用積分算子定義的強星象函數(shù)和強凸象函數(shù)

陶玉琴, 楊 穎

(馬鞍山師范高等?？茖W校 教師教育系, 安徽 馬鞍山 243041)

用積分算子定義的強星象函數(shù)和強凸象函數(shù)

陶玉琴, 楊 穎

(馬鞍山師范高等?？茖W校 教師教育系, 安徽 馬鞍山 243041)

解析函數(shù); 強星象函數(shù); 強凸象函數(shù); 星象函數(shù); 凸象函數(shù)

0 引言及預備知識

設A(k)(k≥2)表示在U={z:|z|<1}解析,且具有形式

(1)

的全體函數(shù)組成的類,令A=A(2)．用S*和K分別表示由A(k)中所有的星象函數(shù)和凸象函數(shù)組成的子類．

定義1 若φ(z)∈A(k),且滿足

(2)

定義2 若φ(z)∈A(k),且滿足

(3)

許多學者相繼對強星象函數(shù)和強凸象函數(shù)進行了廣泛地研究[1-6],本文將對上述兩個函數(shù)類的充分條件進行討論,為了證明主要結(jié)論,需要下面的兩個引理．

引理1[1]設函數(shù)p(z)=1+c1z+c2z2+…在U內(nèi)解析,且p(z)≠0,(z∈U),如果存在一個點z0∈U,使得

1 強星象函數(shù)和強凸象函數(shù)的充分條件

(4)

(5)

令 0=ρ0<ρ1<ρ2<…<ρn-1<ρn=r,ρm-ρm-1=δm,(m=1,2,…,n),

根據(jù)式(5)得到

再根據(jù)條件(4)

φ′(z),

得到

(6)

由條件(4)和(6)有

定理2 設0<λ≤1,若φ(z)∈A(k)(k≥2) 滿足

(7)

又因為

所以

故

2 星象函數(shù)和凸象函數(shù)的充分條件

定理3 若φ(z)=z+akzk+…∈A(k)(k≥2)滿足

(8)

則φ(z)∈S*．

證明 根據(jù)式(8)得

故

由引理2得到φ(z)∈S*．

定理4 若φ(z)=z+akzk+…∈A(k)(k≥2) 滿足

(9)

則φ(z)∈K．

|(zφ′(z))′-1|=|φ′(z)+zφ″(z)-1|≤|φ′(z)-1|+|zφ″(z)|≤

由引理2得到zφ′(z)∈S*即φ(z)∈K．

[1] Nunokawa, M. On the order of strongly starlikeness of strongly convex functions[J]. Proc Jpn Acad Ser A Math Sci, 1993, 69(7):234-237.

[2] Mocanu, P T. Some starlikeness conditions for analytic functions[J]. Rev Roum Math Pures Appl, 1988,33(2): 117-124.

[3] Liu J L.Properties of certain subclass of multivalent func-tions defined by an integral operator[J]. Complex Varia-bles and Elliptic Equations,2009, 54(5): 471-483.

[4] Noor K I,Noor M A. On integral operators[J]. J Math Anal Appl,1999, 238(2): 341-352.

[5] 楊穎,陶玉琴.亞純P葉星象函數(shù)的一類新子類的性質(zhì)[J].牡丹江師范學院學報(自然科學版),2013,85(4):4-6.

[6] 陶玉琴,楊穎.用線性算子定義的一類亞純多葉函數(shù)[J].阜陽師范學院學報(自然科學版),2014,31(2):12-14.

[責任編輯：李春紅]

Strongly Star-like Function and Strongly Convex Function Defined with Integral Operator

TAO Yu-qin , YANG Ying

(Department of Teacher Education, Maanshan Teachers School, Maanshan Anhui 243041, China)

analytic function; strongly star-like function; strongly convex function; star-like function; convex function

2016-12-23

安徽省教育廳高校自然科學基金重點資助項目(KJ2016A694)

陶玉琴(1981-),女,安徽馬鞍山人,副教授,碩士,研究方向為復分析. E-mail: 48654293@qq.com

O174.51

A

1671-6876(2017)02-0100-04