張 舒 徐 鑒

(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

時滯耦合系統(tǒng)非線性動力學的研究進展1)

張 舒 徐 鑒2)

(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

隨著對自然界客觀規(guī)律的深入認識，工程系統(tǒng)設(shè)計的精細化和復雜性要求也與日劇增.在許多耦合的動態(tài)系統(tǒng)設(shè)計過程中要考慮由耦合過程的時滯所引發(fā)的動力學行為，該時滯來自于與傳感系統(tǒng)、作動系統(tǒng)和控制系統(tǒng)耦合的過程.耦合時滯也廣泛存在于交通、系統(tǒng)生物學、電子通訊、神經(jīng)和信息網(wǎng)絡(luò)等技術(shù)中.本文首先從耦合時滯出發(fā)，在以時滯為中心的耦合系統(tǒng)復雜動力學機制、時滯鎮(zhèn)定耦合系統(tǒng)的實驗基礎(chǔ)和實現(xiàn)、快慢變時滯耦合系統(tǒng)動力學和時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步和去同步4個方面，對耦合時滯誘發(fā)的動力學研究進展進行綜述.著重介紹了時滯耦合系統(tǒng)中耦合時滯誘發(fā)的高余維分岔奇異性及新的定量分析方法、中立型時滯微分方程的規(guī)范型計算、具有耦合時滯的非線性系統(tǒng)中耦合時滯和非線性參數(shù)的辨識方法與實驗實現(xiàn)、快慢變時滯耦合系統(tǒng)的張弛振蕩、耦合時滯誘發(fā)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步模式切換等問題的研究進展；然后在應用方面重點介紹了車床磨削加工過程中耦合時滯誘發(fā)的顫振及其機理、具有慣性項和耦合時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中耦合時滯誘發(fā)的高余維分岔和復雜動力學、時滯動力吸振器與隔振裝置的設(shè)計與實驗實現(xiàn).最后，從耦合時滯系統(tǒng)的一般性理論和工程應用兩個方面展望了近期值得關(guān)注的一些問題.

時滯耦合系統(tǒng)，非線性動力學，時滯微分方程，快慢變系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

引言

由于時滯在實際耦合系統(tǒng)中普遍存在，其已成為數(shù)學、力學、高精度機械制造工程、生物等眾多領(lǐng)域科學家關(guān)心的重要課題.以非線性動力學領(lǐng)域的國際知名期刊《Nonlinear Dynamics》為例，其刊發(fā)的標題中包含“coupling delay”的論文，2002—2006年僅1篇，2007—2011年有7篇，2012—2016年多達52篇.說明這一課題的研究在國內(nèi)外已經(jīng)呈現(xiàn)上升趨勢.

首先，當力學系統(tǒng)承受長期的外激勵作用時，由于采用所有形式的時滯反饋(位置、速度、狀態(tài))控制都無法完全消除系統(tǒng)的振動,因此必須采用動態(tài)時滯控制器(基于微分方程建模)吸收系統(tǒng)所承受的外部激勵能量，從而實現(xiàn)抑制振動的目的.且采用動態(tài)的非線性時滯控制器可以在更寬的頻帶范圍內(nèi)吸收系統(tǒng)所承受的能量.動態(tài)控制器對系統(tǒng)的作用與時滯反饋控制明顯不同.從作用效果看，時滯反饋控制器是單向作用，時滯效應也是單向的，而動態(tài)時滯控制是雙向作用，時滯效應也是雙向的；從模型上看：對于一個簡單的位置或者速度反饋時滯系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)只與目標系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)，且常常較低.而時滯耦合系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)與子系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)有關(guān)，因此時滯耦合系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)常常是高維的，耦合的子系統(tǒng)越多，狀態(tài)維數(shù)越高.這些都給研究工作提出了新的挑戰(zhàn)：第一，以此方式建立的振動控制系統(tǒng)將是高維的時滯和非線性耦合系統(tǒng)，在考慮設(shè)計參數(shù)時，至少需要涉及時滯量和控制器與系統(tǒng)的耦合強度兩個參數(shù)，這就需要分析系統(tǒng)更高余維數(shù)的奇異性，特別要分析時滯和耦合強度這兩個參數(shù)與系統(tǒng)發(fā)生強共振之間的關(guān)系，迄今為止該問題在國內(nèi)外學術(shù)界沒有得到解決；第二，在力學系統(tǒng)特別是機械系統(tǒng)中，如何實現(xiàn)控制器與系統(tǒng)之間的非線性和時滯耦合；第三，如果采用分段線性來模擬非線性，存在的問題就是很難用理論方法分析時滯非光滑耦合系統(tǒng)，只有通過實驗解決；另外，變時滯和變參數(shù)系統(tǒng)動力學的研究手段有限，也只有通過實驗總結(jié)各種變時滯對耦合系統(tǒng)的影響規(guī)律；第四，如果控制器的質(zhì)量與系統(tǒng)的質(zhì)量的比值是小量，將形成快慢變時滯耦合非線性系統(tǒng)，目前僅得知張弛振蕩是無時滯快慢變耦合系統(tǒng)明顯的特征之一，在生命系統(tǒng)中表現(xiàn)的形式是所謂的spiking動力學行為，但是對快慢變時滯耦合非線性系統(tǒng)動力學行為的了解甚少；第五，以此方式建立的振動控制系統(tǒng)是通過共振的方式進行能量交換的，從網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的觀點出發(fā)，這種能量傳遞成功與否就是網(wǎng)絡(luò)的同步與去同步問題，目前，從網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)觀點出發(fā)研究振動控制的工作也甚少.

其次，除了受控力學系統(tǒng)中控制環(huán)節(jié)存在時滯外，許多耦合系統(tǒng)在耦合過程中，子系統(tǒng)之間的耦合因素(力、電位信號等)也存在著作用或者傳遞過程中的時間滯后.例如，在砂輪磨床這樣簡單的系統(tǒng)中，通過砂輪與工件接觸點的作用與反作用力實現(xiàn)耦合，反作用力產(chǎn)生于工件再生和砂輪再生過程，可以表示為工件和砂輪位置的函數(shù)，其中工件和砂輪再生過程存在一定程度的時滯，它們與工件和砂輪的轉(zhuǎn)速有關(guān)，現(xiàn)代精密高效加工技術(shù)要求設(shè)計出適當?shù)霓D(zhuǎn)速使系統(tǒng)不出現(xiàn)再生顫振，從而提高工藝質(zhì)量.因此砂帶磨削過程中的磨削參數(shù)的測量和優(yōu)化非常重要，時滯成為重要的設(shè)計參數(shù).類似的工藝要求也會出現(xiàn)在高精度鉆孔、打磨和切削等設(shè)備中.除了力學系統(tǒng)之外，近年來，醫(yī)學工程中人機耦合交互系統(tǒng)的有效性、激光陣列耦合系統(tǒng)的協(xié)同性、耦合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步和去同步性、網(wǎng)絡(luò)擁塞和交通工程中車流堵塞的規(guī)律性等也受到了特別關(guān)注，主要原因是認識和了解這些力學或者物理系統(tǒng)耦合過程中時滯誘發(fā)的動力學性質(zhì)，可為這些系統(tǒng)的設(shè)計提供更加準確的依據(jù).例如，即使最簡單的單向車流跟隨模型也是一個時滯耦合系統(tǒng).事實上，在單向車輛跟隨過程中，當前的車輛速度與其前面若干車輛過去一段時間的速度有著密切的關(guān)聯(lián)，此處的“過去一段時間”就是時滯.顯然，該時滯是一個綜合因素，取決于行駛方向道路的質(zhì)量、車輛的性能和司機的反應能力.從直觀上可以看出,這種時滯會影響整個車流行駛的平均速度，從而成為車流是否堵塞的一個重要因素，按照這個觀點構(gòu)造的車流模型是一個多時滯耦合的系統(tǒng)，特別應該注意到，如果車流中車輛的性能差異較大，即部分車輛對環(huán)境(包括其他車輛)變化十分敏感，而另一部分車輛則比較遲鈍，體現(xiàn)在模型上便表現(xiàn)為不同的車輛模型右端的尺度不同甚至差異很大，此模型就是快慢變時滯耦合系統(tǒng).

最后，受控時滯系統(tǒng)的復雜運動具有特殊性，由于控制策略總是對某個特定的動力學行為(例如平衡態(tài)或者周期運動)進行控制，因此，在一定條件下，受控時滯系統(tǒng)中的時滯不會誘發(fā) Zero-Zero和Zero-Pair等分岔行為.然而，研究結(jié)果表明，對于耦合時滯系統(tǒng)，存在上述分岔行為，這就意味著時滯耦合系統(tǒng)可以通過這樣的機制產(chǎn)生同宿或者異宿軌道分岔，使其動力學行為較受控時滯系統(tǒng)更加復雜.可能存在的同宿和異宿軌道表明，時滯耦合系統(tǒng)中的時滯可以導致孤子解.從理論上看，時滯耦合系統(tǒng)的問題涉及高維時滯微分系統(tǒng)，這對研究提出了更大的挑戰(zhàn).因此，對時滯耦合系統(tǒng)的研究也符合從簡單走向復雜、從特殊走向一般、從低維到高維的基本認識規(guī)律.

綜上所述，本文將對 4個方面的科學問題進行綜述，即以時滯為中心的耦合系統(tǒng)復雜動力學機制、時滯鎮(zhèn)定耦合系統(tǒng)的實驗基礎(chǔ)和實現(xiàn)、快慢變時滯耦合系統(tǒng)動力學和時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步和去同步，其核心科學問題就是時滯耦合系統(tǒng)的非線性動力學理論與應用研究.該研究不但可以深刻認識耦合系統(tǒng)中客觀存在的時滯對系統(tǒng)各種動態(tài)性質(zhì)的影響，而且可以為此類系統(tǒng)的設(shè)計或者識別客觀存在的時滯提供理論依據(jù)和參考，因此具有重要的科學意義.由于時滯耦合動力系統(tǒng)的初值空間是無限維的，從而解空間也是無限維的，因此，時滯耦合系統(tǒng)動力學的研究也是極具挑戰(zhàn)性的研究課題[13].

1 以時滯為中心的耦合系統(tǒng)復雜動力學機制

近年來，以時滯為中心的耦合動力系統(tǒng)成為越來越重要的研究對象，主要原因在于精密加工等高技術(shù)需求、解決交通堵塞等社會需求和系統(tǒng)生物學發(fā)展的科學需求等使得系統(tǒng)耦合過程中的時滯不能被忽略.為了更好地理解時滯對耦合系統(tǒng)的影響，需要從理論上研究時滯與各種動力學甚至復雜動力學行為的關(guān)系，以便更加深入地認識自然界客觀存在現(xiàn)象的原因和機制或者對耦合系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計.因此，以時滯反饋為中心的耦合系統(tǒng)動力學行為分類研究成為重要的課題.目前的研究主要關(guān)注穩(wěn)定性分析、分岔分析、復雜動力學或者奇異性分析等，且大部分的工作還停留在穩(wěn)定性分析方面，對于分岔分析和復雜動力學機制的研究還不多，存在一定的難度.

研究表明，當考慮耦合系統(tǒng)耦合過程中的時滯時，系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性常常依賴于耦合時滯.針對雙向再生圓柱形磨削加工系統(tǒng)，Liu和Payre[4]提出了一種分析耦合時滯系統(tǒng)平衡態(tài)穩(wěn)定性的計算方法，該方法可以計算出位于復平面虛軸上的特征值，并據(jù)此判斷系統(tǒng)平衡態(tài)是否可能失去穩(wěn)定性而出現(xiàn)再生顫振.利用特征值與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系，可以得到避開再生顫振的設(shè)計參數(shù).對于交通堵塞問題，已有簡單的單向車流跟隨時滯系統(tǒng)模型[5]，并且對于離散時滯和連續(xù)分布時滯模型進行了初步的穩(wěn)定性分析，得到了這種單向車流穩(wěn)定的依賴時滯的參數(shù)區(qū)域.同濟大學和南京航空航天大學的項目組，從控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的觀點出發(fā)，也對受控時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性特別是相關(guān)理論在實際問題中的應用做了大量的研究，關(guān)于這方面的工作可以參考相關(guān)的綜述[6-7].

近年來，由于分岔軟件DDE-BIFTOOL的發(fā)布，該軟件被一些學者應用于從數(shù)值角度分析時滯誘發(fā)的復雜現(xiàn)象.Erzgraber等[8]研究了內(nèi)部具有濾波的半導體激光器的動力學和分岔.光譜通過內(nèi)部過濾器后重新進入激光輸入，而在對光譜濾波時會出現(xiàn)時滯，于是其變成一個耦合時滯系統(tǒng)的動力學與分岔問題.由于此類激光器輸出是一些特定光譜的激光，要求精度較高，涉及到濾波時的時滯對輸出的影響.在設(shè)計過濾器時，由于時滯難以避免，然而強度往往可以調(diào)節(jié)，因此，為了方便設(shè)計需要考慮時滯和強度參數(shù)對動力學的影響，這是一個典型的時滯誘發(fā)的余維2奇異性及其導致的動力學行為的分類問題.通過軟件DDE-BIFTOOL,作者給出了SN-Hopf和BT分岔及其分類，盡管沒有嚴格的理論證明，但該結(jié)果展示了余維2分岔分類重要的科學和工程意義.同樣的研究思路也被Green[9]用于一般的光學反射激光發(fā)生器中.

綜上所述，由于時滯誘發(fā)的高余維奇異性具有重要的應用背景，引起了許多從事理論研究學者的興趣.由于高余維奇異性的理論分析具有很大難度，因此從事這方面研究工作的學者不多.加拿大數(shù)學家Campbell領(lǐng)導的課題組是長期從事這方面研究的團隊之一，該團隊主要采用中心流形約化，研究的對象都是低維的時滯系統(tǒng)[10].近期有研究發(fā)現(xiàn)，隨著狀態(tài)空間維數(shù)的增加，時滯誘發(fā)的高余維分岔問題若采用中心流形約化將會變得非常復雜，而且還存在數(shù)學的開折參數(shù)與物理參數(shù)無法建立對應關(guān)系的缺陷.為了解決上述問題，學者們提出了一些新的方法，例如攝動--增量方法，該方法不但可以用于研究狀態(tài)變量是高維的耦合系統(tǒng)的Hopf分岔[11]，也能對低維耦合時滯系統(tǒng)的Hopf-Hopf分岔的奇異性及其動力學行為進行分類[1213].

另外，Hamilton是力學中的一類非常重要的系統(tǒng)，已取得了豐碩的研究成果.當前值得關(guān)注的是擬Hamilton系統(tǒng)，即Hamilton系統(tǒng)的小擾動系統(tǒng).研究這類系統(tǒng)的直接動機來自這樣的事實：許多復雜系統(tǒng)可以看作是某些較簡單系統(tǒng)的小擾動，并且一般擾動系統(tǒng)所產(chǎn)生的無擾系統(tǒng)不具有的動力學性質(zhì)常常對應分岔解附近的情況.另外，在適當?shù)淖鴺讼迪?，在Hopf分岔、Hopf-Hopf分岔等分岔點附近的系統(tǒng)即可看作擬Hamilton系統(tǒng).即使擾動項非常小，也可能引起動力學性質(zhì)產(chǎn)生本質(zhì)性的巨大變化.研究時滯對Hamilton系統(tǒng)的影響既有重要的理論價值，又是極具挑戰(zhàn)性的研究問題,這方面的工作,朱位秋研究小組的成果處于國際領(lǐng)先地位[14].

目前對于時滯耦合系統(tǒng)的研究主要停留在穩(wěn)定性分析方面，對于時滯誘發(fā)的時滯耦合系統(tǒng)的高余維奇異性及其分岔分類還需要理論分析和方法的創(chuàng)新.具體有以下幾個問題需要解決：研究和發(fā)展時滯耦合系統(tǒng)新的約化方法，重點研究在強時滯耦合和多時滯耦合條件下局部動力學特征表現(xiàn)的定量化方法，從而發(fā)展時滯耦合系統(tǒng)動力學行為描述的計算方法；研究針對時滯耦合系統(tǒng)的時滯和耦合強度誘發(fā)的弱共振和強共振動力學特性的一般性方法，在此基礎(chǔ)上研究時滯誘發(fā)的耦合系統(tǒng)動力學行為的奇異性及其動力學行為分類；研究時滯耦合系統(tǒng)中時滯和耦合強度誘發(fā)的各種其他高余維分岔及其相應的動力學定性分類，包括BT,Bautin,SN-Hopf,PFHopf,Fold-Hopf和PF-Hopf-Hopf分岔等；研究時滯耦合系統(tǒng)可能出現(xiàn)的新的復雜動力學及其形成的機制.下面對已取得的研究進展進行具體介紹.

時滯耦合系統(tǒng)的子系統(tǒng)之間出現(xiàn)內(nèi)共振是通過各個子系統(tǒng)的固有頻率進行能量交換，使得系統(tǒng)表現(xiàn)出特殊的動力學現(xiàn)象，其理論問題的本質(zhì)是對時滯誘發(fā)的Hopf-Hopf分岔問題的研究，相應的現(xiàn)象是滿足內(nèi)共振關(guān)系的線性系統(tǒng)和不存在內(nèi)共振關(guān)系的非線性系統(tǒng)所沒有的，因此，研究內(nèi)共振引起的動力學行為與系統(tǒng)中具有重要作用的參數(shù)之間的關(guān)系不僅具有重要的理論意義，還具有很大的應用價值.由于研究這樣的時滯耦合效應還沒有成熟的研究方法，首先需要對一個一般性的時滯耦合系統(tǒng)提出構(gòu)造性方法.

設(shè)一般性的時滯耦合系統(tǒng)為

其中，x ∈ C([-τ,0],Rn)，μ =(μ1,μ2,τ)∈ R3是參數(shù)向量，xτ=x(t-τ)是時滯項，表示τ時刻以前的狀態(tài)變量.為了更好地理解模型(1)，考慮具有時滯耦合的FitzHugh-Nagumo(FHN)模型[15]

其中，u1和u3是膜電位，u2和u4是回復量，τ＞0是傳輸時滯，c為耦合強度,a,b和r為正常數(shù).研究表明,參數(shù)耦合強度和時滯可以誘發(fā)Fold-Hopf分岔，可能導致系統(tǒng)出現(xiàn)周期運動、概周期運動、甚至混沌，如圖1所示.這表明耦合系統(tǒng)可以通過改變時滯而表現(xiàn)出完全不同的動力學行為，其現(xiàn)象十分豐富，例如上述系統(tǒng)可以產(chǎn)生10種不同拓撲結(jié)構(gòu)的動力學行為.

圖1 時滯誘發(fā)模型(2)在參數(shù)平面發(fā)生分岔(其中a=0.1,b=0.01,γ =3.2,c0=0.4125,τ0=14.2564)Fig.1 Delay-induced bifurcation of(2)in the parameter space(c,τ)for a=0.1,b=0.01,γ =3.2,c0=0.4125,τ0=14.2564

當式 (1)在平衡點的兩個特征值滿足 Reλ1=Reλ2=0和 Imλ1：Imλ2(ω1：ω2)=k1：k2時，如果k1：k2是無理數(shù)，則式(1)可能出現(xiàn)非共振的奇異性;如果k1：k2是有理數(shù)，則式(1)可能出現(xiàn)共振的奇異性，分別對應非共振的雙Hopf分岔和共振的雙Hopf分岔.時滯多尺度方法在于將時滯τ也分解成多個時間尺度，即 x=x(T0-τ0,T1-τ1,T2-τ2,···)，其中 Tk= εkt,τk= εkτ (k=0,1,2,···)，于是式 (1)解的形式為

其中，A是復數(shù)，c.c表示前面項的共軛.通過消除長期項得到可解性條件，可以分別得到非共振和共振情況下復數(shù)形式的振幅--頻率方程.Wang等[16]應用該方法研究了兩個具有時滯耦合的Van der Pol振子.通過選擇適當?shù)膮?shù)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會發(fā)生1：3共振雙Hopf分岔，并且對其在共振點附近的動力學行為進行研究，得到了振幅隨參數(shù)變化的分岔圖.結(jié)果表明,在兩個具有時滯耦合的Van der Pol振子的1：3共振點附近存在豐富的動力學行為，如振幅死區(qū)、周期解、概周期解和周期三現(xiàn)象等.根據(jù)一般性的雙 Hopf分岔理論，1：3共振屬于共振雙 Hopf分岔中的低階共振問題，而對于其他共振問題，Wang等[17]得到了高階共振是弱共振的結(jié)論，這是由于高階共振的共振項出現(xiàn)在高階項(高于三階)，因此，模態(tài)之間的耦合較弱.然而這并不意味著低階共振就是強共振，事實上如果一個低階共振的所有低階共振項的系數(shù)都為零，則該共振就是弱共振.在強共振情形，共振項首先出現(xiàn)在低階項中，因此即使截斷規(guī)范型方程到低階項，發(fā)生內(nèi)共振的兩個模態(tài)之間的相互作用仍然比較強，這種相互作用使系統(tǒng)能量在兩個模態(tài)之間相互傳遞.他們進一步得到了1：1，1：2和1：3三種低階共振發(fā)生強共振和弱共振的條件.例如對于形如式(1)的時滯系統(tǒng)，得到時滯誘發(fā)的1：3內(nèi)共振具有如下形式

其中，Cˉ1ˉ12A2和C111A是共振項.Wang等[17]從理論上證明了如下結(jié)論：如果復振幅方程(4)中共振項的系數(shù)C111和/或Cˉ1ˉ12不等于零，則該1：3共振雙Hopf分岔是強共振雙Hopf分岔，其規(guī)范型方程是一個三維的系統(tǒng)；如果復振幅方程(4)中共振項的系數(shù)C111和Cˉ1ˉ12同時等于零，則該1：3共振雙Hopf分岔是弱共振雙Hopf分岔，其規(guī)范型方程是一個二維的系統(tǒng).本文作者也討論了1：1和1：2內(nèi)共振強和弱的條件.為了區(qū)分強弱內(nèi)共振的不同，考慮具有時滯反饋的極限環(huán)系統(tǒng)

其中，Z(t)=x1+ix2是復數(shù)，ω0是振子的固有頻率，a是實數(shù)，τ≥0是反饋時滯，k1和k2分別是線性和非線性反饋的強度.利用得到的強和弱共振的充分條件得知k2=0和k2≠0時，系統(tǒng)平凡平衡態(tài)發(fā)生1：2弱共振和強共振，系統(tǒng)(5)的幅頻響應分別可以表示為和這里可以看出前者對應的分岔是余維3的，而后者是余維2的.

從上述分析結(jié)果可以看出，強共振和弱共振的動力學行為在本質(zhì)上是不同的，并且不可互相替代，強共振雙Hopf分岔具有余維3奇異性，而其他情形的共振雙Hopf分岔具有余維2奇異性.該結(jié)論對雙Hopf分岔點附近的動力學行為分類具有重要的指導意義，可以對如振幅死區(qū)、倍周期運動、周期三和概周期運動的機理提供合理的解釋.作為一個直接的應用，Song等[1819]分別對多時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和具有分布時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的雙Hopf分岔進行了研究，解決了這3類網(wǎng)絡(luò)動力學行為的分類問題.

多自由度時滯振動系統(tǒng)的一般形式為

其中 xi∈ R，i=1,2,···,N，φi關(guān)于時間變量 t滿足2π 周期性.定義連續(xù)算子 xit：xit(θ)=xi(t+θ),?θ∈[-τ,0]，則 xit∈ C([-τ,0],R),i=1,2,···,N，其中C([-τ,0],R)表示從 [-τ,0]到 R的連續(xù)函數(shù)的全體所構(gòu)成的空間.方程(6)從嚴格數(shù)學意義上講為C空間上的泛函微分方程組，其形式為

能夠證明上述方程的解可以通過下面的迭代程序得到[20]

為了驗證上述積分迭代解的精度和有效性，分別研究如下的單自由度和雙自由度的時滯振動系統(tǒng)

其中，ω1=ω2+σ1,Ω=ω2+σ2，并分別得到得到積分迭代法(integral iteration method，IIM)、多尺度方法(method of multiple scales，MMS)與數(shù)值解(numerical simulation)的幅頻關(guān)系，如圖2和圖3所示.

圖2 方程(9)的幅頻響應(τ=0.1,ζ=0.05,μ=0.05,f=0.5,u=0.05,v=-0.05)Fig.2 Amplitude-frequency response of Eq.(9),where τ =0.1，ζ=0.05,μ=0.05,f=0.5,u=0.05,v=-0.05

圖3 方程(10)的幅頻響應(ω1=1,ω2=1.2,σ1=-0.2,μ=0.1,ξ1=0.1,ξ2=0.1,F=0.1,α =0.2,g=-0.1,τ =0.2)Fig.3 Amplitude-frequency response of Eq.(10),where ω1=1,ω2=1.2,σ1=-0.2,μ =0.1,ξ1=0.1,ξ2=0.1,F=0.1,α =0.2,g=-0.1,τ=0.2

通過與數(shù)值結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)積分迭代法得到的結(jié)果與數(shù)值結(jié)果吻合得非常好，并且在很多情況下積分迭代法的精度比多尺度方法高.因此，積分迭代法是一種有效處理時滯振動問題的方法.

時滯的出現(xiàn)可能使得穩(wěn)定性分析、響應計算、非線性分析都變得很困難.當時滯較小時，可將時滯項按Taylor公式展開，但這種方法不可靠.當時滯較大時，這種展開對動力學分析通常是無效的.Li等[21]研究了周期激勵下具有較大時滯的時滯振動系統(tǒng)主共振解和亞諧共振解的穩(wěn)定性，利用一種特殊函數(shù)(Lambert W)給出了一種計算最大Floquet乘子的直接方法，易于理解且計算精度高，由Floquet乘子實部的符號即可確定共振周期解的穩(wěn)定性.另外，在時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與Hopf分岔存在條件的討論中都需要確定處于臨界狀態(tài)的特征根分支曲線隨參數(shù)變化跨越虛軸的方向，盡管數(shù)值計算可以得到各具體臨界點處的性態(tài)，但無法得到不同臨界點處的普遍性結(jié)論.針對參數(shù)依賴時滯的一類系統(tǒng)，Wang[22]提出了一個簡潔的計算公式，由臨界穩(wěn)定條件確定兩個易于得到的輔助函數(shù)，計算其雅可比行列式即可.

Hopf分岔是時滯系統(tǒng)中導致平衡點失穩(wěn)的一種典型的非線性動力學現(xiàn)象，其分析通常都是非常繁瑣而復雜的.為了克服這一困難，在Maple軟件環(huán)境下，Zhang等[23]實現(xiàn)了計算滯后型泛函微分方程在Hopf分岔附近的規(guī)范型的Maple算法和計算程序的開發(fā)，只要提供時滯微分方程的基本信息，即可得到規(guī)范型，應用非常方便.該算法的優(yōu)點是可以同時對系統(tǒng)進行中心流形約化和規(guī)范型計算.中立型時滯系統(tǒng)與滯后型時滯系統(tǒng)相比，不僅動力學行為更復雜，理論分析也更困難.國際著名學者Nayfeh在2008年一篇論文中曾猜測：應用多尺度法和規(guī)范型理論對NDDE進行規(guī)范型分析時，所求得的規(guī)范型是相同的.Zhang等[24]同時提出了一套基于規(guī)范型理論的符號算法，用于中立型時滯微分方程的Hopf分岔的規(guī)范型計算，并應用該算法對受時滯位移反饋控制的起重機動力學進行了分析，研究結(jié)果驗證了Nayfeh的猜測.

作為時滯耦合系統(tǒng)中時滯誘發(fā)復雜性的一個應用，Yan等[25]研究了磨削過程中的顫振機理.系統(tǒng)的力學模型被視為兩端簡支的歐拉--伯努利梁和阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的耦合系統(tǒng),磨削系統(tǒng)的時滯來源于工件與砂輪接觸一周的時間，他們首先分析了時滯誘發(fā)的失穩(wěn)區(qū)間，重要的發(fā)現(xiàn)是存在著兩個臨界時滯分別對應著超臨界和亞臨界Hopf分岔，于是證明了Bautin分岔點(余維2)的存在.通過對Bautin奇異性的分析和動力學行為的分析，在理論上給出了靜平衡態(tài)和顫振共存的判據(jù)，并且得到了響應的時滯區(qū)間，這意味著在靜平衡態(tài)和顫振之間有一個轉(zhuǎn)速的過渡區(qū)，這個過渡區(qū)依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，也是可控的區(qū)間.研究結(jié)果有助于理解磨削加工中再生顫振的產(chǎn)生機理，且有助于抑制磨削過程中砂輪和工件顫振的轉(zhuǎn)速設(shè)計.在此工作的基礎(chǔ)上，Yan等[26]進一步討論了往復式磨削中的顫振運動.相比于切入式磨削過程，往復式磨削中的砂輪會沿著工件軸向來回移動，從而保證工件的表面能夠被完整地磨削.因此，其動力學控制方程中代表砂輪位置的參數(shù)不再是一個常數(shù)，而是轉(zhuǎn)化為一個隨時間變化的量.然而，考慮到砂輪作往復式運動的速度非常小，故將控制方程中砂輪的位置看作一個準靜態(tài)的參數(shù)，得出了砂輪和工件分別穩(wěn)定的條件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)砂輪位置對砂輪自身的穩(wěn)定性并沒有很大的影響，但對于工件的穩(wěn)定性卻起著決定性作用.此外，其還發(fā)現(xiàn)在磨削過程中砂輪低階模態(tài)的振動比高階模態(tài)更容易被激發(fā)，且隨著磨削剛度的變大，越來越多的高階模態(tài)振動會被再生效應激發(fā)起來；當砂輪處于工件的中間位置時其自身的穩(wěn)定性最差，而當砂輪向工件兩邊靠攏時其穩(wěn)定性逐漸變好；同時著重考慮了砂輪位置對顫振運動的影響.結(jié)果表明,該參數(shù)對砂輪失穩(wěn)引發(fā)的顫振幾乎沒有影響，而對工件失穩(wěn)引發(fā)的顫振影響較大.當砂輪處于工件中點時，工件的顫振運動具有最大的振幅，而在砂輪遠離工件中點的過程中,其振幅會逐漸減小直到消失.進一步將準靜態(tài)的參數(shù)動態(tài)化，結(jié)合得到的分岔圖追蹤砂輪的位置和顫振的振幅，構(gòu)造出了往復式磨削加工中可能發(fā)生的顫振運動，與直接用數(shù)值積分得到的結(jié)果吻合很好.此研究還發(fā)現(xiàn)在磨削過程中，由砂輪失穩(wěn)引發(fā)的顫振具有持續(xù)性而由工件失穩(wěn)引發(fā)的顫振運動則具有間隙性.

更進一步的應用是針對具有慣性的時滯耦合系統(tǒng)展開的.事實上，所有的振動耦合系統(tǒng)都可以看成是具有慣性項的雙向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).開展這樣的研究有助于從一個新的視角認識工程實際系統(tǒng)或者動力學系統(tǒng).Ge等[2729]應用上述研究中給出的判定強共振或弱共振的條件，確定了時滯參數(shù)誘發(fā)的弱共振余維2分岔的范圍以及出現(xiàn)分岔點的參數(shù)值，對余維2共振分岔點鄰域內(nèi)的動力學行為進行了詳細的分類討論，證明了弱共振誘發(fā)的動力學行為最多只有6種，值得指出的是，其中出現(xiàn)的動力學死區(qū)、單模態(tài)動力學行為及其轉(zhuǎn)換的行為，對工程中的振動抑制以及振動的能量轉(zhuǎn)移有重要的參考價值，也構(gòu)成了后續(xù)振動抑制研究工作的理論基礎(chǔ).

作為對時滯耦合系統(tǒng)的拓展研究，Jiang等[30]、Song等[31]分別考慮具有時滯耦合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和具有慣性特征的神經(jīng)元時滯耦合系統(tǒng)，得到了在不同時滯耦合下系統(tǒng)參數(shù)平面內(nèi)的鞍結(jié)分岔以及Hopf分岔曲線，發(fā)現(xiàn)了這兩類分岔曲線在時滯較大時是相切的，通過分析，判斷出相切點處即為余維2的BT分岔點，從理論上分析了此類BT奇異點附近的動力學特征，并且得到了從BT奇異點引出的同宿軌分岔曲線的局部表達式.Song等[32]進一步研究發(fā)現(xiàn),該分岔曲線最終消失于一條鞍結(jié)分岔曲線，從而又得到另一個余維2的分岔曲線，即SNH分岔點.Song等[33]還發(fā)現(xiàn),對不同的時滯耦合強度和周期性外激勵，時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學行為呈現(xiàn)出Circle/Circle,Circle/Homoclinic,SN/Circle and SN/Homoclinic和Fold/Hopf動力學模式.當增大周期外激勵的強度時，由于系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔以及Hopf分岔的存在，系統(tǒng)就會具有Fold/Hopf模式，此時系統(tǒng)的靜止狀態(tài)的產(chǎn)生(或消失)是通過Fold分岔得到的，而周期峰放電則是通過Hopf分岔產(chǎn)生或消失的.

在工程應用研究方面存在兩個典型的問題，分別是時滯對軸流壓氣機喘振和人--橋耦合顫振模型的影響.在壓氣系統(tǒng)中,針對壓力上升和空氣擾動之間總有一定的時間滯后的基本特征，陳振等[34]重建了時滯MG模型，并通過研究發(fā)現(xiàn),時滯會對喘振現(xiàn)象產(chǎn)生本質(zhì)影響，即存在著臨界時滯.當時滯小于臨界時滯時，壓氣機的不穩(wěn)定工作形式是大振幅的喘振狀態(tài)；當時滯大于臨界時滯時，壓氣機工作在旋轉(zhuǎn)失速狀態(tài).針對千禧橋現(xiàn)象，以橋上行人為節(jié)點并考慮行人對橋作用有延時.Zhen等[3536]建立了橋梁側(cè)向移動與行人之間耦合的力學模型，提出行人的延時作用是千禧橋側(cè)振的主要因素的獨特學術(shù)觀點，并建立了相應的時滯動力學模型,模型的定量分析與目前存在的實驗結(jié)果吻合較好，.在這個動力學模型的基礎(chǔ)上，Zhen等[37]還給出了移動物體行駛誘發(fā)側(cè)向移動的臨界速度.

2 時滯鎮(zhèn)定系統(tǒng)的實驗基礎(chǔ)和實現(xiàn)

多數(shù)情況下時滯被視為是控制系統(tǒng)中的不利因素，它不僅降低控制系統(tǒng)的控制效果，而且給系統(tǒng)帶來不穩(wěn)定性.因此，一般情況下時滯是控制系統(tǒng)中要求被減小或排除的因素.然而，國內(nèi)外以往的研究表明，對于受控時滯系統(tǒng)，由于理論上發(fā)現(xiàn)的時滯導致的穩(wěn)定性切換現(xiàn)象[38]及其開關(guān)作用[39]，使得通過時滯鎮(zhèn)定系統(tǒng)成為可能，這樣的可能性也來自于Pyragas開創(chuàng)性地提出有意識地利用時滯狀態(tài)反饋來控制混沌的思想.利用這樣的理論基礎(chǔ)，胡海巖課題組對時滯反饋控制實驗進行了深入研究[40]，成功地實現(xiàn)了對雙倒立擺所有4個平衡位置的鎮(zhèn)定.而Ohta和Murakami[41]從相反的角度出發(fā)，通過對雙擺實施控制時出現(xiàn)的時滯進行補償，使得擺的穩(wěn)定性得以實現(xiàn).進行單擺的控制實驗的還有加拿大學者Campbell課題組[4243]，他們從實驗現(xiàn)象中驗證了通過時滯反饋控制可以鎮(zhèn)定單擺系統(tǒng)，而且還發(fā)現(xiàn)由于實驗裝置的缺陷，在單擺移動的過程中，單擺與滑桿之間的摩擦是黏滑運動，這種摩擦力會導致擺在平衡位置發(fā)生顫振.這些實驗工作使得時滯利用方面的研究變得豐富多彩且更具實用性.

然而，迄今為止對于利用系統(tǒng)耦合時滯鎮(zhèn)定、或者抑制受迫系統(tǒng)振動等方面的實驗工作還基本處于空白.主要的瓶頸有3個方面：第一，在過去很長一段時期對利用時滯對耦合系統(tǒng)的動力學進行鎮(zhèn)定的機理還不清楚，因為這種耦合系統(tǒng)的時滯對振子的作用較時滯反饋控制難，況且系統(tǒng)是非自治的；第二，如何在力學系統(tǒng)中實現(xiàn)耦合時滯是個難題；第三，如何在力學系統(tǒng)中實現(xiàn)模型研究中出現(xiàn)的非線性力.目前國內(nèi)外的一些學者已從理論上對耦合時滯的利用機制產(chǎn)生了新的認識.

事實上，耦合時滯的形式可以導致無外界激勵系統(tǒng)產(chǎn)生“振幅死島”(amplitude death island).對于有外部激勵的耦合系統(tǒng)，可以通過設(shè)計時滯吸振器來抑制振蕩.Olgac等[44]首先提出將耦合的線性強迫系統(tǒng)與時滯耦合，可以通過在線調(diào)節(jié)時滯實現(xiàn)主系統(tǒng)的振動完全消失.這種時滯減振技術(shù)可以根據(jù)測得的外激勵頻率的大小調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯的大小，它實質(zhì)上是一種主動減振技術(shù).Olgac研究小組，經(jīng)過將近3年的理論研究，獲得了實現(xiàn)主動減振技術(shù)的理論依據(jù)，并取得了實驗結(jié)果[45].但是該方法可以實現(xiàn)主系統(tǒng)振動完全消除的時滯量僅僅在一個點上，如果時滯飄移，系統(tǒng)的振動會更加劇烈[46].為了彌補該缺陷，Zhao等[4748]采用時滯與非線性聯(lián)合耦合的辦法來拓寬頻帶，為進一步發(fā)展和完善時滯減振技術(shù)建立了必要的基礎(chǔ)，也為進一步開展實驗研究工作提供了必要的理論依據(jù).

目前，盡管耦合系統(tǒng)中存在時滯已是普遍共識，但是針對時滯耦合系統(tǒng)非線性動力學的研究方法還比較有限，有關(guān)如何辯識系統(tǒng)中時滯這一基本問題的研究工作也不多見.

綜上所述，時滯效應中有動力學死區(qū)、單模態(tài)動力學行為及其轉(zhuǎn)換的行為，可以用于振動抑制.然而，在很長一段時間里對于利用時滯抑制受迫系統(tǒng)振動等方面的實驗工作基本處于空白.主要存在3個方面的問題：第一，在過去很長一段時期內(nèi)未了解關(guān)于時滯對耦合系統(tǒng)的動力學鎮(zhèn)定機理，因為耦合系統(tǒng)的時滯對振子的作用不同于時滯反饋控制，且系統(tǒng)是非自治的；第二，如何在力學系統(tǒng)中實現(xiàn)耦合時滯(以下稱為主動時滯)是個難題；第三，如何辨識受控系統(tǒng)中客觀存在的時滯(以下稱為硬時滯)沒有可以借鑒的方法.針對這些問題和難點，近幾年來，一些學者在這一領(lǐng)域取得了以下突破：研究和建立了時滯耦合線性系統(tǒng)中客觀存在的耦合時滯的辨識方法；構(gòu)建了有非線性力耦合和時滯吸振器的實驗裝置，通過實驗手段重點研究了主動時滯的調(diào)節(jié)機制和規(guī)律，可以通過對時滯參數(shù)的連續(xù)調(diào)節(jié)，確定使系統(tǒng)達到最優(yōu)吸振效果的控制律與時滯區(qū)間，并通過實際測量得到的輸入輸出信號，探索時滯耦合非線性系統(tǒng)識別時滯參數(shù)的規(guī)律；設(shè)計了時滯準零剛度隔振器并用其觀察無法用理論分析預測的現(xiàn)象；利用時滯控制設(shè)計了一種可以測量移動剛體的絕對位移的傳感器.在研究中，首先面臨的問題就是對于所構(gòu)造的實驗裝置的剛度、阻尼、質(zhì)量及時滯等參數(shù)的標定，以便得到時滯鎮(zhèn)定實驗的精確數(shù)據(jù).在標定中，需要突破的是如何對時滯參數(shù)和非線性參數(shù)進行辨識.

考慮含時滯的多自由度非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程

A1,A2,A3為系數(shù)矩陣，y[k]表示yk階Kronecker積.

需要辨識的是時滯耦合參數(shù)Dl及τl.將式(11)轉(zhuǎn)化為頻率響應方程后，可得到關(guān)于 τl的隱式方程.由于無法直接求解，考慮引入Newton-Raphson方法[49].令則可得到迭代算法，當算法收斂時,即可辨識出時滯耦合參數(shù).

將上述的時滯辨識方法用于時滯吸振器裝置[50],如圖4(a)所示，力學模型如圖4(b)所示，目的是辨識系統(tǒng)的物理參數(shù)和反饋系統(tǒng)存在的硬時滯以及人工給定的控制時滯.

圖4 時滯吸振器Fig.4 Delayed absorber

在圖 4中，m1是主系統(tǒng)，m2是輔系統(tǒng) (吸振系統(tǒng))，控制器利用伺服直線電機產(chǎn)生反饋時滯信號g(x2(t-τ))并作動在m2上，τ是反饋時滯，數(shù)學模型為

利用前文提到的辨識算法,可以得到式 (12)中的質(zhì)量、阻尼、剛度和反饋環(huán)節(jié)中的硬時滯的辨識結(jié)果：m1= 0.8027kg，m2= 0.3827kg，c1=2.5238N·s/m，c2=0.4728N·s/m，c3=8.7934N·s/m，k1= 2271.2284N/m，k2= 1469.8869N/m，k3=185.6448N/m，τin=7.8920ms.

對于非線性時滯系統(tǒng)的參數(shù)辨識研究，Zhang等[51]構(gòu)建了一個二自由度磁力非線性時滯控制實驗裝置，如圖5所示.

圖5 具有非線性磁力作用的時滯吸振器Fig.5 Delayed absorber acted by nonlinear magnetic force

圖6是實測結(jié)果與辨識理論結(jié)果的比較，其中Y和Z分別對應于吸振器x1和主系統(tǒng)x2.可以看出，辨識的精度滿足要求.

圖6 辨識結(jié)果與實測比較Fig.6 Comparison between identificatio and measurement

在辨識結(jié)果的基礎(chǔ)上，可以進一步考慮時滯吸振器吸振的效果[52].若給主質(zhì)量施加正弦激勵力，則耦合系統(tǒng)的振動對應的數(shù)學模型是

其中，kcxc表示時滯反饋控制力，kc表示作動器的剛度，xc表示反饋信號并具有以下形式xc=ax1(t-τ1),a表示反饋信號的放大系數(shù)，τ1表示固有時滯.當a≠0時，時滯反饋控制的引入將被動式動力吸振器轉(zhuǎn)化為時滯動力吸振器；當a=0，時滯反饋控制消失，時滯動力吸振器退化為被動式吸振器.圖7表示主動吸振器(a≠0，τ1=63ms)與被動吸振器(a=0)對主系統(tǒng)的吸振實驗結(jié)果的比較.可以看到，耦合系統(tǒng)的兩個共振頻率分別為6.55Hz和11Hz，被動吸振器自身的固有頻率為10.1Hz.當外激勵頻率接近10.1Hz時，被動吸振器十分有效，可以將主系統(tǒng)的振動降到最低.然而，當外激勵頻率受到擾動接近11Hz時，主系統(tǒng)發(fā)生第二階共振，被動吸振器完全失效.在這種情況下，主系統(tǒng)的加速度傳遞函數(shù)值在a=-0.5和a=-1時分別降低了50%和73.4%；當Ω=10.5Hz時，主系統(tǒng)的加速度傳遞函數(shù)值在a=-1時降低了52.4%；當Ω∈[7Hz,9.5Hz]時，時滯吸振器的減振效果不明顯.實驗結(jié)果表明，選擇合理的反饋增益系數(shù)，時滯動力吸振器可以大幅降低主系統(tǒng)的共振響應.

Xu和Sun[53]考慮了基于加速度信號的時滯耦合控制，其數(shù)學模型為

圖7 時滯吸振器主結(jié)構(gòu)實驗測量Fig.7 Experimental measurement of primary structure in delayed absorber system

其中 u(t)表示基礎(chǔ)激勵. 記 Di= (Hi|g=0-Hi|g≠0)/Hi|g=0×100%，則可以得到如下理論判據(jù)：(1)當D1＜0，D2＞0時，時滯吸振器可以吸收主系統(tǒng)能量，在此頻帶能抑制主系統(tǒng)的振動，而吸振器的振幅增大；(2)當D1＞0，D2＞0時，主系統(tǒng)和吸振器的振幅同時減小；(3)當D1＜0，D2＜0和D1＞0，D2＜0時，時滯吸振器失效.圖8展示了理論分析和實驗結(jié)果的比較.

圖8 理論分析和實驗結(jié)果的比較Fig.8 Comparison between theoretical analysis and experiments

從圖 8中看出：(1)當 Ω ∈[8Hz,10.0625Hz](D1＜0,D2＞0)時主系統(tǒng)和時滯吸振器之間發(fā)生能量轉(zhuǎn)移.具體表現(xiàn)為主系統(tǒng)的振幅減小，而吸振器的振幅增大.值得注意的是，當Ω=10Hz時主系統(tǒng)的振幅降低了80.03%，而吸振器的振幅增大了22.19%；(2)當 Ω ∈[11Hz,12Hz](D1＞0,D2＞0)時，主系統(tǒng)和吸振器的振幅均有不同程度的降低.特別是當Ω=11.125Hz時主系統(tǒng)和吸振器的振幅分別降低了73.19%和79.79%；(3)由于引入時滯反饋后反共振頻率減小，當Ω=10.25Hz(D1＞0，D2＜0)時主系統(tǒng)的振幅驟增了597.58%.然而可通過時滯耦合強度g和時滯τ的調(diào)節(jié)實現(xiàn)對主系統(tǒng)的吸振，如圖9所示.從圖9可以看出，只要選取合適的主動時滯和反饋增益便可有效調(diào)節(jié)反共振點的位置，且按照上文給定的判據(jù)就可實現(xiàn)時滯吸振器的有效吸振.

圖9 通過調(diào)節(jié)g和τ拓寬主系統(tǒng)吸振頻率Fig.9 Modifying gand τ to extend frequency band of vibration absorption for primary system

近年來，學術(shù)界對“準零剛度隔振器”進行了廣泛研究，通過調(diào)節(jié)準零剛度隔振裝置水平彈簧的預壓程度，可以降低結(jié)構(gòu)的共振頻率，從而拓寬有效隔振頻帶.然而，準零剛度隔振裝置存在一些缺陷，首先，當水平彈簧的預壓增大時，結(jié)構(gòu)的線性剛度被減小，但是當結(jié)構(gòu)的線性剛度小于零時，結(jié)構(gòu)會失去靜態(tài)穩(wěn)定性，容易出現(xiàn)失效、塌陷等現(xiàn)象；其次，雖然通過減小線性剛度的方法拓寬了結(jié)構(gòu)的隔振頻帶，但是共振峰值并不能減?。蛔詈?，利用水平預壓彈簧形成的準零剛度隔振結(jié)構(gòu)，當其線性剛度減小時，非線性剛度系數(shù)增大，因此會形成較大范圍內(nèi)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.Sun等[5455]利用時滯主動控制裝置研究準零剛度隔振結(jié)構(gòu)的特性，并且討論了時滯主動控制對結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的影響，探討不同激勵模式下準零剛度隔振裝置隔振效果的改進程度和機理,如圖10所示.

圖10 時滯耦合控制降低失效隔振區(qū)振幅Fig.10 Delayed control to decrease the amplitude at failed band for isolation

針對測量振動物體絕對位移的需求，Sun等[56]研究和設(shè)計了一種測量振動物體絕對位移的測量裝置，基于準零剛度的隔振結(jié)構(gòu)可以作為傳感器來測量振動物體的絕對位移和絕對速度.傳感器的結(jié)構(gòu)如圖11所示，其中絕對位移傳感器的結(jié)構(gòu)部分基于前文中提到的準零剛度隔振結(jié)構(gòu).從圖11可以看出，傳感器部分由一個較小的質(zhì)量塊、兩根水平彈簧和一根豎直彈簧組成.豎直彈簧和基座中裝有力傳感器，用于測量豎直彈簧的彈性恢復力，以此可以得到傳感器質(zhì)量M2和被測物體M1之間的相對位移.而由于M2的振動基本被隔離，因此M2和M1之間的相對位移與M1的絕對位移非常接近.類似的剪刀型裝置可以實現(xiàn)對多個方向絕對運動狀態(tài)的測量，也可以把測量得到的振動物體的絕對位移直接作為主動控制信號源使用，從而改進了多方向振動物體的振動控制效果[57].

圖11 測量移動物體絕對位移裝置Fig.11 Device to measure the absolute displacement of moving body

非光滑系統(tǒng)在現(xiàn)實中廣泛存在，有一種具有階躍形式的時滯耦合系統(tǒng)便屬于非光滑系統(tǒng)，這種階躍形式常常用Sigmoid函數(shù)進行建模，由于這種模型是一種簡化的近似形式，Sigmoid函數(shù)中的坡度因子(slope ratio)的確定就顯得尤為重要，即需要明確坡度因子對時滯耦合系統(tǒng)時滯鎮(zhèn)定的作用是否具有本質(zhì)的影響.研究結(jié)果表明，這個因子在時滯耦合系統(tǒng)中，可以誘發(fā)從周期運動-概周期運動-混沌這樣一個轉(zhuǎn)遷過程，并且隨著坡度因子的增大，系統(tǒng)從混沌模式轉(zhuǎn)遷至多周期運動狀態(tài)，然后又通過倍周期分岔進入混沌區(qū)域，并且時滯可以誘發(fā)多穩(wěn)態(tài)解[58].研究結(jié)果也表明，在對非光滑系統(tǒng)進行光滑近似處理時要尤為謹慎，這也說明利用工程中使用的限位器鎮(zhèn)定系統(tǒng)需要更加精細的設(shè)計，在這類問題中鎮(zhèn)定開關(guān)的功能不易實現(xiàn).這也為研究利用時滯耦合抑制系統(tǒng)的振動提供了研究動機和理論依據(jù).

自參數(shù)振動是一種特殊的非線性振動，飽和現(xiàn)象是非線性自參數(shù)振動系統(tǒng)一種重要的特征.在弱非線性振動系統(tǒng)中，當一個兩自由度的系統(tǒng)固有頻率比為1：2，并且高階模態(tài)受到主共振類型的外激勵時，系統(tǒng)就會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象.利用非線性自參數(shù)振動系統(tǒng)的內(nèi)共振產(chǎn)生的飽和現(xiàn)象能夠?qū)崿F(xiàn)對主振動系統(tǒng)的寬頻帶控制.由于飽和控制時主振動系統(tǒng)存在一定的振幅，對于對振動控制要求不高的控制系統(tǒng)而言，飽和控制能夠達到系統(tǒng)對振動控制的要求；然而，對于一些精密儀器設(shè)備的減振需求，飽和控制的減振效果并不理想，主振動系統(tǒng)的振幅則需要進一步加以控制.針對這一問題，Zhao等[5960]采用時滯反饋控制來控制自參數(shù)振動系統(tǒng)飽和控制時的振幅，通過研究一個帶有參數(shù)激勵擺的兩自由度質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)的振動控制問題.當主系統(tǒng)質(zhì)量塊受到簡諧激勵作用時，在輔系統(tǒng)單擺上施加一個具有時間滯后的反饋控制.研究結(jié)果表明，反饋增益系數(shù)和時滯是兩個可以獨立調(diào)節(jié)的控制參數(shù)，當反饋增益系數(shù)和時滯在某個范圍進行調(diào)節(jié)時，能夠減小主振動系統(tǒng)的振動.當反饋增益系數(shù)和時滯都調(diào)節(jié)到某個特定的數(shù)值時，主系統(tǒng)的振動幾乎可以完全消除，達到了理想的抑振效果.通過時滯耦合的時滯主動控制，實現(xiàn)發(fā)生1：2內(nèi)共振時的參數(shù)吸振模式，從而達到吸收主系統(tǒng)的振動能量以抑制主系統(tǒng)振動的目的，結(jié)果表明合適的時滯主動控制，可以抑制主系統(tǒng)的振幅達到56%，為進一步探索理論上的機制和實驗驗證提供了必要的基礎(chǔ).

時滯抑制振動的技術(shù)也被應用于磨削過程的再生顫振抑制和網(wǎng)絡(luò)擁塞控制中.在磨削過程中時滯來源于前一圈磨削的時間，因此利用時滯控制就是控制轉(zhuǎn)速，那么問題便可以描述為在不降低轉(zhuǎn)速的前提下如何抑制再生顫振.Yan等[61]通過在原有轉(zhuǎn)速基礎(chǔ)上施加微小的變速，實現(xiàn)了對顫振的抑制，并通過理論分析與數(shù)值模擬明確了轉(zhuǎn)速參數(shù)與顫振抑制效果的關(guān)系.在網(wǎng)絡(luò)擁塞控制問題中，時滯(即回環(huán)時間)是一個不可忽視的參數(shù)，已有的研究表明，網(wǎng)絡(luò)中的振蕩可能與時滯有關(guān)，而振蕩將會提高網(wǎng)絡(luò)擁塞的可能，不難理解，時滯誘發(fā)的振蕩(特別是同步振蕩)將會增加網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)出現(xiàn)擁塞的可能性或使已出現(xiàn)的擁塞進一步惡化.Zhang等[62]提出將時滯作為一個控制參數(shù)，當發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)振蕩時，對時滯施加一個小的周期攝動，可以起到鎮(zhèn)定系統(tǒng)的作用.這為設(shè)計新的控制策略提供了理論依據(jù).另外，網(wǎng)絡(luò)是典型的時滯耦合高維非線性系統(tǒng).Zhang等[63]考慮了n維Kelly型擁塞控制模型，假定n個用戶共享同一條鏈路，但各個用戶的物理參數(shù)可以不同.他們以時滯為分岔參數(shù)，求得系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)后產(chǎn)生的振幅-頻率方程和周期解，從而明確了高維擁塞控制問題中時滯和由其所誘發(fā)的發(fā)包速率周期振蕩之間的定量關(guān)系.為了抑制振蕩，對各個用戶的時滯施加頻率相同的小幅周期攝動，利用直接求解振幅--頻率方程和快慢變系統(tǒng)理論這兩種方法，得到鎮(zhèn)定系統(tǒng)所需的時滯攝動參數(shù)應滿足的條件.值得注意的是，在多用戶的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，可以只對其中一個用戶的時滯進行攝動而達到鎮(zhèn)定系統(tǒng)的目的，這在理論上為基于周期時滯的網(wǎng)絡(luò)振蕩控制器的設(shè)計提供了可行性.另外，對一個已經(jīng)引起周期振蕩的時滯進行周期攝動，當攝動的幅度超過閾值時，系統(tǒng)的振蕩將會得到抑制.通過時滯多尺度方法可以從理論上計算出該閾值的大小.這意味著通過這種手段也能有效降低因振蕩引起網(wǎng)絡(luò)擁塞的風險[64].此外，較大的時滯可使網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)周期振蕩，而較大的傳輸距離和較小的鏈路容量也可能是引起用戶發(fā)包速率出現(xiàn)振蕩的原因.針對環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，Zhang等[65]提出環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)單參數(shù)的表征方法，給出了跳數(shù)、時滯與環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的振蕩之間的關(guān)系，從而揭示了環(huán)形網(wǎng)絡(luò)中較大的跳數(shù)使得發(fā)包速率出現(xiàn)振蕩的現(xiàn)象.然而，在進行上述時滯主動控制技術(shù)的應用中，一定要注意網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，即使在一個拓撲結(jié)構(gòu)簡單的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，各種時滯如多時滯、狀態(tài)依賴時滯等也可以誘發(fā)復雜的動力學行為[6668].

對不同的問題，控制設(shè)計不僅要保證受控系統(tǒng)穩(wěn)定，還要具有一定的性能，如能耗最少、收斂速度最快等.此時可采用最優(yōu)控制理論.由于輸入時滯在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，這使得控制器不僅要利用當前狀態(tài)，還要利用過去的狀態(tài)，這給控制設(shè)計帶來了很大的困難.傳統(tǒng)的做法是先將含輸入時滯的控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無時滯的控制系統(tǒng)，然后利用無時滯控制系統(tǒng)設(shè)計出滿足無時滯系統(tǒng)的性能指標最優(yōu)的控制器.這樣帶來的問題是：控制性能指標不是基于原系統(tǒng)而是轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)，反饋控制器不是由原系統(tǒng)的狀態(tài)變量表示的，而是轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)狀態(tài)變量.為了克服這一困難，Zhou等[69]研究了具有輸入時滯的最優(yōu)控制設(shè)計問題，發(fā)現(xiàn)了原系統(tǒng)的反饋控制和轉(zhuǎn)化后系統(tǒng)的反饋控制之間的數(shù)量相等關(guān)系，進而可設(shè)計出基于原系統(tǒng)性能指標下的反饋控制，且控制由原系統(tǒng)的狀態(tài)變量表示.由此設(shè)計出的反饋增益比無時滯時的控制增益小，由此說明時滯可看作有利的因素.數(shù)值算例驗證了控制設(shè)計方法的可行性和優(yōu)越性.另外，如何通過反饋控制器的作用來鎮(zhèn)定不穩(wěn)定的時滯網(wǎng)絡(luò)或者改善網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性是一個重要的問題.朱霖河等[70]研究了一類受控二階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔，通過數(shù)值實驗說明如何選擇參數(shù)和時滯使系統(tǒng)收斂速度不斷加快、延遲網(wǎng)絡(luò)的分岔發(fā)生且擴大穩(wěn)定域等問題.

綜上所述，為了深入認識時滯積極的作用并進行技術(shù)實現(xiàn)，有必要開展研究并建立時滯耦合系統(tǒng)中客觀存在的耦合時滯的辨識方法，特別是研究周期振子通過時滯狀態(tài)耦合后，時滯和耦合強度是導致耦合系統(tǒng)從動態(tài)走向平衡態(tài)的參數(shù)條件，構(gòu)建和實現(xiàn)時滯和非線性對目標耦合系統(tǒng)的實驗平臺并進行實驗.

3 快慢變時滯耦合系統(tǒng)動力學

在對實際工程和生物系統(tǒng)的研究過程中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有一大類的耦合系統(tǒng)是所謂的快慢變耦合系統(tǒng)[71].如果這樣的耦合過程考慮時滯，就是快慢變時滯耦合系統(tǒng).這類系統(tǒng)的特點是耦合子系統(tǒng)個體的變化速度有量級的差別，耦合后系統(tǒng)表現(xiàn)的狀態(tài)是快變和慢變交替出現(xiàn).快慢變系統(tǒng)是典型的奇異攝動系統(tǒng)，這種系統(tǒng)中含有不同的動力學時間尺度，其最典型的運動是脈沖形式的振蕩解和簇動形式解.例如輸電線力場和流場的耦合產(chǎn)生所謂的張弛運動、細胞生物學中表現(xiàn)出的尖峰等都是快變和慢變量耦合的結(jié)果.這類系統(tǒng)的派生系統(tǒng)是泛函微分--代數(shù)系統(tǒng)，所以理論研究具有很大的挑戰(zhàn)性,其研究難點是如何求得系統(tǒng)中的快變流形和慢變流形.

近年，對低維的快慢變常微分系統(tǒng)的研究已有一些結(jié)果.例如假設(shè)捕食者變化相對于被捕食者較慢，England等[72]發(fā)現(xiàn)這樣的快慢變系統(tǒng)失去平衡且有滯后的現(xiàn)象.Wiggins的研究小組[73]進一步給出了針對一類三維快慢變時變系統(tǒng)計算其快慢變流形的方法，可以計算余維1(不變)穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形.對于機械系統(tǒng)，如果在耦合的力學系統(tǒng)中的某個子系統(tǒng)呈現(xiàn)強非線性特性，則該子系統(tǒng)就會表現(xiàn)出快變特征而與耦合系統(tǒng)中其他的子系統(tǒng)進行能量交換，并顯示出快速和慢速交替的交換態(tài)勢[74].特別是結(jié)構(gòu)出現(xiàn)非對稱的時候，也會存在類似的能量交換態(tài)勢.如果是通過周期運動交換，則會表現(xiàn)出類似生物系統(tǒng)的尖峰振蕩[75].這種能量的傳遞形式在工程控制中更加普遍，特別是對于控制器本身通過非線性結(jié)構(gòu)實現(xiàn)的情形[7677].

目前對含時滯的快慢變系統(tǒng)關(guān)注得較多的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動特征，但對系統(tǒng)如何由暫態(tài)過程進入穩(wěn)態(tài)過程這方面的工作還不多見.南京航空航天大學王在華教授課題組在這方面做了大量的前期研究工作：通過研究一類具有快慢變TCP/AQM時滯網(wǎng)絡(luò)模型，發(fā)現(xiàn)當時滯較小時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；且只有當時滯為適當大小時，系統(tǒng)才能達到最佳的穩(wěn)定狀態(tài).這與通常認為時滯越小越好的想法不一致.當時滯超過臨界值時，系統(tǒng)的平衡點將失去穩(wěn)定性，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔產(chǎn)生周期運動[78].特別是在快慢變耦合時滯系統(tǒng)中同樣存在著分岔滯后現(xiàn)象[79],時滯對逃逸值有重要的影響.在機械系統(tǒng)領(lǐng)域，Jiang和 Xu[80]將機械臂的柔性關(guān)節(jié)考慮為如圖12所示的力學模型.

圖12 柔性關(guān)節(jié)機械臂Fig.12 Robot arm with fl xible joint

在一個剛性連接件--彈性關(guān)節(jié)系統(tǒng)(the rigid-link fl xible-joint system)中，驅(qū)動轉(zhuǎn)子和連接件通過一根細長的彈性軸連接，轉(zhuǎn)子和連接件分別是兩個剛體.將連接關(guān)節(jié)等效為一個線性扭轉(zhuǎn)彈簧，其扭轉(zhuǎn)剛度為K.記剛性連接件和驅(qū)動轉(zhuǎn)子的繞彈性軸中心線轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量分別為I和 J，轉(zhuǎn)動角位移分別為θ1(t)和θ2(t).在實際工程中，關(guān)節(jié)部分有各種各樣的齒輪減速器裝置，由于減速器的齒輪存在間隙，則驅(qū)動和作動臂動作會相差一個時滯，記為τ，這個時滯就是模型減速器中齒輪間隙和作動的時間，通過將傳遞時滯引入現(xiàn)有的機械臂模型，可以得到彈性關(guān)節(jié)系統(tǒng)控制方程

這是一個典型的具有耦合時滯的快慢變系統(tǒng)，其中ε?1,u(t)=aθ1(t)+b是驅(qū)動.慢變流形和快變流形分別為

快變流形與慢變流形相交的形式?jīng)Q定了系統(tǒng)的動力學行為，而快變流形又被控制的形式u(t)決定，如果控制形式不恰當，對應的系統(tǒng)動力學行為會分別表現(xiàn)出尖峰和簇,如圖13所示，從而影響機械臂到達目標精度[81].

圖13 系統(tǒng)(15)在不同驅(qū)動下的振動Fig.13 Vibration of system(15)subjected to distinct drives

經(jīng)典的 Van der Pol振子是一個典型的具有快慢變量的動力系統(tǒng)，表現(xiàn)為一種簡單形式的張弛振蕩，有著重要的應用背景.鄭遠廣等[82]詳細分析了反饋時滯對Van der Pol振子張弛振蕩的影響，通過穩(wěn)定性切換分析和幾何奇異攝動理論，發(fā)現(xiàn)時滯反饋會引起張弛振蕩中的慢速運動過程中存在微幅振蕩，其中微幅振蕩來自于內(nèi)部層引起的振蕩和Hopf分岔產(chǎn)生的振蕩兩個方面；同時時滯對張弛振蕩的周期也具有顯著的影響，當時滯增加到一定程度時，慢變過程中的微幅振蕩消失，系統(tǒng)出現(xiàn)方波形運動.

圖13 系統(tǒng)(15)在不同驅(qū)動下的振動(續(xù))Fig.13 Vibration of system(15)subjected to distinct drives(continued)

為了方便理論分析，文獻中通常假設(shè)時滯是時不變的.但實際上，很多實際問題中出現(xiàn)的時滯是慢時變的，為此，Zheng等[83]考慮了時滯為慢時變函數(shù)的情形，研究發(fā)現(xiàn)如果慢變時滯是周期函數(shù)，則分岔點也周期性出現(xiàn).利用特征函數(shù)在分岔點附近的實部函數(shù)可以計算出逃逸函數(shù)的近似表達式.如果該函數(shù)在某些區(qū)間上無零點，即無逃逸點，則原時滯微分方程在常時滯情形已失穩(wěn)的解在周期慢變時滯情形是漸近穩(wěn)定的，從而解的穩(wěn)定性得到改善，而Hopf分岔會延遲發(fā)生.時變時滯在多數(shù)情況下被認為是不利的因素，不僅導致復雜的動力學，也會使分析與計算更加復雜，而上述結(jié)果表明，恰當選擇慢時變周期函數(shù)時滯可延遲分岔發(fā)生，改善穩(wěn)定性，因而時滯可被認為是有利因素.

不同神經(jīng)元變化的時間尺度可不同，此時系統(tǒng)呈現(xiàn)出典型的快慢變量耦合系統(tǒng)的動力學特征.Zheng等[84]應用幾何奇異攝動方法，研究了兩神經(jīng)元Hopfiel模型的非線性動力學，得到了系統(tǒng)產(chǎn)生張弛振蕩的條件以及張弛振蕩周期的估計式，進而研究了時滯對平衡點的吸引域的影響.進一步的，Zheng等[85]還得到了處于同步之后的耦合神經(jīng)元的Hindmarsh-Rose模型的簇放電模式與耦合時滯對簇放電模型的影響，以及由簇放電到混沌的轉(zhuǎn)遷模式與機理.

綜上所述，快慢變耦合時滯系統(tǒng)與時滯的關(guān)系有著特殊的規(guī)律性，有必要開展研究工作，特別是針對快慢變耦合時滯系統(tǒng)與不變流形方法有關(guān)的新方法，耦合時滯對狀態(tài)變量在不同時間尺度下快、慢變量的影響規(guī)律，探討時滯對快慢變系統(tǒng)張弛振動和能量轉(zhuǎn)化的影響規(guī)律，進而研究多穩(wěn)態(tài)運動的形成等復雜動力學行為產(chǎn)生的機制.

4 時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步和去同步

時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不但是系統(tǒng)生物學重要的研究內(nèi)容之一，也被廣泛用于人工智能控制、快速算法等應用領(lǐng)域，并且已經(jīng)逐步涉及到以網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)的科學和社會活動，研究領(lǐng)域包括智能控制、細胞與新陳代謝網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、人際交往網(wǎng)絡(luò)等.一方面，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)表現(xiàn)出的行為常常需要協(xié)同性，即同步現(xiàn)象；另一方面，在系統(tǒng)生物學研究領(lǐng)域，很多疾病的表現(xiàn)特征是某種動力學行為的同步.例如在帕金森病理條件下，某些神經(jīng)元同步放電，導致運動前區(qū)和運動皮層的同步活動[86],這樣就產(chǎn)生了同步問題的反問題——去同步(desynchronization).因此，同步和去同步是耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)群體動力學的兩大表現(xiàn)形式，也是時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的核心研究方向.同步狀態(tài)主要有完全同步、相同步、延遲同步、廣義同步、間歇延遲同步以及不完全相同步(imperfect phase synchronization).

近年來，報道同步的研究成果的文獻超過上千篇.有如此多的文獻來探討同步問題是因為可以使用的基本數(shù)學工具非常有限.一般采用將原系統(tǒng)變換成誤差系統(tǒng)，利用Lyapunov方法研究出現(xiàn)同步的充分條件.由于在充分條件以外總能找到新的同步參數(shù)范圍，導致大批學者都在尋找更加接近必要條件的參數(shù)范圍.這些由常微分方程組或圖表示的系統(tǒng)具有規(guī)則的拓撲結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)機制簡單的特點，人們可將研究重點放在由節(jié)點的非線性動力學性質(zhì)引起的復雜性上，而不需考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復雜性.但是，信號在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的傳輸速度、節(jié)點間的相互作用或生物網(wǎng)絡(luò)中個體的生理特性等都會引起時滯.因此，網(wǎng)絡(luò)實際上是一個高維時滯動力學系統(tǒng).近年來，隨著生物、信息和數(shù)學等學科的發(fā)展，時滯對復雜網(wǎng)絡(luò)的重要影響已逐漸被認識.然而，對于時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步研究，由于需要尋找時滯依賴的充分條件，因此必須推廣Lyapunov方法，目前主要采用的方法有Lyapunov-Krasovskii方法[87]、非線性觀測法[88]和線性矩陣不等式法[89].另外，有一些學者也開始關(guān)注異構(gòu)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題.事實上，從自然和工程角度出發(fā)，保持子系統(tǒng)完全一致的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不存在，因此，研究異構(gòu)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題更具有科學和工程意義，同時也更具有挑戰(zhàn)性.在這方面，中國學者陸啟韶教授領(lǐng)導的課題組做了大量的工作，他們主要是采取數(shù)值仿真的方法[90].通過理論分析的方法，Li等[91]和Huang等[92]分別研究了更加一般的耦合網(wǎng)絡(luò)和異構(gòu)的時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步和混沌同步.值得注意的是大部分的理論分析方法還是采用了尋找同步的充分條件，但是該充分條件已與時滯有關(guān).最近，Song等[9394]利用時滯微分方程的等變分岔理論，研究了Hopfiel型時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在雙向耦合時，時滯會導致同步開關(guān)現(xiàn)象，即在耦合強度與子系統(tǒng)的內(nèi)在參數(shù)組成的參數(shù)空間的一定區(qū)域內(nèi)隨著時滯的增大同相同步和反相同步會交叉出現(xiàn).在單向耦合時，沒有這種同步開關(guān)現(xiàn)象出現(xiàn)，但時滯仍會導致同相同步和反相同步現(xiàn)象，在耦合強度與子系統(tǒng)的內(nèi)在參數(shù)組成的參數(shù)空間的一定區(qū)域內(nèi)，Hopf分岔產(chǎn)生的周期振動的振動模式不依賴于時滯.在這兩種情況下，耦合強度對Hopf分岔產(chǎn)生的周期振動的振動模式具有類似的影響，即在興奮性耦合下是同步振動而在抑制性耦合下是反相振動.然而，這些研究工作考慮的都是兩個完全相同的Hopfiel型系統(tǒng)具有時滯耦合的情形，對于更普遍的系統(tǒng)和多個子系統(tǒng)的情形，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和耦合時滯對同步模式的影響規(guī)律還不清楚.

作為同步活動的反問題，近來由于實際問題的需要，尤其是神經(jīng)科學方面的應用，在歐美尤其是德國許多學者開始關(guān)注去同步策略的研究.德國學者Tass[95]最先應用非線性動力學和統(tǒng)計物理的方法研究去同步策略，并提出多種脈沖序列去同步的方法[96].目前去同步技術(shù)大致有[97]周期激勵和非周期刺激法、脈沖序列去同步技術(shù)、線性和非線性時滯反饋以及Washout濾波反射法[98]等.異常有害的同步活動并非僅限于神經(jīng)系統(tǒng).力學中最典型的例子是倫敦千禧橋，在其首次開放日活動上，由于眾多行人同步的步態(tài)，導致千禧橋大幅度的左右晃動[99100].因此，去同步的研究具有廣泛的物理意義.但總體上相對于同步而言去同步的研究還處于初期階段，國內(nèi)對于去同步的研究則更少，尤其對時滯耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的去同步機理還不清楚.

總之，如何對復雜網(wǎng)絡(luò)進行精確的科學描述和對網(wǎng)絡(luò)配制進行優(yōu)化；如何建立一套適應大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)計算環(huán)境的理論和模型；特別是如何利用這些成果并從網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的觀點出發(fā)，研究時滯耦合的力學系統(tǒng)等都是值得關(guān)注的科學問題.同時，利用動力學分析網(wǎng)絡(luò)環(huán)境系統(tǒng)的去同步也是一個基本問題，是以往非線性動力學尚未遇到的新問題.

如前所述，大部分研究都是在Lyapunov方法基礎(chǔ)上尋找同步的充分條件，不同于這些研究的研究思路，一些學者開始尋找特定條件下同步的充要條件，并力爭給出解析的判據(jù).在去同步方面，主要是針對具體問題進行應用研究.下面對這方面的研究成果進行具體介紹.

同步是自然界中的一種基本現(xiàn)象，它普遍存在于物理、生物、化學等諸多領(lǐng)域中.如馬來西亞島上成千上萬只螢火蟲在夜晚同步閃動.對于激光的相干輸出，只有當各激光器通過耦合達到同步狀態(tài)時，才可以得到高功率的相干輸出.但是在異常情況下，同步會導致巨大災害，例如倫敦的千禧橋.而許多神經(jīng)系統(tǒng)疾病如帕金森氏癥，原發(fā)性震顫和癲癇等，都是由于某些腦區(qū)域異常同步放電所致.因此，研究同步和去同步方法具有廣泛的意義.目前大部分時滯耦合同步的研究都是采用Lyapunov穩(wěn)定性理論，然而，當不能構(gòu)造Lyapunov函數(shù)時，就無法研究同步，對于去同步的研究工作就更少.由于同步問題越來越開始走向應用，因此，各種同步態(tài)和非同步態(tài)的理論研究方法的需求也在日益增加.

針對如何判斷同步與非同步，Wong等[101]通過構(gòu)造輔助系統(tǒng)的方法，即對存在平衡態(tài)的耦合系統(tǒng)，構(gòu)造一個輔助系統(tǒng)，就可以得到一種判斷耦合系統(tǒng)廣義同步的解析判據(jù)，這個判據(jù)的特點在于規(guī)避了通過尋找Lyapunov函數(shù)的方法對系統(tǒng)是否可以達到廣義同步進行判斷，能有效估計強廣義同步的門檻值，并且其精度與通過Lyapunov函數(shù)方法得到的結(jié)果相同.通過該方法的應用，作者得到了一個重要結(jié)論：耦合系統(tǒng)的平衡態(tài)越多，廣義同步的機會越大，但是越不易出現(xiàn)強廣義同步.在上述廣義同步的解析判據(jù)基礎(chǔ)上，Wang等[102]又提出了“投影系統(tǒng)方法”，并成功地將此方法應用于判斷耦合混沌系統(tǒng)的修正投影同步.該方法的特點同樣在于不需要尋找Lyapunov函數(shù)就可以得到判斷混沌系統(tǒng)同步的充要條件.

系統(tǒng)的耦合時滯可誘發(fā)周期運動，并且耦合時滯可以引起系統(tǒng)的進一步變化，然而對各種運動的形成機制還并不明確.Song等[103104]提出了理論上的判據(jù)來判斷同相位周期運動和反相位同步運動，結(jié)果表明僅僅通過逐步增加耦合時滯便可實現(xiàn)在同相同步和反相同步之間的切換，這對于連續(xù)體的控制有重要的意義，說明可以通過主動時滯控制完成模態(tài)之間的切換.更進一步，Song等[105]研究了耦合時滯對系統(tǒng)同步模式的影響.通過計算中心流形和規(guī)范形并應用時滯系統(tǒng)的等變分岔理論，得到了耦合時滯誘發(fā)同步轉(zhuǎn)遷的臨界值.在兩振子耦合Van der Pol系統(tǒng)中，隨著耦合時滯的增大，系統(tǒng)會在穩(wěn)定的同相同步、振幅消亡、反相同步之間切換；在三振子耦合Van der Pol系統(tǒng)中，隨著耦合時滯的增大，系統(tǒng)會在穩(wěn)定的鎖相同步與振幅消亡之間切換，與兩個穩(wěn)定的鎖相同步相伴的還同時有3個不穩(wěn)定的鏡面反射波和3個不穩(wěn)定的駐波.研究結(jié)果表明，時滯可以誘發(fā)同步態(tài)不同形式的切換，也可誘發(fā)同步與非同步之間的轉(zhuǎn)遷.此外，應用前面提到的攝動-增量法也可以得到同步周期解的判據(jù)[106].這種周期振蕩同步在工程中也有需求[107]：當多個振蕩系統(tǒng)相互耦合時，耦合過程中的時滯會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性、同步形式以及振動響應，研究發(fā)現(xiàn)高維的振蕩系統(tǒng)不同形式的同步解依賴于時滯的取值，利用給出的周期振蕩同步的判據(jù)，可以利用時滯來實現(xiàn)不同運動狀態(tài)之間的切換.Wang等[108]研究了兩個帶有反應擴散項的環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步態(tài)穩(wěn)定性和Hopf分岔問題.將時滯τ作為分岔參數(shù)，利用偏泛函微分方程的穩(wěn)定性和分岔理論，分別討論了系統(tǒng)各自的同步態(tài)動力學行為，給出了同步態(tài)穩(wěn)定性與Hopf分岔的判別條件.研究結(jié)果分別揭示了時滯τ，耦合強度c以及擴散項對系統(tǒng)的影響：(1)處在耦合環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同位置的時滯τ發(fā)揮不同的作用，既可以加快系統(tǒng)同步的速度，也可以減慢系統(tǒng)同步的速度；(2)擴散可以加快系統(tǒng)同步的速度，使同步態(tài)系統(tǒng)的平衡點穩(wěn)定；(3)隨著耦合強度的增長，系統(tǒng)同步的速度也會加快；(4)可出現(xiàn)復雜的多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象.

在去同步的研究方面，Luo和Xu[109]應用輔助反饋技術(shù)，研究討論了兩個耦合Rossler振子群的同步現(xiàn)象，研究在主動--主動系統(tǒng)(即兩個振子群在解耦條件下自身同步，它們之間的相互耦合導致兩個群之間的同步)以及主動--被動系統(tǒng)(在解耦的情況下，一個振子群同步，而另外一個振子群非同步，但它們的相互耦合作用不僅導致被動系統(tǒng)內(nèi)部同步，而且導致主動系統(tǒng)與被動系統(tǒng)之間的相互同步)中系統(tǒng)參數(shù)(尤其是頻率分布)對于系統(tǒng)同步的影響，發(fā)現(xiàn)耦合振子群的“振幅死亡”，即振子群之間的相互作用導致各個耦合振子群去同步.隨后他們應用Washout filte輔助反饋方法研究了耦合振子群去同步策略.對于主動--主動系統(tǒng)，探討了控制一個群和同時控制兩個群的策略；而對于主動--被動系統(tǒng)，研究了分別控制主動、被動和同時控制兩個振子群的策略.研究發(fā)現(xiàn)，控制所有的振子群能有效阻止耦合振子群的同步.而局部控制，即控制一個振子群只能抑制受控振子群的同步，然而另外一個振子群仍然保持同步狀態(tài)，無論它原先是主動系統(tǒng)(解耦條件下是同步的)抑或是被動系統(tǒng)(解耦條件下是非同步的).但是從另外一方面而言，受控系統(tǒng)的去同步狀態(tài)不受其他耦合系統(tǒng)的影響.

5 結(jié)論與展望

本文以工程系統(tǒng)精細化和智能化發(fā)展要求以及時滯系統(tǒng)動力學理論發(fā)展需求為驅(qū)動，對以時滯為中心的耦合系統(tǒng)復雜動力學機制、時滯鎮(zhèn)定耦合系統(tǒng)的實驗基礎(chǔ)和實現(xiàn)、快慢變時滯耦合系統(tǒng)動力學奇異性和時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步和去同步4個方面的研究進行了綜述，介紹了近期取得的一些研究進展和成果.在研究方法方面，展示了研究時滯耦合系統(tǒng)非共振和共振分岔(高余維)及其分類方法、研究時滯振動系統(tǒng)周期運動的積分迭代法、基于Maple軟件環(huán)境下的符號計算方法、具有魯棒性的時滯辨識算法、有別于Lyapunov方法判斷耦合系統(tǒng)廣義同步的新解析判據(jù)和周期解正向同步和反向同步解時滯臨界值的解析判據(jù).在應用方面，綜述了利用時滯和非線性對振動系統(tǒng)進行吸振和隔振的學術(shù)思想以及相應的設(shè)計和實驗結(jié)果，展示了快慢變時滯耦合彈性關(guān)節(jié)系統(tǒng)多種復雜振蕩的產(chǎn)生機理.

值得指出的是，本文還有許多方面沒有涉及，例如時滯系統(tǒng)非線性動力學的穩(wěn)定性和魯棒性問題、中立性系統(tǒng)的動力學以及時滯耦合系統(tǒng)的復雜運動等.在本文涉及的研究中，下面的問題也是值得考慮的.

5.1 時滯系統(tǒng)動力學的一般性理論與方法

(1)時滯非線性振動系統(tǒng)的辨識方法

無論是從事科學研究的實驗驗證，還是針對現(xiàn)實存在的非線性時滯振動系統(tǒng)，都有必要對系統(tǒng)中存在的時滯及非線性參數(shù)進行辨識和測量，而要實現(xiàn)這一目標，其挑戰(zhàn)在于：第一，在機械結(jié)構(gòu)大型化及智能化的趨勢下，具有不同功能的部件不再相互獨立，而是一種高自由度、強耦合的復雜整體.在系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)控中，由于測點的分布規(guī)則仍然缺乏科學的指導，這就導致實測的動力學信息往往是非完備的，即使對于線性系統(tǒng)，其參數(shù)的可辨識性也變得難以論證，而構(gòu)造相應辨識算法的難度也可見一斑.第二，當結(jié)構(gòu)的響應幅度較大時，其動力學特性往往會表現(xiàn)出顯著的非線性，因此原本適用于線性系統(tǒng)的信號分析手段(如：相關(guān)函數(shù)、傳遞函數(shù)等)不再適用；此外，參數(shù)辨識算法往往是基于動力學分析所得的頻響函數(shù)構(gòu)造的，而非線性動力學分析方法在處理高自由度、強非線性問題上還不夠成熟.因此，如何處理非線性響應數(shù)據(jù)，并由所得數(shù)據(jù)構(gòu)造相應的辨識算法，仍是參數(shù)辨識領(lǐng)域尚未解決的難題.第三，激勵源與激勵對象裝配后即構(gòu)成耦合整體，這將導致結(jié)構(gòu)所受的激勵產(chǎn)生幅值或頻率上的畸變，從而打破理想激勵條件.尤其當載荷方向與結(jié)構(gòu)振動方向不一致時，載荷與系統(tǒng)耦合為參激系統(tǒng)，此時載荷的形式甚至決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，為了精確標定系統(tǒng)特性，必須通過載荷識別的方式確定激勵特性，而這部分工作尚未見成熟的體系.第四，系統(tǒng)辨識是一項面向工程應用的課題，在辨識方法推廣之前，其收斂性、可靠性必須經(jīng)過實驗的驗證.然而，目前時滯耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計、參數(shù)規(guī)劃及時滯調(diào)節(jié)等技術(shù)仍無成熟經(jīng)驗可循，而相應的成果也鮮見發(fā)表.因此，在系統(tǒng)辨識算法的實驗驗證工作上，我們將面臨更多的技術(shù)嘗試和探索.這4個方面的難題歸納成科學問題就是時滯耦合線性系統(tǒng)的可辨識性分析及算法構(gòu)造、時滯耦合非線性系統(tǒng)的辨識理論及算法構(gòu)造、時滯耦合系統(tǒng)的載荷識別理論及算法構(gòu)造和時滯耦合系統(tǒng)辨識算法的實驗驗證.另外，是否可以將針對無時滯系統(tǒng)提出的新的辨識方法應用到耦合時滯系統(tǒng)的辨識中，也是一個值得研究的問題[110-111].

(2)中立型時滯系統(tǒng)的非線性動力學

振動控制中廣泛采用加速度傳感器，越來越多的研究表明，直接采用加速度反饋具有良好的控制性能，但加速度傳感器測得的信號常常受到高頻噪聲的擾動，需要低通濾波器過濾掉高頻噪聲，而濾波器存在難以避免的時滯，從而加速度反饋具有時滯效應，這樣就會得到中立型時滯系統(tǒng)[112116].在該類型的系統(tǒng)中時滯出現(xiàn)在最高階導數(shù)上，不同于滯后型微分方程，采用中立型微分方程描述的系統(tǒng)的定性理論還有待進一步完善.例如，分析系統(tǒng)的非線性動力學時，適用于滯后性方程的理論方法是否可以全部移植到中立型方程是一個值得研究的問題，特別是對于那些在滯后性方程中已經(jīng)得到較好解決的問題，如高余維分岔分析、動力學分類、吸引域估計等，是否還能使用相同的方法得到相似的結(jié)論目前尚未完全清楚.另外，將滯后型方程理論與控制理論結(jié)合起來研究具體的控制問題目前已相當成熟，但是中立型方程理論是否可以嵌入到控制理論框架中從而發(fā)展出針對采用加速度傳感器進行信號采集的實際系統(tǒng)的一般性時滯控制理論，將是一個具有重要理論與應用價值、同時具有巨大挑戰(zhàn)性的課題.

5.2 涉及具體對象的時滯系統(tǒng)動力學應用問題

(1)狀態(tài)依賴時滯耦合Internet擁塞控制系統(tǒng)的振蕩與同步

經(jīng)過近 30年的研究，雖然對網(wǎng)絡(luò)動力學的一些基本方面有了初步的了解，但是沒有解決的問題依然有很多，而這些問題成為制約網(wǎng)絡(luò)技術(shù)進一步發(fā)展的瓶頸.具體來說，第一，如果以發(fā)包速率作為狀態(tài)變量，那么從實際數(shù)據(jù)來看，計算機網(wǎng)絡(luò)的動力學行為可能會非常復雜，而這些動力學現(xiàn)象出現(xiàn)的機制仍然不甚清楚，更不要說針對這些動力學現(xiàn)象提出相應的控制策略.第二，計算機網(wǎng)絡(luò)是一個異常復雜的巨系統(tǒng)，直接對高維計算機網(wǎng)絡(luò)的非線性動力學問題進行研究無疑是困難重重的，一個可行的研究方案是轉(zhuǎn)而研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的各種同步振蕩.同步既是一種現(xiàn)象，也可以被看作一種有效的降維手段.當用戶發(fā)包速率出現(xiàn)同步振蕩時，在振蕩同時達到峰值的時刻整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可能因不堪重負而崩潰.當今廣泛應用于計算機網(wǎng)絡(luò)中的傳輸控制協(xié)議/主動隊列管理 (transmission control protocol/active queue management，TCP/AQM)協(xié)議的設(shè)計初衷就是為了消除這種同步振蕩.毫無疑問，網(wǎng)絡(luò)的同步性能與拓撲結(jié)構(gòu)具有密切的聯(lián)系，例如對于無標度網(wǎng)絡(luò)，可以預計具有相同度的節(jié)點的振蕩也具有某種同步性.如何定量刻畫同步類型與拓撲結(jié)構(gòu)的關(guān)系是一個尚未解決而又值得關(guān)注的問題.第三，擁塞是如何像波一樣在網(wǎng)絡(luò)上傳播的？為何有時候擁塞只發(fā)生在局部，而有時一個局部的擁塞卻會像病毒一樣擴散到整個網(wǎng)絡(luò)從而使得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)癱瘓？其完整的數(shù)學模型含有狀態(tài)依賴時滯，而且這個時滯不可忽略,否則將產(chǎn)生奇異性.這給從理論上對該問題進行研究帶來極大的挑戰(zhàn).第四，無線網(wǎng)絡(luò)的應用正變得越來越普遍，即使是在工業(yè)和科學研究領(lǐng)域，無線網(wǎng)絡(luò)的作用也變得越來越重要.例如，在機器人網(wǎng)絡(luò)中，為了實現(xiàn)某種同步運動或相互協(xié)同完成任務(wù)，機器人個體之間需要通信并據(jù)此發(fā)出控制指令以調(diào)整自己的運動狀態(tài).無線網(wǎng)絡(luò)信號的傳輸時滯也是依賴于狀態(tài)的，那么如何設(shè)計網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)以保證擁塞控制算法的有效性，是設(shè)計可靠的機器人網(wǎng)絡(luò)的前提.以上幾個方面的問題歸納成科學問題就是計算機網(wǎng)絡(luò)中以狀態(tài)依賴時滯為中心的復雜非線性動力學機制、狀態(tài)依賴時滯耦合網(wǎng)絡(luò)的同步與去同步、通過狀態(tài)依賴時滯耦合的機械網(wǎng)絡(luò)與計算機網(wǎng)絡(luò)特別是無線網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性與同步優(yōu)化.

(2)磨削的時滯動力學建模、顫振機理及其控制

從20世紀40年代以來，數(shù)控加工 (numerical control machining)技術(shù)的逐漸興起，促使人們將注意力逐漸從人員素質(zhì)轉(zhuǎn)向了加工過程本身.數(shù)控機床在收到計算機的指令之后，會自動地按照要求進行加工生產(chǎn)，中間幾乎不需要任何人工干預，因此，提前預測加工過程本身的行為，對于確保機械加工平穩(wěn)進行、規(guī)避一些“加工雷區(qū)”，具有極其重要的指導意義.加工過程中的再生顫振是加工過程需要解決的最主要問題.經(jīng)典的觀點認為這種顫振是工件和砂輪之間的摩擦力引發(fā)的，近年來，研究發(fā)現(xiàn)再生顫振與磨削的厚度及其磨削的轉(zhuǎn)速(可以對應到模型中的時滯)有關(guān)，因此，再生顫振的誘發(fā)是摩擦力和轉(zhuǎn)速聯(lián)合作用的結(jié)果，這個過程中的摩擦是時變的，而且磨削厚度在空間和時間尺度上都有不確定性.磨削動力學模型中的時滯、摩擦力、非線性、非光滑和變參數(shù)等因素，都給分析與抑制磨削顫振帶來了巨大的挑戰(zhàn).和簡單的線性系統(tǒng)相比，時滯將系統(tǒng)的維數(shù)擴展到無窮維；摩擦力給顫振引入黏滑機制；非線性導致張弛振蕩和渦動等效應；磨削力中的非光滑接觸帶來多重時滯效應；變參數(shù)導致快慢變特性.要解決這一問題，面臨的挑戰(zhàn)在于：第一、如何建立能夠準確描述磨削加工過程的動力學模型，從而揭示誘發(fā)磨削顫振的重要因素？第二、不同的顫振形式，特別是由再生效應和摩擦效應分別導致的磨削顫振，都是如何產(chǎn)生的，各自又有怎樣的特征？第三，如何最有效地消除或者削弱磨削顫振?

(3)時滯非線性隔振器動力學特性及控制機理

經(jīng)典的線性隔振器的優(yōu)化方法有降低剛度和增大阻尼這兩種方式，但是這樣的優(yōu)化方法在分析和應用過程中出現(xiàn)了矛盾，矛盾主要表現(xiàn)在：通過減小彈性元件的剛度來擴大有效隔振頻帶會降低系統(tǒng)的承載能力；而通過增大阻尼降低共振峰值會惡化高頻范圍的隔振效果.為了協(xié)調(diào)這樣的矛盾，近年來開始出現(xiàn)利用非線性控制方法構(gòu)造新型隔振器的趨勢.一方面，充分利用結(jié)構(gòu)本身的非線性特性實現(xiàn)提高靜荷載承載能力和降低動態(tài)剛度，即所謂的“高靜低動”，而非線性阻尼特性有助于隔振結(jié)構(gòu)在高頻范圍內(nèi)的振動隔離性能的提升.另一方面，時滯控制的引入不但充分利用了時滯對動力學特性的“開關(guān)”作用，還挖掘出時滯與非線性特性聯(lián)合作用下對系統(tǒng)振動能量的轉(zhuǎn)移、抑制的影響.因此，針對提升隔振器在不同頻帶內(nèi)性能的要求，并且充分考慮和利用時滯非線性動力學的成果，可以考慮利用非線性和時滯控制構(gòu)造新型智能隔振器，并對其進行動力學特性分析、結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化、時滯控制機理和實驗方法的研究.所要研究解決的問題主要來源于以下三個方面：第一，如何利用結(jié)構(gòu)幾何特性實現(xiàn)可調(diào)節(jié)非線性特性，能夠使隔振器產(chǎn)生高靜低動的特征，能否在理論層面給出有效判據(jù)使得非線性特性得到充分利用？第二，在對非線性隔振器進行參數(shù)設(shè)計和振動控制的過程中，如何通過理論分析方法建立控制參數(shù)和不同頻帶上隔振效果的關(guān)系，以確定最優(yōu)的參數(shù)范圍？第三，提出的非線性結(jié)構(gòu)和時滯控制方法如何作動在系統(tǒng)上，控制參數(shù)與非線性特性聯(lián)合作用的振動具有怎樣的特征？上述三個方面的問題和需求歸納成科學問題就是：(1)基于高靜低動特性的非線性隔振元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化判據(jù)；(2)時滯控制非線性隔振器不同頻帶內(nèi)的控制機理；(3)時滯控制非線性隔振器的實驗方法與實現(xiàn).此外，是否可以更好地利用強非線性的特點進行有效隔振以及在實現(xiàn)時滯耦合時如何更加靈活地進行采樣與作動也是具有重要科學與實際意義、同時具有一定挑戰(zhàn)性的學術(shù)問題[117-118].

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REVIEW ON NONLINEAR DYNAMICS IN SYSTEMS WITH COULPLING DELAYS1)

Zhang Shu Xu Jian2)
(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China)

With the deep understanding towards the objective laws of nature,requirements on refinemen and complexity in engineering system design are increasing.Many coupled dynamic system designs need to take into account the dynamics induced by the time delay existing in the coupling process.Such coupling time delay may come from the process of coupling with the sensing system,the actuation system and the control system.Coupling delays also extensively exist in the field such as transportation system,system biology,electronic communication,neural and information networks and etc.Firstly,based on the concept of coupling delay,this paper reviews the recent research progresses on dynamics induced by such delay from the following four aspects：(1)the delay-centered mechanism of complex dynamics in coupled systems;(2)experimental foundation and realization of stabilizing coupled systems by utilizing time delay;(3)dynamics of fast-slow coupled system with time delay;and(4)synchronization and desynchronization of delayed neural networks.Some advances in the general theory of systems with coupling delay are highlighted including the coupling-delay-induced bifurcation and singularity with high codimention and the novel quantitative method of analysis,normal form computation for neutral delay di ff erential equations,identificatio of time delay and nonlinear parameters in nonlinear systems with coupling delay and the relevant experiment,relaxation oscillation in the fast-slow system with coupling delay,and transition of modes of synchronization induced by coupling delay in network systems.Secondly,as for the application,some new results are presented in details such as the coupling-delay-induced chatter in grinding process and its mechanism,bifurcation with high codimension and complex dynamics induced by coupling delay in neural networks with inertial terms,and design and experiments of vibration absorber and isolator using coupling delay.Finally,some problems which are worthy of attention in near future are highlighted from perspectives of the general theory of systems with coupling delay and the potential applications.

system with coupling delays,nonlinear dynamics,delayed di ff erential equation,fast-slow system,neural network

O313，TP183

：A

10.6052/0459-1879-17-123

2017–04–13 收稿，2017–04–20 錄用,2017–04–21 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學基金資助項目(11572224,11502168,11032009).

2)徐鑒，教授，主要研究方向：非線性動力學.E-mail：xujian@#edu.cn

張舒,徐鑒.時滯耦合系統(tǒng)非線性動力學的研究進展.力學學報,2017,49(3)：565-587

Zhang Shu,Xu Jian.Review on nonlinear dynamics in systems with coulpling delays.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：565-587