顯增大，而LSQ方法則對(duì)網(wǎng)格是否規(guī)則并不敏感.本文選擇的幾種無黏通量格式均能夠保持二階精度，且各種格式的離散誤差接近，說明在這種情況下，近似Riemann解的選取對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響有限.而對(duì)擴(kuò)散通量中界面梯度計(jì)算方法的驗(yàn)證結(jié)果顯示，界面梯度計(jì)算方法對(duì)流動(dòng)模擬精度有顯著影響.

下一步工作將針對(duì)NS方程進(jìn)行制造解方法的驗(yàn)證與確認(rèn)工作；同時(shí)，邊界條件的驗(yàn)證、各向異性網(wǎng)格上“黏性”制造解流動(dòng)的模擬、以及擴(kuò)散方程精度降階的原因也是進(jìn)一步研究的方向.

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ACCURACY VERIFICATION OF UNSTRUCTURED SECOND-ORDER FINITE VOLUME DISCRETIZATION SCHEMES BASED ON THE METHOD OF MANUFACTURED SOLUTIONS1)

Wang Nianhua?,2)Zhang Laiping?,?Zhao Zhong?He Xin?,??(Computational Aerodynamics Institute，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，Sichuan，China)?(State Key Laboratory of Aerodynamics，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，Sichuan，China)

With the great improvement in computer technology,computational flui dynamics have progressed signifi cantly.Even though it is fast and easy to obtain discretized results via numerical simulations,the validity and accuracy of the results need to be carefully validated and verified As an important approach in verificatio and validation,the method of manufactured solutions(MMS)was widely applied in code verification accuracy analysis and verificatio of boundary conditions.This paper firs established the procedures for the MMS with scalar manufactured solutions and vector man-ufactured solutions.Verificatio of these two procedures was performed by comparing results of accuracy testing for a typical exact solution(2D inviscid isentropic vortex).The MMS procedures were then employed to the study of unstructured finite-olume discretization schemes,such as gradient reconstruction methods,convective flu es discretization and di ff usive flu es discretization.It demonstrated that some schemes employing certain Green-Gauss based gradient degrade to 1st order on irregular meshes and discretization error increases significantl,while the least squares based gradient is insensitive to mesh irregularity.Besides,all tested convective flu es discretization schemes were 2nd order accurate and they exhibited similar performance in terms of accuracy.But the method of computing the interface gradient was an essential factor a ff ecting the accuracy of di ff usive flu es discretization.

verificatio and validation,method of manufactured solutions,method of exact solutions,grid convergence study,finit volume discretization,numerical accuracy

V211.3

：A

10.6052/0459-1879-16-260

2016–09–18 收稿，2017–02–25 錄用,2017–02–25 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11532016).

2)王年華,碩士研究生,主要研究方向：計(jì)算流體力學(xué),有限體積離散方法.E-mail：nianhuawong@126.com

王年華,張來平,趙鐘,赫新.基于制造解的非結(jié)構(gòu)二階有限體積離散格式的精度測(cè)試與驗(yàn)證.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(3)：627-637

Wang Nianhua,Zhang Laiping,Zhao Zhong,He Xin.Accuracy verificatio of unstructured second-order finit volume discretization schemes based on the method of manufactured solutions.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：627-637